【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
规范练6(分值:43 分)
学生用书
P235
1.(13 分)(2024·江苏连云港模拟)已知函数f(x)=ex-1
2
x2-x.
(1)求函数f(x)在x=1 处的切线方程;
(2)证明:∀x∈[0,+∞),f(x)>sin x.
(1)解由f(x)=ex-1
2
x2-x,可得f'(x)=ex-x-1,f'(1)=e1-1-1=e-2.
又f(1)=e1-1
2 ×12-1=e-3
2
,
所以函数f(x)在x=1 处的切线方程为y-e+3
2
=(e-2)(x-1),即(e-2)x-y+1
2
=0.
(2)证明由f(x)=ex-1
2
x2-x,可得f'(x)=ex-x-1,
令h(x)=ex-x-1,可得h'(x)=ex-1.
当x∈[0,+∞)时,h'(x)=ex-1≥0,
所以h(x)=ex-x-1 在区间[0,+∞)上单调递增,
所以h(x)≥h(0)=e0-0-1=0,
即f'(x)=ex-x-1≥0,
所以f(x)=ex-1
2
x2-x 在区间[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)≥f(0)=e0-1
2 ×02-0=1.
当x=0 时,f(0)=1>sin 0=0,
当x>0 时,f(x)>1≥sin x.
综上所述,∀x∈[0,+∞),f(x)>sin x.
2.(15 分)(2024·山东泰安二模)已知函数f(x)=1
2sin 2x-π
3
,△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,
且f A
2
=√3
4 .
(1)求A;
(2)若sin C(1+cos B)=sin B(2-cos C),求c
b
的值.
解(1)∵f A
2
=√3
4
,∴1
2sin A-π
3
=√3
4
,
∴sin A-π
3
=√3
2 .
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
∵0<A<π,∴-π
3
<A-π
3 < 2π
3
,
∴A-π
3 = π
3
,∴A=2π
3 .
(2)sin C(1+cos B)=sin B(2-cos C),
(方法一)sin C+sin Ccos B+sin Bcos C=2sin B,
∴sin C+sin(B+C)=2sin B,
∴sin C+sin A=2sin B,
根据正弦定理得c+a=2b.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc,
①
将a=2b-c 代入①式,得3b2-5bc=0,
∴3b=5c,∴c
b = 3
5 .
(方法二)c(1+a
2+c
2-b
2
2ac
)=b(2-a
2+b
2-c
2
2ab
),
∴c+a
2+c
2-b
2
2a
=2b-a
2+b
2-c
2
2a
,
∴c+a=2b.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc,
①
将a=2b-c 代入①式,得3b2-5bc=0,
∴3b=5c,∴c
b = 3
5 .
3.(15 分)(2024·山东泰安模拟)如图1,在直角梯形ABCD 中,AD∥BC,∠BAD=π
2
,AB=BC=1
2
AD,E 是
AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A1BE 的位置,如图2.
图1
图2
(1)证明:平面BCDE⊥平面A1OC;
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(1)证明在图1 中连接CE,因为AD∥BC,AB=BC=1
2
AD,E 是AD 的中点,∠BAD=π
2
,
所以四边形ABCE 为正方形,四边形BCDE 为平行四边形,所以BE⊥AC,CD∥BE.
图1
图2
即在图2 中,BE⊥OA1,BE⊥OC,OA1∩OC=O,OA1,OC⊂平面A1OC,所以BE⊥平面A1OC.
又因为BE⊂平面BCDE,
所以平面BCDE⊥平面A1OC.
(2)解因为平面A1BE⊥平面BCDE,平面A1BE∩平面BCDE=BE,A1O⊥BE,A1O⊂平面A1BE,
所以A1O⊥平面BCDE.
又因为OC⊂平面BCDE,所以A1O⊥OC.
又由(1)知BE⊥OC,BE⊥OA1,所以直线BE,OC,OA1两两垂直.
如图,以O 为坐标原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标
系,设A1B=1,所以A1B=A1E=BC=ED=1.
因为BC∥ED,所以B √2
2
,0,0 ,E -√2
2
,0,0 ,A1 0,0,√2
2
,C 0,√2
2
,0 .
得⃗BC= -√2
2 , √2
2
,0 ,⃗A1C= 0,√2
2
,-√2
2
,⃗CD =⃗BE=(-√2,0,0).
设平面A1BC 的法向量n1=(x1,y1,z1),平面A1CD 的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC 与平面A1CD 夹角为θ,
则{
n1·⃗BC =0,
n1·⃗A1C =0,
得{
- x1+ y1=0,
y1- z1=0,
取n1=(1,1,1).
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
同理,{
n2·⃗CD =0,
n2·⃗A1C =0,
得{
x2=0,
y2- z2=0,
取n2=(0,1,1).
从而cos θ=|cos<n1,n2>|=|n1·n2|
|n1||n2| =
2
√3×√2 = √6
3
,即平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值为
√6
3 .
