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专题04 导数及应用（解答题）
考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
考点1 利用导
数求函数单调
性，求参数
2024 全国甲卷 Ⅰ卷
2023 Ⅱ卷 乙 甲
2022 甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷
2021 甲卷 Ⅰ卷
2020 Ⅰ卷 Ⅲ卷
含参的函数利用导数求参数问题
是高考中的一个高频考点，也是
必考点，通过函数单调性转化成
为恒成立问题或者存在使成立问
题以及其他问题，可直接求导或
者是利用分离参数去转化。
考点2 恒成立
问题
2023 甲卷
2022 甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
2021 乙卷 Ⅱ卷
2020 ⅠⅡⅢ卷
考点3 与三角
函数相关导数
问题
2023 Ⅱ卷 甲卷
2022 天津卷
2021 Ⅰ卷
2020 Ⅱ卷 甲卷
与三角函数相关问题随着新高考
新结构的出现，这类题目一压轴
题出现的频率会变大。
考点04 导数
综合类问题
2024 北京 天津
2023 乙卷 北京 Ⅰ卷 天津
2022 甲卷 Ⅰ Ⅱ卷
2021 乙卷Ⅰ卷
2020 Ⅱ Ⅲ卷
导数综合类问题一直是高考数学
的压轴题一般牵扯到不等式的证
明问题，极值点偏移问题，拐点
偏移问题，隐零点问题，函数放
缩问题。未来也是高考重难点
考点05 新定
义问题
2024 上海卷
随着高考数学新结构的形式出
现。导数新定义问题将成为高频
考点
考点01 利用导数求函数单调性，求参数
1
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一、解答题
1．（2024·全国·高考Ⅰ卷）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
3．（2024·全国·高考甲卷理）已知函数
．
2
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(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
4．（2023·年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
5．（2023 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若函数
在
单调递增，求
的取值范围．
3
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6．（2022 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)若
恰有一个零点，求a 的取值范围．
7．（2022 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数
，曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线．
(1)若
，求a；
(2)求a 的取值范围．
8．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数
，其中
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
的图象与
轴没有公共点，求a 的取值范围.
4
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9．（2020 年全国高考Ⅰ卷（文）数学试题）已知函数
.
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求
的取值范围.
10．（2020 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式
恒成立，求a 的取值范围．
11．（2023·全国乙卷）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
5
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12．（2022·全国乙卷）已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
各恰有一个零点，求a 的取值范围．
13．（2021·全国甲卷）已知
且
，函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
14．（2021·天津·统考高考真题）已知
，函数
．
（I）求曲线
在点
处的切线方程：
（II）证明
存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
6
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15．（2020 年全国高考Ⅰ卷）已知函数
.
（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1，求a 的取值范围.
考点02 恒成立问题
一、解答题
1．（2024·全国·高考甲卷文）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
2．（2023 全国新高考Ⅰ卷）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
7
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3．（2022·北京·统考高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意的
，有
．
4．（2021·全国乙卷）设函数
，已知
是函数
的极值点．
（1）求a；
（2）设函数
．证明:
．
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数
．
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
在
处取得极值，求
的单调区间，以及其最大值与最小值．
8
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6．（2021·天津·统考高考真题）已知
，函数
．
（I）求曲线
在点
处的切线方程：
（II）证明
存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
7．（2020 年全国新高考Ⅰ卷）设函数
，曲线
在点(
，f(
))处的切线与y 轴垂直．
（1）求b．
（2）若
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
8．（2023 年全国新高考Ⅱ卷（文））
（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
9
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9．（2020 年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式
恒成立，求a 的取值范围．
考点03 三角函数相关导数问题
一、解答题
1．（2023 年全国高考Ⅱ卷）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
2．（2023·全国甲卷）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
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3．（2022·天津·统考高考真题）已知
，函数
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
和
有公共点，
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
．
4．（2020 年全国高考Ⅱ卷）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：
；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
.
5．（2021 年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x [0
∈
，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
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考点04 导数类综合问题
1（2024·北京·高考真题）设函数
，直线是曲线
在点
处
的切线．
(1)当
时，求
的单调区间.
(2)求证：不经过点
.
(3)当
时，设点
，
，
，
为与
轴的交点，
与
分别表示
与
的面积．是否存在点
使得
成立？若存在，这样的点
有几个？
（参考数据：
，
，
）
2．（2024·天津·高考真题）设函数
．
(1)求
图象上点
处的切线方程；
(2)若
在
时恒成立，求
的值；
(3)若
，证明
．
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3．（2023·全国乙卷）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
4．（2022·全国甲卷）已知函数
．
(1)若
，求a 的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，则
．
5．（2022 年全国新高考Ⅰ卷）已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
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6．（2022 年全国高考Ⅱ卷）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
7．（2021·全国乙卷）设函数
，已知
是函数
的极值点．
（1）求a；
（2）设函数
．证明:
．
8．（2022 年全国新高考Ⅰ卷）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
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9．（2022 年全国新高考Ⅱ卷）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：
只有一个零点
①
；
②
．
10．（2020 年全国高考Ⅲ卷）设函数
，曲线
在点(
，f(
))处的切线与y 轴垂直．
（1）求b．
（2）若
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
11．（2023·北京·统考高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
15
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12．（2023·天津·统考高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在
处切线的斜率；
(2)当
时，证明：
；
(3)证明：
．
13．（2021·全国乙卷）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）求曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标．
14．（2021 年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：
只有一个零点
16
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①
；②
．
15．（2020·全国高考Ⅱ卷）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c 的取值范围；
（2）设a>0 时，讨论函数g（x）=
的单调性．
16．（2020·全国高考Ⅲ卷(文)）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有三个零点，求
的取值范围．
17（2021·年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
17
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考点05 函数导数新定义
1（2024·上海·高考真题）对于一个函数
和一个点
，令
，若
是
取到最小值的点，则称
是
在
的“最近点”．
(1)对于
，求证：对于点
，存在点
，使得点
是
在
的“最近点”；
(2)对于
，请判断是否存在一个点
，它是
在
的“最近点”，且直线
与
在点
处的切线垂直；
(3)已知
在定义域R 上存在导函数
，且函数
在定义域R 上恒正，设点
，
．若对任意的
，存在点
同时是
在
的“最近
点”，试判断
的单调性．
18
