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第 04 讲 随机事件、频率与概率 (精
讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：随机事件
题型二：随机事件之间关系的判断
题型三：随机事件的频率与概率
题型四：互斥事件与对立事件及其概率
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：概率与频率
一般地,随着试验次数 的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件 发生的频率 会逐渐稳定于事
件 发生的概率 .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率 来估计概率
.
知识点二：事件的运算
定义 符号表示 图示
事件 与事件 至少一
并事件 个发生，称这个事件为
事件 与事件 的并事 或者
件（或和事件）
事件 与事件 同时发
交事件 生，称这个事件为事件 或者
与事件 的交事件
（或积事件）
知识点三：事件的关系
定义 符号表示 图示
一般地，若事件 发包含关系 生，则事件 一定发
生，称事件 包含事件 (或 )
(或事件 包含于事件
)
一般地，如果事件 与
互斥事件
事件 不能同时发生，
也就是说 是一个
不 可 能 事 件 ， 即
，则称事件
与事件 互斥(或互不
相容)
对立事件 一般地，如果事件 和
事件 在任何一次试验
中有且仅有一个发生， ，
即 ，且 且 .
，那么
称事件 与事件 互为
对立，事件 的对立事
件记为
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：随机事件
典型例题
例题1．（2022·甘肃·张家川回族自治县第二高级中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．某事件发生的频率为
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
【答案】B
【详解】解：对于A，事件发生的频率为 ，故A错误；
对于B，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故B正确；
对于C，小概率事件是指发生可能性极小的事件，是可能发生的，并不是不可能发生的事件，大概率事件
就是发生可能性很大的事件，也可能不发生，并不是必然要发生的事件，故C错误；对于D，概率是稳定值，是频率的理想值，并不会随着频率变化而变化，故与试验次数无关，故D错误.
故选：B.
例题2．（2022·浙江·三门启超中学高二阶段练习）下面四个选项中，是随机现象的是（ ）
A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹
【答案】A
【详解】A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象.
故选：A
例题3．（2022·陕西渭南·高一期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯；
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月.
A．①③ B．③④ C．①④ D．②③
【答案】A
【详解】解：由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；
对于②，骰子最大的点数为6，2颗骰子的点数之和不可能为14，故②是不可能事件；
对于④，每年有12个月，13个人中至少有2个人的生日在同一个月，故④是必然事件.
故选：A.
例题4．（2022·黑龙江·海林市朝鲜族中学高二阶段练习）以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到 ，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为 的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为 的矩形，其面积为 是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．
故选：B．
例题5．（2022·全国·高一单元测试）甲､乙两名飞行员进行飞机着陆训练， 表示事件“甲降落至指定
地点”， 表示“乙降落至指定地点”.试用 ， 的运算表示下列随机事件：
(1)甲或乙降落至指定地点；
(2)甲和乙都降落至指定地点；
(3)甲降落至指定地点，但乙没有降落至指定地点；
(4)甲､乙两人都没有降落至指定地点；
(5)甲､乙至少有一人降落至指定地点.
【答案】(1)
(2)AB(3)
(4)
(5)
（1）解：甲或乙降落至指定地点即事件 或事件 发生，故可表示为 .
（2）解：甲和乙都降落至指定地点即事件 ， 同时发生，故可表示为 .
（3）解：甲降落至指定地点，但乙没有降落至指定地点即事件 发生，事件 不发生，故可表示为 .
（4）解：甲､乙两人都没有降落至指定地点即事件 ， 同时不发生，故可表为 .
（5）解：甲､乙至少有一人降落至指定地点即事件 不发生，事件 发生或事件 发生，事件 不发生或
事件 ， 同时发生，故可表示为 .
同类题型归类练
1．（2022·湖北·武昌首义学院附属高级中学高二阶段练习）已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、
3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（ ）
A．事件“都是红色球”是随机事件
B．事件“都是白色球”是不可能事件
C．事件“至少有一个白色球”是必然事件
D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件
【答案】C
【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白
1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.
故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；
事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；
事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；
事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确．
故选：C
2．（2022·广东·佛山市超盈实验中学高二阶段练习）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．水滴石穿
【答案】A
【详解】守株待兔是随机事件，故A选项正确；
瓮中捉鳖是必然事件，故B选项错误；
水中捞月是不可能事件，故C选项错误；
水滴石穿是必然事件，故D选项错误；
故选：A.
