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教考衔接二十六 教材命题点探源
高三数学 突破卷04
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．若复数z 满足
（i 为虚数单位），则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
，
，
所以
，所以
，所以
，
故选：C
2.已知集合
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】易知集合
2
|
1
{ | 1
1}
A
x x
x
x
，
2
| log
1
{
0
2}
B
x
x
x
x
∣
，所以
{
1
2}
A
B
x
x
∣
.
故选：A.
3.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
又
，
.
故选：D．
4.已知向量
，
，
且
，求
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为
，
，所以
，
，
由
得，
，则有
，解得
或
，
因为
，所以
，即
.
故选：C
5.若随机变量
，且
，则
的最大值为（ ）
A．9
B．
C．24
D．27
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
，所以
，
易知当
时，
的最大值为
.
故选：A.
6.用一个与圆柱底面成
角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆柱的底面半径为
，则底面圆的直径为
，
椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即
，
长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得
，
所以
，所以该椭圆的离心率
，
故选：D.
7．一个底面边长和侧棱长均为4 的正三棱柱密闭容器
，其中盛有一定体积的水，当底面
水平放置时，水面高为
.当侧面
水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几
何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】方法一：
，
如图
，
，
而
，
，
，即
，
由于
到
距离
，则
到
距离
，
设正方形
外接圆圆心
，则
设矩形
外接圆圆心
，则
，设外接球半径
，
，故外接球表面积为
，
故选;A.
方法二：由当底面
水平放置时，水面高为
可知容器内的空气占容器体积的
，于是侧放时，图
中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的
，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三
角形的
，则边长之比为
，即“小三角形”边长为1.然后如图：
设圆的半径为
，由余弦定理可得
，
故
，故
，
所以外接球的半径为
，所以球的表面积为
.
故选：A.
8．若函数
有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，原函数化为
，依题意，函数
有极值，
求导得
，
令
，
，求导得
，
而
，令
，得
，
当
时，
，则
，得函数
在
上单调递减，
又
时，
；
时，
，
因此存在
，使得
，即函数
，亦即函数
存在极值；
当
时，
，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上递减，在
上递增，则
，
设
，求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又
，且
时，
，
则
时，
，此时函数
，即
无极值；
当
时，
，且
时，
；
时，
，
此时函数
，即
存在极值，
所以
的取值范围为
.
故选：A
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知函数
的定义域为
，对任意正实数，函数
在
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，令
，
，则
在
上单调递增，
此时
，所以
不一定成立，所以A 错误；
对于B，令
，因为函数
在
上单调递增，
所以
，即
，所以B 正确；
对于C，令
，因为
是增函数，
所以
，
所以
，所以
，所以
，所以C 正确；
对于D，令
，因为
是增函数，
所以
，
所以
；
令
，因为
是增函数，
所以
，
所以
；
令
，因为
是增函数，
所以
，
所以
；
……
令
，因为
是增函数，
所以
，
所以
，
所以
，
所以D 正确.
故选：BCD.
10. 已知函数
在区间
上单调递减，直线
为函数
图象的一条对称轴，点
为其图象的一个对称中心，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数
的最小正周期为
B. 点
是函数
的图象的一个对称中心
C. 将
的图象向右平移
个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数
D. 若
在
上有且仅有个极值点，则
【答案】BCD
【解析】因为函数
在区间
上单调递减，
且直线
为函数
图象的一条对称轴，
则函数
在
上取得最小值，则
①，
因为点
为函数
图象的一个对称中心，则
②，
②
①可得
，故
，
设函数
的最小正周期为
，则
，可得
，故
，
又因为
且
，故
，
所以
，故
，
又因为
，所以
，故
，
对于A 选项，函数
的最小正周期为
，A 错；
对于B 选项，因为
，
故点
是函数
的图象的一个对称中心，B 对；
对于C 选项，将
的图象向右平移
个单位长度后所得图象对应的函数为
，
故所得函数为偶函数，C 对；
对于D 选项，
，且
，
当
时，
，
因为
在
上有且仅有个极值点，则
，
解得
，即
，D 对.
