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2025 年高考数学全真模拟卷 02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知圆 与 轴相切，则 （ ）
A．1 B．0或 C．0或1 D．
5．某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的
身高和体重得下表：
身高 （单位： 167 173 175 177 178 180 181
体重 （单位： 90 54 59 64 67 72 76
由表格制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线 的方程为 ，其相关系数为 ；经过残差分析，点
对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线 的方程为 ，相关系数
为 .则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．数列 对任意的 有 成立，若 ，则 等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在三棱锥 中， ，其他棱长都是 ，则三棱锥 外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系 中，把到定点 距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线.
若 ，点 为双纽线 上任意一点，则下列结论正确的个数是（ ）
① 关于 轴不对称
② 关于 轴对称
③直线 与 只有一个交点
④ 上存在点 ，使得
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量 ， 满足 ， 且 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线 是函数 图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 不可能是 的零点
C．若 在区间 上有且仅有2个对称中心，则
D．若 在区间 上单调递减，则
11．已知关于 的方程: 有两个正根 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,其中14题第一空2分，第二空3分。
12． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 ．
13．为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合，提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使
命感，某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”、“社区文
化”、“便民服务”、“法律援助”、“教育服务”、“公益慈善”六项社区服务活动，并对活动开展顺
序提出了如下要求，重点活动“法律援助”必须排在前三位，且“便民服务”和“教育服务”两项活动必
须排在一起，则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是 ．（用数字作答）
14．已知 、 分别为双曲线 的左右焦点，过 的直线与双曲线左支交于A，B两
点，且 ，以 为圆心， 为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知三棱柱 中， ， ， ，(1)求证：平面 平面
(2)若 ，且 是 的中点，求平面 和平面 的夹角的正弦值．
16．（15分）
已知数列 中， .
(1)若 依次成等差数列，求 ；
(2)若 ，证明：数列 为等比数列；
(3)若 ，求 的前 项和 .
17．（15分）
下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 8 12
米色内饰 2 3
(1)若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是
米色内饰，求 ，并据此判断事件 是否相互独立．
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型．现做
出如下假设：
假设1．抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰有一个同色；
假设2．一等奖为600元，二等奖为300元，三等奖为150元；
假设3．按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高．
请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖．设奖金为X，写出X的分布列，并求X的期望．18．（17分）
已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 在区间 内有最小值，求 的取值范围；
(3)若关于 的方程 有两个不同的解 ， ，求证： ．
19．（17分）
已知椭圆 经过点 ，其右顶点为 ，上顶点为 为坐标原点，且离心
率为 .
(1)设 在点 处的切线 ，其斜率为 的斜率为 ，求 的值；
(2)过 在第一象限的点 作椭圆 的切线，分别与 轴， 轴交于点 ，且 为线段 的中点，记
以点 为中心， 轴， 轴为对称轴，且过点 的椭圆为 ，依此类推，， ，过椭圆 在第一象限
的点 作椭圆 的切线，分别与 轴， 轴交于点 ， ，且 为线段 的中点，记以点 为中
心， 轴， 轴为对称轴，且过点 ， 的椭圆为 ，由此得到一系列椭圆 .
（i）求 的方程；
（ii）过点 作直线 与椭圆 分别交于 ，求证： .
（附：若 为椭圆 上一点，则椭圆在点 处的切线方程为： ）