3．（2022·全国·高一课时练习）下列事件属于随机事件的是（ ）A．函数 在定义域内为增函数
B．马龙和张继科打乒乓球，马龙胜利
C．998名学生中至少有3名学生的生日相同
D．在标准大气压下，河流在20℃时结冰
【答案】B
【详解】对于A，函数 应为单调减函数，说法不正确，故为不可能事件；
对于B，可能马龙胜利也可能张继科打胜利，故为随机事件；
对于C，998大于365的两倍，说法正确，故为必然事件；
对于D，说法不正确，故为不可能事件.
故选：B.
4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）有下列事件：①篮球运动员罚球命中；②在自然数集中任
取一个数为质数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶
函数.上述事件中为随机事件的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】①篮球运动员罚球命中,是随机事件；
②在自然数集中任取一个数可能为质数，也可能不是质数，故属于随机事件；
③在标准大气压下，水在100 ℃时一定沸腾，是必然现象，故为必然事件；
④设 为偶函数，它们的公共定义域为集合M,当 时， ，
则 ，即任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶函数，
为必然事件，
故随机事件有2个，
故选：C
5．（2022·全国·高一专题练习）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①三角形内角和为 ；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于90°；④三角
形中任意两边的和大于第三边
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】①三角形内角和为 是必然事件，
②三角形中大边对大角，大角对大边是必然事件，
③三角形中两个内角和可能小于 ，可能等于 ，可能大于 ，是随机事件，
④三角形中任意两边的和大于第三边是必然事件，
所以随机事件的个数为 ，
故选：A.题型二：随机事件之间关系的判断
典型例题
例题1．（2022·全国·高一期末）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件 {至少1枚正面朝上}， {至
多2枚正面朝上}，事件 {没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】记事件 {1枚硬币正面朝上}， {2枚硬币正面朝上}， {3枚硬币正面朝上}，则
， ，
显然 ， ， ，C不含于A.
故选：D
例题2．（2022·贵州遵义·高一期末）若事件 与 相互独立，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵事件 与 相互独立，且 ， ，
∴ .
故选：D.
例题3．（多选）（2022·安徽芜湖·高一期末）从 个女生和 个男生中任选两个人参加某项活动，有如
下随机事件： “至少有一个是女生”， “至少有一个男生”， “恰有一个男生”， “两个
都是女生”， “恰有一个女生”.下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D． ，
【答案】AD
【详解】对于A，事件 均为：“选出的两个人是 个男生和 个女生”，则 ，A正确；
对于B，事件 ：“选出的两个人是 个男生和 个女生或者 个女生”，事件 ：“选出的两个人是 个男
生和 个女生或者 个男生”，则 ，B错误；
对于C，事件 包含的样本点都不相同，则 ，C错误；
对于D，事件 包含的样本点都不相同，则 ；
事件 ：“选出的两个人是 个男生和 个女生或者 个男生”；事件 ：“选出的两个人是 个女生”，
则 包含了样本空间中所有的样本点， ，D正确.故选：AD.
例题4．（2022·浙江·三门启超中学高二阶段练习）已知 ， ， ，则
______．
【答案】0.2
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为：0.2.
例题5．（2022·全国·高二课时练习）在掷骰子试验中，由向上的点数可以定义事件： ={出现点数
1}， ={出现点数3或4}， ={出现的点数是奇数}， ={出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求 ， ， ， ， ， ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
(1)
在掷骰子的试验中，向上出现的点数有1、2、3、4、5、6共6个可能的结果，记作 {出现点数 }（其
中 ）．
则 ， ， ， ．
事件A与事件B互斥，但不对立；
事件A包含于事件C；
事件A与D互斥，但不对立；
事件B与C不是互斥事件；
事件B与D也不是互斥事件；
事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)
={出现点数1}，
{出现点数4}，
，
{出现点数1或3或4}，
{出现点数1或3或4或5}，
{出现点数1或2或3或4或5或6}．
同类题型归类练
1．（2022·山东·兰陵四中高二阶段练习）已知 ， ，若 ，则 （ ）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【详解】由于 ，所以 .
故选：A
2．（2022·全国·高一课时练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 “两次都击
中飞机”， “两次都没击中飞机”， “恰有一次击中飞机”， “至少有一次击中飞机”，下
列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A：事件A包含于事件D，正确．
B：由事件B，D不能同时发生，所以 ，正确．
C：事件 指至少有一次击中飞机，即事件D，正确．
D：由 至少有一次击中飞机 ，不是必然事件；而 为必然事件，所以 ，不
正确．
故选：D．
3．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件： “点数大于2”，
“点数不大于2”， “点数大于3”， “点数为4”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A， “点数大于3”， “点数大于2”，显然 ，A正确；
对于B， “点数为4”， “点数大于3”， ，B正确；
对于C，由A选项知， ，则 ，C错误；
对于D， “点数大于2”， “点数不大于2”，显然不能同时发生，则 ，D正确.
