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专题十四 等效重力模型
一、等效重力中的直线运动
1．如图所示，质量为m 的物块带电量为﹣q，开始时让它静止倾角α＝53°的固定光滑绝缘斜面顶端。若
整个装置放在水平向右的匀强电场中，物块由静止释放到落地所经历的时间为t1；若仅将匀强电场的方
向改为水平向左，物块在相同的位置由静止释放到落地所经历的时间为t2，已知匀强电场的电场强度
，cos53°＝0.6，sin53°＝0.8，则t1与t2的比值（ ）
A．5：1
B．5：2
C．4：3
D．5：4
2．如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面夹角为θ，极板间距为
d，带负电的微粒质量为m、带电量为q，从极板M 的左边缘A 处以初速度v0水平射入，沿直线运动并
从极板N 的右边缘B 处射出，则（ ）
A．微粒的加速度大小等于gsinθ
B．两极板的电势差UMN＝
C．微粒达到B 点时动能为
D．微粒从A 点到B 点的过程电势能增加
3．如图所示，在水平地面的上方空间存在一个水平向右的匀强电场，有一带电小球（可视为质点）从距
地面高为h＝1m 的O 点由静止释放，沿与水平地面成45°角的方向做直线运动，最终落在地面上的A
点。已知小球质量为m＝0.5kg，带电量为q＝5×10﹣2C，g＝10m/s2，不计空气阻力，求：
（1）匀强电场的场强大小为多少；
（2）OA 之间的电势差为多少；
（3）带电小球到达地面时的速度为多少。
二、等效重力单摆类模型
（多选）4．如图所示，在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m 的
带电小球，另一端固定于O 点，把小球拉起至A 点，此时细线与场强平行，然后把小球从A 点无初速
释放，经最低点B 后到达B 的另一侧C 点时速度为零，则（ ）
A．小球在B 点时速度最大
B．小球从A 点到B 点再到C 点的过程中，机械能一直在减少
C．小球在B 点时的绳子拉力最大
D．从A 点到B 点的过程中小球的动能先增加再减小
5．如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L＝0.4m 的绝缘细绳把质
量为m＝0.1kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹
角为θ＝37°。现将小球拉至位置A 使细绳水平后由静止释放，（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，
cos37°＝0.8）求：
（1）小球最初静止在B 点时所受电场力的大小；
（2）小球通过最低点C 时，细绳的拉力大小；
（3）小球在摆动过程中小球对细绳的最大拉力大小。
6．如图所示，长为l 的绝缘细线一端悬于O 点，另一端系一质量为m、电荷量为q 的小球。现将
此装置放在水平向右的匀强电场中，小球静止在A 点，此时细线与竖直方向成37°角，重力加
速度为g，sin37°＝0.60，cos37°＝0.80。
（1）求该匀强电场的电场强度E 的大小；
（2）若将小球向左拉起至与O 点处于同一水平高度且细绳刚好张紧，将小球由静止释放，求
小球运动到最低点O′时的速度v 的大小及此时细线对小球的拉力F 的
大小。
三、等效重力中的抛体模型
7.如图所示，真空中有一足够大的水平向右的匀强电场，质量均为m、带电量分别为+q 和﹣3q 的
两小球同时从O 点以速度v0斜向右上方射入匀强电场中，v0方向与水平方向成60°角，A、B
（图中未画出）两点分别为两小球运动轨迹的最高点，带正电的小球经过A 点的速度大小仍
然为v0，若仅把带正电的小球射入速度变为2v0，其运动轨迹的最高点记为C，重力加速度为
g，不考虑两球间的库仑力。则下列说法错误的是（ ）
A．两小球同时到A、B 两点
B．OA 与OB 之比为
：1
C．两小球到达A、B 两点过程中电势能变化量之比为1：3
D．带正电的小球经过C 点的速度大小2v0
四、等效重力中的圆周运动模型
8．如图所示，光滑水平轨道与半径为R 的光滑竖直半圆轨道在B 点平滑连接，在过圆心O 的水平界面
MN 及其下方分布有水平向右的匀强电场，现将一质量为m、电荷量为+q 的小球（可视为质点）从水
平轨道上A 点由静止释放，小球运动到C 点离开半圆轨道后，刚好经过界面MN 上的P 点，已知P 点
在A 点的正上方，整个运动过程小球的电荷量保持不变，A、B 间的距离为2R，重力加速度为g。求：
（1）匀强电场的电场强度E 的大小；
（2）小球运动到N 点时对轨道的压力F；
（3）小球运动过程中半圆轨道对小球支持力的最大值Fm。
9．在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球
静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平
面内做圆周运动，试问：
（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小，速度最小值多大？
（2）小球在B 点的初速度多大？
11．如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O 点做圆周运
动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当小球运动到A 点时，细线对小球
