文档文本内容
专题 01 集合与常用逻辑用语
目录
01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读01】集合与元素
【知能解读02】集合间的基本关系
【知能解读03】集合的基本运算
【知能解读04】充分条件与必要条件
【知能解读05】全称量词与存在量词
03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破01】利用元素与集合的关系求参数
【重难点突破02】利用集合间的关系求参数
【重难点突破03】根据交集、并集、补集的运算求参数
【重难点突破04】利用充分必要条件求参数
【重难点突破05】根据全称、存在量词命题的真假求参数
【重难点突破06】突破双变量“存在性”或“任意性”问题
04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错01】对集合表示方法的理解偏差致错
【易混易错02】忽视（漏）空集致错
【易混易错03】忽视集合元素的互异性致错
【易混易错04】充分性与必要性位置颠倒理解错误致错
【易混易错05】对含有一个量词命题的否定理解致错
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧01】子集的个数问题
【方法技巧02】判断集合间的关系
【方法技巧03】Venn图在集合运算中的应用
【方法技巧04】集合新定义的解题思路
【方法技巧05】充分条件与必要条件的判断01 集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号 或 表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
5、常见集合的含义
集
合代
表 方程 不等式 函数 的 函 数 函数 图象
元 的根 的解 自变量的取值 的函数值 上的点
素
【真题实战】（2025·河南·三模）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合 ，且 ，则 ．
所以 ， ， ， .故选：C.
02 集合间的基本关系
表示
文字语言 符号语言 图形语言
关系
集合A的所有元素都是集合B的
子集 或
元素（ 则 ）
基本
集合A是集合B的子集，且集合
关系
真子集
或
B中至少有一个元素不属于A
相等 集合A，B的元素完全相同
不含任何元素的集合．空集是任
空集
何集合A的子集
【真题实战】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． ⫋ D． ⫋
【答案】C
【解析】由 ，显然 为奇数，
而 ，所以 ⫋ .故选：C03 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A ⇔A B⊆.
（3）补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅． ∁U (∁U A)＝A； ⇔ ⊆
∁U (A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)； ∁U (A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合 则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，故 ，故选：D.
04 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p⇏q
p是q的充分条件 p不是q的充分条件
⇒
条件关系
q是p的必要条件 q不是p的必要条件
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
定理关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充要条件
（1）充要条件的定义
如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均为真命题，即既有 ，又有 ，就记作
．
此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称充要条件．
（2）充要条件的含义： 是 的充要条件，则 也是 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同．
（3）充要条件的等价说法： 是 的充要条件又常说成是 成立当且仅当 成立，或 与 等价．
【真题实战】（2025·天津·一模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于函数 在R上单调递增，由 ， ，知 ，
由函数 在 上单调递增，则 ，故充分性成立；
由上， 有 ，进而有 ，故必要性也成立；
所以“ ”是“ ”的充要条件.故选：A
05 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“ ”表示．
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：通常，将含有变量 的语句用 ， ， ，…表示，变量 的取值范围用 表示，
那么，全称量词命题“对 中任意一个 ， 成立”可用符号简记为 ．
2、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“ ”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题．
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“ ”，读作“非p”或p的否定．
（1）全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题：
．
（2）存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题：
．
（3）命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只
能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
（4）常见正面词语的否定：
正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不 小 于 不是 不都是
（≥）
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个
否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个
【真题实战】（2025·重庆·三模）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
而命题“ ”是全称命题，
所以命题“ ”的否定是“ ”，故选：D.
01 利用元素与集合的关系求参数
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
【典例1】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合 ，且 ，则实数 的值为 ．
【答案】3
【解析】因为 ，所以分为以下两种情况：
当 时，集合 ，违反了集合的互异性，故舍去；
② ，此时集合 ，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述， .
【典例2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知不等式 的解集为 ，若 ，则实数 的取值范
围为
【答案】 或
【解析】由 ，得到 ，等价于 ，
因为 ，则有 ，即 ，解得 或 ，02 利用集合间的关系求参数
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
A B
第二步：看集合中是否含有参数，若 ，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围．常采用数形
结合的思想，借助数轴解答．
【典例1】（2025·河南·二模）已知集合 ， ，若 ，则a的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，又 ， ，
所以 ，解得 .故选：B.
【典例2】（2025·河南·二模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，即 ，解得 或 ，
所以 或 ，因为 且 ，
若 时 ，若 时 ，不符合题意，所以 ，
则 或 ，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .故选：D
03 根据交集、并集、补集的运算结果求参数
法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围．
法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验．
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空
集．
【典例1】（24-25高三下·山东德州·阶段练习）已知集合 ，若 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，故选：B
【典例2】（2025·山东·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】有 或 ，
所以 ， ，
由 有 ，
所以 ，即 .故选：A.
