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大题预测 01（A 组+B 组+C 组）
【A 组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，求函数 的最大值．
【答案】（1） 在 上为增函数； 在 上为减函数；（2）
【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间；（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．
【解析】（1） 的定义域为 ，
当 时， ， ，............................................................2分
当 ，解得： ，
当 ，解得： ．
在 上为增函数； 在 上为减函数；....................................................6分
（2） 的定义域为 ， ，............................................................8分
当 时，令 ，得 ，令 时，得 ，
的递增区间为 ，递减区间为 ．............................................................11分
.............................................................13分
16．（15分）
某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是 ，乙获胜的概率是 ，
规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．
（1）求进行3局比赛决出冠亚军的概率；
（2）若甲以 领先乙时，记 表示比赛结束时还需要进行的局数，求 的分布列及数学期望．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，数学期望为【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果；（2）利用分布列步骤求解并求得期望.
【解析】（1）甲3局全胜的概率为 ,......................................................3分
乙3局全胜的概率为 ，......................................................6分
进行3局比赛决出冠亚军的概率为 .........................................................9分
（2） 的可能取值为1，2，
， ，............................................................13分
故 的分布列为：
1 2
故 ．............................................................15分
17．（15分）
直三棱柱 中， ，M为AC的中点，N为 的中点， ．
（1）证明： ；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）证明出三角形全等，得到 ，故 ，
结合 ，得到线面垂直，得到 ，从而得到线面垂直，证明出结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量求出两平面的夹角余弦值.
【解析】（1）设直线 与 相交于点O，因为三棱柱 为直三棱柱，
又 ，所以 ， ， ，
所以 ，所以 ，............................................................2分
又 ，
则 ，即 ；
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，............................................................5分
因为 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ；............................................................7分
（2）由（1）得 两两垂直，
建立空间直角坐标系 如图所示：
设 ，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，............................................................9分
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，令 得 ，则平面 的法向量 ，............................................................11分
， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，解得 ，令 ，则 ，
则平面 的法向量 ，............................................................13分
，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ．............................................................15分
18．（17分）
已知抛物线 经过点 ．
（1）求抛物线 的方程及其准线方程．
（2）设 为原点，直线 与抛物线 交于 （异于 ）两点，过点 垂直于 轴的直线交直
线 于点 ，点 满足 ．证明：直线 过定点．
【答案】（1）抛物线 ，准线方程为 ；（2）证明见解析
【分析】（1）将点代入抛物线方程，即可求得 的值，得到抛物线方程，从而得到准线方程；
（2）联立直线 与抛物线方程，得到 ，再依次求得 ， 的坐标，
从而得到 的方程，令 ，化简即可得证.
【解析】（1）由已知， ，所以 ．
抛物线 ，准线方程为 ．............................................................4分
（2）由 ，消去 ，得 ．
设 ，则 ，且 ．............................................................7分
直线 方程为： ，所以 ．............................................................9分
又 ，则 为 中点，所以 ．
所以 ．............................................................11分
令 ，则 ．
又 ．
所以直线 过定点 ．............................................................17分
19．（17分）
设集合 ，其中 ．若对任意的向量
，存在向量 ，使得 ，则称A是“T集”．
（1）设 ，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；
（2）已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若 （c为常数），求有穷数列 的通项公式．
【答案】（1） 是“ 集”; 不是“ 集”，理由见解析；（2）（i） ；（ii）
【分析】（1）根据“T集”的定义判断即可；
（2）（i）写出等差数列通项，得到向量 的坐标，再分类讨论即可；
（ii）设 ，利用三角数阵和等比数列定义即可.
【解析】（1） 是“ 集”; 不是“ 集”.
理由：当 或 时，
只要 横纵坐标相等即可，则满足 ，
当 ，则 ；当 ，则 ；
当 ，则 ；当 ，则 ；
综上 是“ 集”. ............................................................2分对于向量 ，若存在 ，使得 .则 ，
故 中必有一个为 ，
此时另一个为 或 ，显然不符合，则 不是“ 集”. ........................................................4分
（2）(i)因为 中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为 ，
公差为2，故 ，则向量 的坐标中必含 ，.........................................5分
设另一坐标为 ，则 或 .