故选：BCD.
11．某电脑程序每次等概率随机输出
中的一个数，
和
分别表示输出的前n 个数中的最大
值和最小值.已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数.则下列命题正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】选项A：
表示第一个数的最大值，即该数本身；
表示第一个数的最小值，也即该数本身；
所以
，
，A 正确；
选项B：
表示输出的前3 个数的最大值为3，
即需满足“输出的每个数
，且至少有一个数为3”.
所有数均
的概率：
；
所有数均
的概率：
.
所以
，B 正确；
选项C：
表示输出的前3 个数的最小值为3，
即需满足“输出的每个数
，且至少有一个数为3”.
所有数均
的概率：
；
所有数均
的概率：
.
所以
，C 错误；
选项D：记
为事件A，即前4 个数最大值为6，
为事件B，前4 个数最小值为3.则
.
表示前4 个数最大值为6 且最小值为3，
即所有数均在3 到6 之间（含3 和6），
所以
.
故
，D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12.已知
,
,则
_______________.
【答案】
【解析】
,
,所以
即
原式
,
原式
.
故答案为：
.
13.已知数列
满足对任意
，都有
，且
，则使
的前k 项的积大于
的k 的最大值为__________.
【答案】4
【解析】在
中取
，
，得
，所以数列
是首项为
，
公比为
的等比数列，
所以
.记
的前n 项的积为
，则由
，得
，故
，又
，
，
，
所以使
的前k 项的积大于
的k 的最大值为4.
14．过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直
线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数
与函数
的
“公法线”方程为 ．
【答案】
【解析】对于函数
，有
，可得
，解得
，
故函数
的定义域为
，
由
求得，
，则法线斜率为
，
则
在点
处的法线方程为
，
即
，
由
求导得
，则法线斜率为
，
则
在
处的法线方程为
，
即
，由“公法线”得，
，
这两个等式相加得
，即
，
令
，则
，
故函数
在
上为增函数，
又因为
，所以函数
有且只有唯一的零点
，
解方程组
，可得
或
，
，
又因为
，故
，故
要舍去，即
，
，
所以“公法线”方程为
，
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）设数列
满足
，其中
.
（1）证明：
是等比数列；
（2）令
，设数列
的前n 项和为
，求使
成立的最大正整数n 的
值.
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】（1）证明：
.
又
，
所以
是首项为2，公比为2 的等比数列.
（2）由（1）知，
，即
，
所以
，则
，①
，②
，得
，
所以
.
所以
，
所以
为单调递增数列.
因为
，
，
所以使
成立的最大正整数n 的值为6.
16.（15 分）如图，在
中，
，
，D 是AC 中点，E，F 分别是BA，BC 边
上的动点，且
，将
沿EF 折起，点B 折至点P 的位置，得到四棱锥
.
（1）求证：
平面PAC.
（2）若
，二面角
是直二面角，求线段AP 的中点M 到平面PEC 的距离；
（3）当
时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）证明：在四棱锥
中，
，
又
平面
，
平面PAC，
所以
平面PAC.
（2）由
，
，得
，折叠后，在四棱锥
中，
，
.
因为二面角
是直二面角，
所以平面
平面EFC，平面
平面
，
，
平面
，
平
面EFC.
因为
平面EFC，所以
，
以FE，FC，FP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
.
设平面PCE 的一个法向量为
，
则
令
，得
，
故所求点面距离为
.
（3）以直线CA 和CB 分别为x 轴，y 轴，过点C 作平面ACFE 的垂线为
轴，建立空间直角坐标系.
设
，
，
，
，
，显然
，
所以
，
，
，解得
，
所以
，所以
.
因为点P 与其在直线FC 上的射影及点F 围成以线段PF 为斜边的直角三角形，
则
，即
，且
，
，所以
.
因为平面ABC 的一个法向量为
，
设直线PE 与平面ABC 的所成角为
，
所以
，
所以
.
令
，函数
在
上单调递减，
，
所以
，所以
，解得
，
所以直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围是
.