04 利用充分必要条件求参数
1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关
于参数的不等式（不等式组）求解；
2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
【典例1】（2025·福建泉州·模拟预测）设 ， ，若 是 的充分条件，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，得 ，因为 是 的充分条件，
所以 即 ，已知二次函数 ，开口向上，与 轴交于 ，
仅当 满足 ．故选：D．
【典例2】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知集合 ，若
是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由 ， ，则 ，
所以 ，
由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
因为 是 的必要不充分条件，
所以 ，且 ， 也符合题意，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
05 根据全称、存在量词命题的真假求参数
1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成
立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；
2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件
的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在
量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数．
【典例1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知 ，若“ ， ”为假命题，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题“ ， ”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
其否定为： ， ，而函数 的值域为 ，
由“ ， ”为假命题，得“ ， ”为真命题，则 ，
所以 的取值范围是 .故选：C【典例2】（24-25高三上·山东·期末）已知命题p：“ ， ”为真命题，则实数
a的取值范围是 .
【答案】
【解析】对于二次函数 ， .
根据题意，令 ，即 得 成立，解得 .
故实数 的取值范围是 .
06 突破双变量“存在性”或“任意性”问题
1、解决双变量“存在性”或“任意性”的等式问题
（1）关键点：一是理解量词的含义，“脱去”量词，转化为两个函数的值域之间的问题；二是会利用函
数的单调性，求函数的值域．
（2）常见的转化形式：
① ， ， 的值域为 值域的子集；
② ， ， 的值域与 值域的交集不为空集．
2、解决双变量“存在性”或“任意性”的不等式问题
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ；
（4） ， ， ；
【典例1】（2025高三上·安徽淮北·模拟预测）设函数 ， ，若对任意的
，存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得函数 的值域的值域为函数 的值域的子集，
当 时， ，即 的值域为 ，
若 ，则 ，即 的值域为 ，而 ，符合要求；
若 ，则由一次函数的性质可得 ，则有 ，解得 ，又 ，故 ；
若 ，则由一次函数的性质可得 ，
则有 ，解得 ，又 ，故 ；
综上所述， .故选：B.
【典例2】（2025高三下·江苏徐州·模拟预测）已知函数 若
对任意 ，存在 ，使 成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得，对任意 ，存在 ，使 成立，则 成立，
由函数 可得 ，
当 或 时，有 ，故 在 上 单调递增；
当 时，有 ，故 在 上单调递减，
当 时， ；当 时， ，所以 ，
又函数 的开口向上，且对称轴的方程为 ，
当 即 时， ，
由 ，解得 ，不合题意，舍去；
当 即 时， ，
由 ，解得 ，符合题意；
当 即 时， ，
由 ，解得 或 ，不合题意，舍去.
综上所述，实数 的取值范围是 ．01 对集合表示方法的理解偏差致错
辨析：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元
素类型（点集或者数集）及代表元素的含义．
【典例1】（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组 的解集是（ ）
A． ，或 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由方程组 ，解得 ，所以该方程组的解集为 ，
而 .故选：D.
【典例2】（2025·湖北黄冈·二模）若集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合 表示直线 上所有点的集合，其元素是点，
集合 表示直线 上所有点的横坐标的集合，其元素是数，
所以 .故选：D.
02 忽视（漏）空集致错
辨析：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往
容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【典例1】（2025高三下·重庆·模拟预测）已知 ， ， ，则
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以当 ，即 时， ，满足 ，即 ；
当 ，即 时， ，满足 ，即 ；
当 ，即 时，由 ，得 ， ，即 ；
综上， ．故选：C．
【典例2】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合 若
，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得 ，因为 ，所以 .
当 时， ，满足 ；
当 时， ，因为 ，所以 或 ，解得 1或 ，
综上 的取值构成的集合为 .故选：D.
03 忽视集合元素的互异性致错
辨析：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素．
【典例1】（2025·河北衡水·模拟预测）设集合 ， ，若 ，则 .
【答案】
【解析】在 中， ，则 且 ，
而 ， ，显然 ，
因此 ，解得 ，所以 .
【典例2】（2025·山东威海·三模）已知集合 ，若 ，则 （ ）A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
因为集合 ，所以 或 ，解得 或 （ 不合题意舍去），
所以 或2.故选：B.