故选：ABD.
4．（2022·广东·佛山市超盈实验中学高二阶段练习）假设 ， ，且 与 相互独立，
则 _____．
【答案】
【详解】∵事件 与 相互独立，则 ，
由并事件的概率公式 .故答案为： .
5．（2022·全国·高一课时练习）掷一个骰子，下列事件： ， ，
， ， ．求：
(1) ， ；
(2) ， ；
(3)记 是事件 的对立事件，求 ， ， ， ．
【答案】(1) ， .
(2) ， ．
(3) ， ， ， ．
（1）
， ， ，
， .
（2）
， ， ，
， ．
（3）
， ， ，
， .
， ，
， ， ， ．
题型三：随机事件的频率与概率
典型例题
例题1．（2022·青海·海东市教育研究室高一期末）50名同学的体重情况如下表所示：
分组（ ）
频数 6 8 15 18 3
则这50名同学体重小于 的频率为（ ）
A．0.28 B．0.58 C．0.42 D．0.94
【答案】B
【详解】这50名同学体重小于 的频率为故选：B.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）一个容量为20的数据样本，分组和频数为 ，2个、
，3个、 ，4个、 ，5个、 ，4个、 ，2个，则样本数据在区间 的可
能性为（ ）
A．5% B．25% C．50% D．70%
【答案】D
【详解】由题意，在区间 中样本个数为 个，
所以样本数据在区间 的可能性为 .
故选：D.
例题3．（2022·全国·高一课时练习）掷一枚均匀的硬币100次，其中54次出现正面，则出现正面的频
率是______．
【答案】0.54
【详解】由频率=频数÷总数可知，出现正面的频率 = .
故答案为：0.54
例题4．（2022·全国·高一单元测试）已知某运动员每次投篮命中的概率都为 ，现采用随机模拟的
方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 到 之间取整数值的随机数，指定 、
、 、 表示命中， 、 、 、 、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结
果，经随机模拟产生了如下 组随机数：
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.
【答案】 ##
【详解】 组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是 、 、 、 、 ，
其频率为 ，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 .
故答案为：
例题5．（2022·全国·高一课时练习）某市统计近几年新生儿出生数及其中的男婴数（单位：人）如
下：
时间 2017 2018 2019 2020
出生婴儿数 21840 23070 20094 19982
出生男婴数 11453 12031 10297 10242
(1)试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）；(2)该市男婴出生的概率约为多少？（精确到0.01）
【答案】(1)0.524，0.521，0.512，0.513
(2)0.52
（1） ，
，
，
.
（2）由（1）中数据，该市男婴出生的概率
.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高一单元测试）某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件
“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为 B．概率为 C．频率为 D．概率接近
【答案】A
【详解】依题意可知，事件 的频率为 ，概率为 .
所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
2．（2022·全国·高一课时练习）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
第一 第三
第二组 合计
组 组
投篮次数 100 200 300 600
命中的次数 68 125 176 369
命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么误差较小的可能性的估计是（ ）A．0.68
B．0.625 C．0.587 D．0.615
【答案】D
【详解】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小．
故选：D．
3．（2022·全国·高一课时练习）若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用
事件A发生的频率 来估计事件A的概率，即 ___________．【答案】
【详解】在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件 发生的频率会在随机事件 发生的概率
附近摆动并趋于稳定，这个性质成为频率的稳定性.因此，可以用事件A发生的
频率 来估计事件A的概率，即 .
故答案为：
4．（2022·全国·高一课时练习）一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗
效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是______．
【答案】0.386##
【详解】解：由题意可得没有明显疗效的人数为 ，
所以没有明显疗效的频率为 ，
故答案为：0.386
5．（2022·全国·高一课时练习）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了25根棉花纤维的长
度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）（单位：mm），所得数据都在区间 中，具体数据如
下：
12 14 16 17 17
19 20 20 21 22
23 23 23 24 24
25 25 26 27 27
28 29 30 32 34
试估计这批棉花中长度小于20 mm的棉花纤维的占比．
【答案】 ．
【详解】由题，样本中棉花中长度小于20 mm的棉花纤维有6根，则占比为 ，
由样本估计总体，故估计这批棉花中长度小于20 mm的棉花纤维的占比为 ．
题型四：互斥事件与对立事件及其概率
典型例题
例题1．（2022·新疆·塔城市第三中学高二阶段练习） 年某省新高考将实行“ ”模式，即语
文､数学､外语必选，物理､历史二选一，政治､地理､化学､生物四选二，共有 种选课模式.某同学已选了
物理，记事件 “他选择政治和地理”，事件 “他选择化学和地理”，则事件 与事件
（ ）
A．是互斥事件，不是对立事件 B．既是互斥事件，也是对立事件C．既不是对立事件，也不是互斥事件 D．无法判断
【答案】A
【详解】 事件 和事件 不能同时发生， 事件 和事件 是互斥事件；
该同学还有政治和化学、政治和生物等不同选择， 事件 和事件 不是对立事件；
综上所述：事件 和事件 是互斥事件，不是对立事件.