17．（15 分）已知抛物线
，椭圆
过点
与
有相
同的焦点
是
与
的等差中项．
（1）求
和
的方程；
（2）如图所示，曲线
是由抛物线
的一部分
和椭圆
的一部分
构成的封闭图形．在曲线
上，
点
为
上的动点．过点
的直线与
交于
两点．
（i）求直线的斜率的取值范围；
（ii）若
的面积为
，当
时，求直线的方程．
【答案】(1)
，
(2)（i）
；（ii）
或
【解析】（1）
过点
，
，又
是
与
的等差中项，
,解之得，
，
椭圆
的方程为：
；焦点
，又
与
有相同的焦点
，
；
（2）（i）联立
与
，
，
解之得
，
，
设的方程为：
，联立
，
则直线与
相切时，
，得
，
则切线斜率
，所以
；
又
，
直线的斜率的范围是
；
（ii）设
，
，
．
，由对称性，不妨取
，
设
，由（i）得
，
由弦长公式得
，
设点
到直线
的距离为
，
，
解之得
，由椭圆的对称性，另一个解为
，
，
由（i）得斜率的范围是
符合，
综上可得直线
的方程为：
或
．
18. （17 分）已知函数
的定义域为
，
，导函数
，设
是曲线
在点
处的切线.
（1）求
的最大值：
（2）当
时，证明：除切点A 外，曲线
在直线
的上方；
（3）设过点A 的直线
与直线
垂直，
，
与x 轴交点的横坐标分别是
，
，若
，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【解析】（1）设
，
，
由
可得
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
的最大值为
.
（2）因为
，
所以直线
的方程为
，即
，
设
，
，
由（1）可知，
在
上单调递增，而
，
所以，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，且
，
而当
时，
，所以总有
，
单调递增，
故
，从而命题得证；
（3）解法一：由题意，直线
，直线
1
1
:
(
)
( )
( )
l
y
x
a
f a
f
a
，
所以
，
2
( )
( )
x
f a f
a
a
，
当
时，
ln(1
)
( )
0
1
x
f
x
x
，
在(0,
)
上单调递增，
所以
，
( )
0
f
a
，
所以
2
2
2
( )
1
2
1
( )
1
( )
1
f
a
f
a
f
a
，
由（1）可得当
时，
1
( )
0, e
f
a
，
所以
，
2
2
2
2
2e
,2
e
1
( )
1
f
a
，
所以
.
解法二：由
ln(1
)
( )
1
x
f
x
x
可设
，又
(0)
0
f
，所以
，即
，
因为直线
的方程为
，易知
，
所以直线
的方程为
，
，
.
所以
，
由（1）知，当
时，
，
所以
，所以
.
19.（17 分）随机游走在空气中的烟雾扩散，股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直
角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率
均为
.例如在1 秒末，粒子会等可能地出现在
，
，
，
四点处.
（1）设粒子在第2 秒末移动到点
，记
的取值为随机变量X，求X 的分布列和数学期望
；
（2）记第n 秒末粒子回到原点的概率为
.
（i）已知
，求
，
以及
；
（ii）令
，记
为数列
的前n 项和，若对任意实数
，存在
，使得
，则
称粒子是常返的.已知
，证明：该粒子是常返的.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）（i）
，
，
（ii）证明见解析
【解析】（1）粒子在第2 秒末可能移动到点
，
，
，
，
，
，
，
，
的位置，
则X 的所有可能取值为：
，0，2，
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
2
P
.
（2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故
，粒子在第4 秒末回到原点，分两种情况考虑：
（a）每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有
种情形；
（b）每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有
种情形.
于是
.
第2n 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动
步，向下移动
步，
故
，
故
.
（ii）证明：由
，
可知：
，
于是
，
令
，
，则
，
故
在
上单调递增，则
，
于是
，从而有：
，
即
为不超过x 的最大整数，则对任意实数
，
当
时，
，于是
，
综上所述，当
时，
成立，因此该粒子是常返的.