04 充分性与必要性位置颠倒理解错误致错
辨析：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算．
【典例1】（2025·福建福州·阶段练习）关于 的一元二次方程 有实数解的一个必要不充分条
件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】关于 的一元二次方程 有实数解，
则 ，解得 ，
结合选项可知 的一个必要不充分条件的是 .故选：A.
【典例2】（2025·宁夏银川·四模）若 ， ，则“ ”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对A，由 ，取 ，则 ，
由 ，取 ，则 ，
所以 是 的既不充分也不必要条件，A错误；
对B，由 取 ，则 ，
由 ，取 ，则 ，
所以 是 的既不充分也不必要条件，B错误；对C，由 ，取 ，则 ，
由 ，取 ，则 ，
所以 是 的既不充分也不必要条件，C错误；
对D，因为 ，所以 ，即 ，
当 时，取 ，则 ，
所以 是“ ”的一个充分不必要条件，D正确；故选:D.
05 对含有一个量词命题的否定理解错误致错
辨析：对含有一个量词的命题进行否定时，先将存在（全称）量词变为全称（存在）量词，再将结论加以
否定论．这类问题最常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没有给予否定．有些命题中的量词不明显，
应注意挖掘其隐含的量词．
【典例1】（2025·甘肃白银·模拟预测）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】易得全称量词命题“ ， ”的否定
是存在量词命题“ ， ”.故选:C.
【典例2】（24-25高三上·河南周口·期中）命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶
数”的否定为（ ）
A．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
B．对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
C．存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
D．不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
【答案】B
【解析】命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为“对任意的偶数a，
数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数”.故选：B01 子集的个数问题
求子集个数的两种方法：
1、列举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况；
2、公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空
真子集的个数是2n－2．
【典例1】（2025·山东潍坊·二模）已知集合 ，则 的子集的个数是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】由 ，解得 ，
所以 ，
所以 的子集有 个.故选：B
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知集合 ，
，则满足条件 的集合 的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
，
由 可得 ，
由于每个符合条件的集合 都包含元素 、 ，
所以，集合 的个数即为集合 的子集个数，
故集合 的个数为 .故选：C.
02 判断集合间的关系判断集合间关系的三种方法：
1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系；
2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征
判断集合间关系；
3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．
【典例1】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知集合 ，则
（ ）
A． ⫋ B． ⫋ C． D．
【答案】A
【解析】由题意知， ，
又 ，所以 ⫋ .故选：A
【典例2】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
，
因为 ⊆ ，
所以 ，故选：B.
03 Venn图在集合运算中的应用
元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达．有时题设条件比较抽象，
也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题．
【典例1】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为 ，集合 是 的两个子集，若 ，则下列运算
结果为 的子集的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】作出Venn图，如图，
对于A， ，故A错误；
对于B， 与集合 交集是空集，
若 ，则 不是 的子集，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， 与集合 交集是空集，
若 ，则 不是 的子集，故D错误；故选：C.
【典例2】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若集合 、 、 满足： ⫋ ⫋ ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
由韦恩图可知， ， ， ， ，故选：C.
04 集合新定义的解题思路
在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算．
解题时，要抓住两点：
（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中；
（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握．
【典例1】（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）设 为两个实数集，定义集合
，若 ，则 的子集个数为（ ）A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】B
【解析】由题意 ，
所以 的子集个数为 ，故选：B
【典例2】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的
成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形式表示 和 除以 的余数相同．已知集合 满足 ，
， ．对于集合 中的任意一个元素 ，下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因 ，则 ，
因 ，则 ，
又 ， ，
则
又 ，则 ，故A正确；
，则 ，故B正确；
，则 ，故D正确；
不妨取 ，不满足 ，故C错误.故选：C.
05 充分条件与必要条件的判断
充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1、定义法：（1）分清命题的条件和结论；（2）判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假；（3）得出结
论.
2、集合法：利用集合间的包含关系进行判断；
3、等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．
【典例1】（2025·辽宁·三模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若 ，则满足 ，但不满足 ，故 无法得到 ；
若 ，则满足 ，但不满足 ，故 无法得到 ，
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.故选：D
【典例2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知直线 平面 ，直线 平面 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】在正方体 中， 平面 ， 平面A B C D ，
1 1 1 1
显然 ，而平面 平面A B C D ，
1 1 1 1
因此有直线 平面 ，直线 平面 ，由 不能推出 ；
在正方体 中， 平面 ， 平面 ，
显然平面 平面 ，而直线 ，
因此有直线 平面 ，直线 平面 ，由 不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.故选：D
