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2025 年高考数学全真模拟卷01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，则
的值是（ ）
A．2
B．－2
C．
D．
3．已知
为单位向量，且
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知数列
为等差数列，
，
，，
，设
，
，则
是
的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
5．国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试. 从
年开始，每年进行一次测试评估. 在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围
是
至
分，如图是
年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图.
据图中数据，下面说法正确的是（ ）
1
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A．该地学生成绩的中位数一定大于
B．该地学生成绩的众数介于
至
之间
C．该地学生成绩的极差介于
至
之间
D．该地学生成绩没有超过
分学生所占比例为
6．已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
是椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点，经过原点
的直线与椭圆
交于
两点，若
，且
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知正四面体
的棱长为，如果一高为
的长方体能在该正四面体内任意转动，则该长方体的
长和宽形成的长方形面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知
为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．若
，则
10．已知函数
，若
及其导函数
的部分图象如图所示，
则（ ）
A．
B．函数
在
上单调递减
2
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C．
的图象关于点
中心对称
D．
的最大值为
11．已知函数
，则（ ）
A．
，曲线
与定直线相切
B．
，使得函数
为减函数
C．当
时，函数
只有最大值，没有最小值
D．当
时，
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分,其中14 题第一空2 分，第二空3 分。
12．已知抛物线
上一点
到焦点的距离为
，则其焦点坐标为 ．
13．某商场举办一个促销活动，一次性消费达到一定金额可抽奖一次，抽奖规则：在一个不透明的箱子中
放有7 个质地、大小完全相同的小球，每个小球的表面上均标有1 个数字，数字为1 或2，每次抽奖从箱子
中一次性随机摸取3 个小球，若3 个小球表面上所标数字之和为奇数，则中奖，否则不中奖.记标有数字1
的小球个数为
，从商场的角度考虑，若想使中奖率最低，则
.
14．已知函数
关于直线
对称，则函数
的所有零点之和
为 ，
的最小值为 .
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
在三角形中，内角
的对边分别为
，已知
(1)求
；
(2)若
（i）求
；
（ii）求
.
16．（15 分）
已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
3
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(2)求函数
的单调性；
(3)设函数
.证明：存在实数
，使得曲线
关于直线
对称.
17．（15 分）
如图1，菱形
的边长为
是
的中点，将
沿着
翻折，使点
到点
处，连
接
，得到如图2 所示的四棱锥
．
(1)证明：
．
(2)当
时，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
18．（17 分）
已知双曲线
的右焦点为
，左顶点为
，点
在
的渐近线上，且点
到
渐近线的距离为2，动直线交
于
两点.
(1)求
的方程；
(2)若的方程为
，点
在
上，且其横坐标与点
的横坐标均不相等，证明：直线
与
直线
的斜率之积为定值；
(3)若经过点
，直线
与
轴分别交于点
，且
的中点为
，证明：
为定点，并求点
到
的距离最大时的方程.
19．（17 分）
已知递增数列
的各项为正整数，前
项和为
，数列
满足“对任意的
，均有
成立.且
.
(1)证明：数列
为等差数列，并求
的通项公式；
(2)若
的公差大于1，定义首项为2 且公比大于1 的等比数列为“G-数列”，证明：
①对任意
且
，存在“
-数列”
，使得
成立；
4
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②当
且
时，不存在“
-数列”
，使得
对任意正整数
成立.
5