故选：A.
例题2．（2022·山东·微山县第二中学高二阶段练习）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个
球，那么不互斥的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”
【答案】A
【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A正确；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，B不正确；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；
“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”不可能同时发生，D不正确．
故选:A.
例题3．（2022·全国·高一课时练习）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现
乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（ ）
A．0.09 B．0.96 C．0.97 D．0.98
【答案】B
【详解】记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与 是对立事件，
所以 ．
故选：B.
例题4．（多选）（2022·浙江台州·高二期中）设 ， 为两个随机事件，若 ， ，下
列命题中，正确的是（ ）
A．若设 ， 为互斥事件，
B．
C．若 ，则设 ， 为相互独立事件
D．若设 ， 为相互独立事件，则
【答案】AC【详解】若A，B为互斥事件， ，所以选项A正确；
若 时， ，所以选项B不正确；
因为 ，所以选项C正确；
若A，B为相互独立事件， ，所以选项D不正确，
故选：AC
例题5．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）为庆祝建校115周年，某校举行了校史知识竞
赛．在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答．已知甲每道
题答对的概率为 ，乙每道题答对的概率为 ，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.
(1)求甲恰好抽到1道填空题的概率；
(2)求甲比乙恰好多答对1道题的概率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）记3道选择题的题号为1，2，3，2道填空题的题号为4，5，
则试验的样本空间 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，
记事件 “甲恰好抽到1道填空题”，则 ，故 ，
因此甲恰好抽到1道填空题的概率为 .
（2）设事件 ， 分别表示甲答对1道题，2道题，事件 ， 分别表示乙答对0道题，1道题，
根据事件的独立性得 ， ，
， ，
记事件 “甲比乙恰好多答对1道题”，
则 ，且 ， 两两互斥， 与 ， 与 分别相互独立，
所以 ， ，
所以 ，
故甲比乙恰好多答对1道题的概率为 .同类题型归类练
1．（2022·山东·梁山县第一中学高二阶段练习）一个人打靶时连续射击三次，与事件“至多有两次中靶”
互斥的事件是（ ）
A．至少有两次中靶 B．三次都不中靶
C．只有一次中靶 D．三次都中靶
【答案】D
【详解】由题意可知一个人打靶时连续射击三次，事件“至多有两次中靶”与“三次都中靶”不可能同时
发生，
所以事件“至多有两次中靶”的互斥事件为“三次都中靶”，
故选：D
2．（2022·陕西渭南·高一期末）把红、黄、蓝、绿4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分
得一张，事件“甲分得蓝牌”与“丁分得蓝牌”（ ）
A．是对立事件 B．是不可能事件
C．不是互斥事件 D．是互斥但不对立事件
【答案】D
【详解】对立事件是非此即彼，甲、乙、丙、丁都可能分得蓝牌，故“甲分得蓝牌”与“丁分得蓝牌”
是互斥但不对立事件，
故选：D
3．（2022·江西·九江市同文中学高二期中）围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑
子的概率为 ，从中取出2粒都是白子的概率是 .那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，
则事件A与B互斥.
“从中取出2粒不是同一色”为事件C，则C与 对立，
所以 ，
即“从中取出2粒不是同一色”的概率为 .
故选：D
4．（多选）（2022·湖北宜昌·高二期中）中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛
中的得分情况如下表：
投篮次
投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中
数100 55 18 m
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概
率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】由题意可知， ,
， ，
事件 与事件 为对立事件，且事件 ， ， 互斥，
所以 ，
，
，
故选：ABC.
5．（2022·浙江·玉环市玉城中学高二阶段练习）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过 、 、 三
道工序加工而成的， 、 、 三道工序加工的元件合格率分别为 、 、 ．已知每道工序的加工都相
互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，
不进入市场．
(1)生产一个元件，分别求该元件为一等品和二等品的概率；
(2)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.
【答案】(1) ； .
(2) .
（1）
该元件为一等品的概率为
该元件为二等品的概率为
（2）
由（1）得，元件为一等品的概率为
则元件不为一等品的概率为那么3个元件中至少有2个元件是一等品的概率为 .