所以 或 ，
故 或 ，............................................................7分
所以 或 ，所以 或 ，
所以 或 即 .
此时 ，不满足 ;
或 ，满足 ;
所以 只可能为 .
经检验 是“ 集”，所以 .............................................................9分
(ii)设 .
由 ，得 ，由条件可变形为 ................................................10分
设集合
设集合则 是“ 集”当且仅当 关于原点对称.
因为 是 中唯一负数， 共 个数，
所以 也只有 个数. ............................................................12分
由于 ，
所以 ，已有 个数.
对以下三角数阵：
注意到 ，所以 ....................................................15分
又 为常数)，故有穷数列 为等比数列，且通项公式 .............................................................17分
【B 组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数 （ 、 为实数）的图象在点 处的切线方程为 ．
（1）求实数 、 的值；
（2）求函数 的单调区间和极值．
【答案】（1） ；（2）减区间为 ，增区间为 ，极小值为 ，无极大值.
【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于 、 的方程组，即可得出实数 、 的值；
（2）利用导数分析函数 的单调性，结合极值的定义可得结果.
【解析】（1）因为 ，
该函数的定义域为 ， ，............................................................3分
因为函数 （ 、 为实数）的图象在点 处的切线方程为 ，
则 ，解得 .............................................................7分
（2）由（1）可得 ，
该函数的定义域为 ， ，............................................................8分
由 可得 ，列表如下：
极小
减 增
值所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，
极小值为 ，无极大值. ............................................................13分
16．（15分）
某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析．运动员甲在接力赛中跑第一棒、
第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示．
比赛位
第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
置
出场率 0.3 0.2 0.2 0.3
比赛胜
0.6 0.8 0.7 0.7
率
（1）当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率．
（2）当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率．
（3）如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能是第几棒．
【答案】（1）0.69；（2） ；（3）第四棒
【分析】（1）根据全概率公式即得出答案.
（2）根据条件概率的计算公式即可求解.
（3）由贝叶斯公式，即可做出判断.
【解析】（1）记“甲跑第一棒”为事件 ，“甲跑第二棒”为事件 ，“甲跑第三棒”为事件 ，
“甲跑第四棒”为事件 ，“运动队获胜”为事件B，............................................................2
分
则
，
所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为0.69．............................................................4分
（2） ，
所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为 ........................7分
（3） ，，
，............................................................13分
所以 ．
所以甲最可能是第四棒．............................................................15分
17．（15分）
如图，底面 是边长为2的菱形， 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先证 平面 ，再证 得 ,从而得 平面 ，即得：平面
平面 ；
（2）通过（1）的条件建系，求出相关点的坐标，表示出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算
即得.
【解析】（1） 平面 平面 ， .
又 底面 是菱形， .
平面 平面 ，................................................3分
如图，设 交于 ，取 的中点 ，连 ，则 ，
因 ，则 ，
故 是平行四边形，则因 平面 ， 平面 ，
又因 平面 平面 平面 .............................................................7分
（2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图空间直角坐标系
因 ，
则
............................................................9分
设平面 的法向量为
则 故可取 ，............................................................11分
又
设平面 的法向量
则 故可取 .............................................................13分
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .............................................................15分
18．（17分）
已知点 在椭圆 上，且椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 作直线 交椭圆 于另一点 ，求 的面积的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .【分析】（1）根据椭圆过的点以及离心率，列方程，求出 ，即得答案；
（2）讨论直线斜率存在和不存在的情况，存在时设直线方程，联立椭圆方程，
可求得A点坐标的表达式，从而求得 的表达式，再求出原点到直线l的距离，
即可求得 的面积的表达式，结合k的取值范围，即可求得答案.
