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保密★启用前
2025 届新高三学情摸底考02（新课标卷）
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．设集合
，则
的元素的个数为
A．
B．
C．
D．
2．
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量
，若
与
方向相反，则
=（ ）
A．54
B．8
C．
D．
4．已知函数
在
上满足
，则曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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5．已知
在点
处的切线的倾斜角为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
6．点
的直线中，被圆
截得的最长弦所在的直线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，
其中有一种金属陀螺（如图），它的形状可以认为是上半部分为圆柱，下半部分为倒置的
圆锥；现知尖底长
为3，柱体与锥体部分高之比
，底周长为
，则陀螺的表面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，过
的直线与圆
相切且分别交双曲线的左、右两支于
、
两点，若
，则双曲线的
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渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0 分.
9．在下列关于概率的命题中，正确的有（ ）
A．若事件A，B 满足
，则A，B 为对立事件
B．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与
也是互斥事件
C．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与
也是相互独立事件
D．若事件A，B 满足
，
，
，则A，B 相互独立
10．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数
的最小正周期为
，则其图象关于直线
对称
B．若函数
的最小正周期为
，则其图象关于点
对称
C．若函数
在区间
上单调递增，则
的最大值为2
D．若函数
在
有且仅有5 个零点，则
的取值范围是
11．已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
的值域为
B．若
，则过原点有且仅有一条直线与曲线
相切
3
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C．存在
，使得
有三个零点
D．若
，则
的取值范围为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．用1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数
，若满足
的五位数
有
个，则在
的展开式中，
的系数是 ．
（用数字作答）
13．在
中，角
所对的边分别为
，若
，则
．
14．已知椭圆
的方程为
，
，
为椭圆
的左右顶点，
为椭圆
上不同于
.
的动点，直线
与直线
，
分别交于
，
两点，若
，则过
，
，
三点的圆必过
轴上不同于点
的定点，其坐标为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13 分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是
文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市
创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间
，从中随机抽取了40 名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布
直方图.
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(1)求图中
的值，并估计这40 名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组
区间的中点值代替）；
(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80 分的学生中抽取7 人组成创建文明
城市知识宣讲团.若从这选定的7 人中随机抽取2 人，求至少有1 人竞赛成绩位于区间
的概率.
16．（15 分）已知数列
是各项均为正数的等比数列，前
项和为
，
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，
为数列
的前
项和，求
.
17．（15 分）在四棱锥
中，
为正三角形，平面
平面ABCD，E 为
AD 的中点，
，
，
．
（1）求证：平面
平面PAD；
（2）在棱CD 上是否存在点M，使得
平面PBE？若存在，求出
的值；若不存在，
说明理由．
18．（17 分）已知动圆C 的圆心在x 轴上，且经过点
，动圆C 与x 轴的另一个交
点为A，与y 轴的一个交点为B，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，两条垂线交
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于点M.
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)设点M 的轨迹为E，曲线E 上一点
，过点P 的直线PS，PT 交曲线E 于S，T 两
点，且PS⊥PT，求证：直线ST 过定点，并求出定点坐标.
19．（17 分）给出以下三个材料：①若函数
可导，我们通常把导函数
的导数叫
做
的二阶导数，记作
.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作
，三
阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，
阶导数的导数叫做
阶导数，记作
.②若
，定义
.③若函数
在包含
的某个开区间
上具有
阶的导数，那么对于任一
有
，我
们将
称为函数
在点
处的
阶泰勒展开式.例如，
在点
处的
阶泰
勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出
在点
处的阶泰勒展开式
，并直接写出
在点
处的阶泰勒展开式
；
(2)比较（1）中
与
的大小.
(3)证明：
.
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