【解析】（1）由题意可得 ，解得： ，
所以椭圆 的方程为 .............................................................4分
（2）当直线 的斜率不存在时，则直线 的方程为 ，
则点 的坐标为 ，则 .............................................................6分
当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，
则直线 的方程为 ，（ 时， 三点共线）
设 ，
由 ，消去 得 ，
由已知得 ，
则 ，............................................................8分
结合题意得 ，
则 ，
，.....................10分
而原点 到直线 的距离为 ，............................................................12分
所以 ，...................14分
因为 ，所以 且 ，且 ，
所以 ，从而 ，
综上可知， 的面积的取值范围为 .............................................................17分
19．（17分）
给定正整数 ，设集合 ．若对任意 ， ， ， 两数中至少有一
个属于 ，则称集合 具有性质 ．
（1）分别判断集合 与 是否具有性质 ；
（2）若集合 具有性质 ，求 的值；
（3）若具有性质 的集合 中包含6个元素，且 ，求集合 ．
【答案】（1）集合 不具有性质 ，集合 具有性质 ；（2）
（3） ， ， 或
【分析】（1）根据性质 的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质 的定义，首先确定 ，再讨论 是否属于集合 ，
即可确定 的取值，即可求解；
（3）首先确定集合 中有0，并且有正数和负数，然后根据性质 讨论集合中元素的关系，即可求
解.
【解析】（1）集合 中的 ， ，
所以集合 不具有性质 ，............................................................2分
集合 中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，
两数中至少有一个属于集合 ，
所以集合 具有性质 ；............................................................4分（2）若集合 具有性质 ，记 ，则 ，
令 ，则 ，从而必有 ，
不妨设 ，则 ， 且 ，............................................................6分
令 ， ，
则 ，且 ， 且 ，
以下分类讨论：
1）当 时，若 ，此时， 满足性质 ；
若 ，舍；若 ，无解；
2）当 时，则 ，注意 且 ，可知 无解；
经检验 符合题意，综上 ；............................................................9分
（3）首先容易知道集合 中有0，有正数也有负数，
不妨设 ，其中 ， ，
根据题意 ，
且 ，从而 或 ，.............................11分
1）当 时， ，
并且 ， ，
由上可得 ，并且 ，
综上可知 ；............................................................14分
2）当 时，同理可得 ，
据此，当 中有包含6个元素，且 时，符合条件的集合 有5个，
分别是 ， ，
或 .............................................................17分
【C 组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数
（1）求 的单调区间及最值
（2）令 ，若 在区间 上存在极值点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，最大值为 ，无最小值；（2） ．
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最值；
（2）对 求导，再令 ，求导得到其单调性，进而求出
，
结合 ， ，结合函数存在极值点，得到不等式，求出答案.
【解析】（1） 的定义域为 ， ，............................................................2分
令 ，解得 ，即 的单调递增区间为 ；
令 ，解得 ，即 的单调递减区间为 ．.....................................4分
故 ，无最小值；............................................................6分
（2）因为 ，
所以 ，............................................................7分
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；又 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ， ．..........................................10分
若 在 上存在极值点，
则 或 ，解得 或 ，
所以实数a的取值范围为 ．............................................................13分
16．（15分）
2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能
源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只
有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰
撞测试中结果为优秀的概率为 ，良好的概率为 ；在续航测试中结果为优秀的概率为 ，良好的概率为
，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为 .
（1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
（2）求离散型随机变量 的分布列与期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）设出事件，得到相应的概率，相加后得到答案；
（2）得到随机变量 的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望.
【解析】（1）记事件 为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为 分 ”，
则 ， ， .............................................................3分
记事件 为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为 分 ”，
则 ， ， .............................................................6分
记事件 为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则 ，
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为 ...........................................8分
（2）由题知离散型随机变量 的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，
， ，
， ，
，............................................................13分
则离散型随机变量 的分布列为
2 4 6 8 10
所以数学期望 ............................................15分17．（15分）
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 为等边三角形，点M，N分别为
AB，PC的中点．
（1）证明：直线 平面PAD；
（2）当二面角 为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而得到线面平行；
（2）作出辅助线，得到 ，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，
求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求出答案.
【解析】（1）取PD中点E，连接AE，NE，
∵N为PC中点，∴ 且 ，............................................................2分
又∵ 且 ，∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面PAD， 平面PAD，∴ 平面PAD．..................................................6分
（2）连接 ，取AD中点F，连接 ，
因为底面 是菱形， ，
所以 为等边三角形，故 ⊥ ，
因为 为等边三角形，所以 ⊥ ，
故 为二面角 的平面角，
因为二面角 为 ，故 ，............................................................9分
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，垂直于平面 的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，则 ， ，∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
， ， ，.............................11分
设平面PCD的一个法向量 ，
故 ，
令 得 ，故 ，............................................................13分
设MN与平面PCD所成角为 ，
∴ ．......................................15分
18．（17分）
已知双曲线 的离心率为 ，焦点到渐近线的距离为1.
（1）求 的方程.
（2）过点 的直线 与 交于不同的两点A，B，问：在 轴上是否存在一个定点 ，使得 为
定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，
【分析】（1）根据题意列出关于 的方程组，解之即得；
（2）由题意可设直线 的横截距方程，与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，得出韦达定理，
不妨假设存在点 ，求出 的表达式，代入韦达定理，化简后分析即得.【解析】（1）设双曲线 的半焦距为 ，则双曲线 的渐近线方程为 .
由题可知 解得 故 的方程为: . ..........................................4分
（2）①当直线 的倾斜角不为0时，如图，设直线 的方程为 .
联立直线与双曲线的方程可得
消去 ，整理得： .............................................................6分
显然 且 ，
设 ， ，则 ， ...............................................8分
假设存在点 ，满足 为定值，
则
，............................................................11分
故当 时， ，为定值，此时点 .................................13分
②当 的倾斜角为0，即 为 轴时，不妨设 ， ，取 ，
此时 为定值.
综上，当 点的坐标为 时， 为定值. ............................................................17分
19．（17分）已知数列 为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
① ；
②对于 ，使得 的正整数对 有k个.
（1）写出所有4的1减数列；
（2）若存在m的6减数列，证明： ；
（3）若存在2024的k减数列，求k的最大值.
【答案】（1）数列 和数列3，1；（2）证明见解析；（3） 的最大值为512072
【分析】（1）根据k减数列的定义，即可写出答案；
（2）根据存在 的6减数列，可得 ，即 ，继而分类讨论n的取值，
说明每种情况下都有 ，即可证明结论；
（3）分类讨论数列中的项的情况，结合题意确定数列 为 的形式，
从而结合设其中有 项为2，有 项为1， 进行求解，即可得答案.
【解析】（1）由题意得 ，则 或 ，
故所有4的1减数列有数列 和数列3，1. ............................................................3分
（2）因为对于 ，使得 的正整数对 有 个，
且存在 的6减数列，所以 ，得 .............................................................5分
①当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列中各项均不相同，所以 .
②当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以 .
若 ，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以 ，不符合题意，所以 .
③当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以 .
综上所述，若存在 的6减数列，则 .............................................................8分
（3）若数列中的每一项都相等，则 ，
若 ，所以数列 存在大于1的项，
若末项 ，将 拆分成 个1后 变大，
所以此时 不是最大值，所以 ............................................................10分
当 时，若 ，交换 的顺序后 变为 ，
所以此时 不是最大值，所以 .若 ，所以 ，
所以将 改为 ，并在数列末尾添加一项1，所以 变大，
所以此时 不是最大值，所以 .............................................................12分
若数列A中存在相邻的两项 ，设此时 中有 项为2，
将 改为2，并在数列末尾添加 项1后， 的值至少变为 ，
所以此时 不是最大值，
所以数列 的各项只能为2或1，所以数列 为 的形式. ...................14分
设其中有 项为2，有 项为1，
因为存在2024的 减数列，所以 ，
所以 ，
所以，当且仅当 时， 取最大值为512072.