的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q（q＞0），质量为m，A、B 两点间的电势差为U，重力加速度
大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
12．如图所示，一半径R＝0.4m 的绝缘光滑竖直圆轨道，处于水平向右的匀强电场中，电场强度
E＝5×103V/m。在轨道的最低点A，由静止释放一质量m＝5g 的带电小球，小球沿轨道恰在
A、B 两点间往复运动，且知轨迹所对圆心角∠AOB＝120°，g＝10m/s2。试求：
（1）小球的带电量q；
（2）若欲使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则由A 点沿水平向右的方向至少需给小球多大
的初速度v0；
（3）若在A 点给小球一个沿水平向右大小为
的初速度，小球是否会脱离轨道？
若会脱离轨道，其脱离轨道时所在位置与圆心O 的连线与竖直方向的夹角θ 多大及此时速度vt
的大小？若不会脱离轨道，则小球沿轨道运动的最小速度vmin多大？
13．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分是倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的半
圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于电场强度为E、方向水平向右的匀强电场中。现有
一个质量为m 的带正电小球，电荷量为q＝
，可沿圆周轨道运动。
（1）小球沿半圆轨道运动中，速度最小点在哪里？作图标示该位置、并说明理由；
（2）要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应满足什么条件？
专题十四 等效重力模型
参考答案与试题解析
1．选B。【解答】解：（1）由题意电场力的大小F＝Eq＝mg，当匀强电场水平向右时，物块受到的
电场力方向水平向左，大小为F＝Eq＝mg，根据牛顿第二定律mgsin53°﹣Fcos53°＝ma1，得a1＝
2m/s2；设斜面高为h，斜面长L＝
，由运动学公式公式
，联立解得
①
（2）当匀强电场水平向左时，物块受到的电场力方向水平向右，大小为F＝Eq＝mg，重力与电场力的
合力F 合＝
，根据牛顿第二定律F 合＝ma2，联立解得a2＝10
m/s2；设加速度与
水平方向成θ 角，由数学知识tanθ＝
，得θ＝45°，物块离开斜面做匀加速直线运动；设斜面高为
h，则物块运动的距离s＝
，由运动学公式
，联立解得
②
（3）联立①②解得，故ACD 错误，B 正确。
2．选B。【解答】解：AB、微粒在板间匀强电场中受到恒定的重力和恒定的电场力，微粒做直线运动，
电场力与重力的合力方向必与速度方向共线，可得场力与重力的合力方向必定水平向左，如下图所示
微粒带负电，可得板间匀强电场方向垂直于极板由M 指向N，可得电势差UMN＞0。
微粒沿直线做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律可得：mgtanθ＝ma
解得微粒的加速度大小为：a＝gtanθ
解得：
，故A 错误，B 正确；
C、由于微粒做匀减速直线运动，到达B 点时的动能一定小于初动能
，故C 错误；
D、由功能关系可得微粒的电势能增加量为：
，故D 错误。
3.【解答】解：（1）设匀强电场的场强为E，由题意可得带电小球所受的合外力方向与水平方向
成45°角，受力分析如图所示。
可得Eq＝mg
代入数据解得：E＝100N/C
（2）在匀强电场中，OA 之间的电势差为UOA＝Ed
其中d＝h＝1m
代入数据解得：UOA＝100V
（3）设带电小球到达地面时的速度为v，从O 到A 的过程中，由动能定理可得
代入数据解得：v＝2
m/s
4.选BD。【解答】解：AC、小球受电场力水平向右，则由平衡知识可知，小球的平衡位置在
AB 之间的某位置，小球在平衡位置时的速度最大，在此位置时绳子的拉力也是最大，但肯定
不是在B 点，故AC 错误；
B、根据功能原理，小球从A 点到B 点再到C 点的过程中，只有电场力和重力做功，则小球的
机械能和电势能之和守恒，因此过程中电场力一直做负功，电势能变大，则机械能一直在减
少，故B 正确；
D、由以上分析，速度最大（即动能最大）的点在AB 之间的某点，从A 点到B 点的过程中，
小球的动能先增加再减小，故D 正确。
5．【解答】解：（1）设电场力为F，则F＝Eq，在B 点由力的平衡
，
得电场力F＝0.75N
（2）对A 到C 由动能定理
在C 点由牛顿第二定律
解得FT＝1.5N
（3）小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时刻小球的速度vB，对A 到B 由动能定理
在B 点
得Fm＝2.25N
由牛顿第三定律
Fm′＝2.25N
6．【解答】解：由图可知，小球所受电场力与电场强度的方向相反，则小球带负电。
（1）由平衡条件得
电场强度为
（2）根据动能定理得
得
最低点O′时，根据牛顿第二定律
得
7．选C。【解答】解：【解答】解：A、由
可知两小球竖直方向的初速度大小
相等，竖直方向只受重力，上升到最高点时竖直方向速度为零，由
可知两球到A、B 两点的时间
相等，故A 正确；
B、正电荷水平方向的加速度大小
，正电荷水平方向的位移
，竖直方向的位移
，则
，代入数据，可得
负电荷所带电荷量为正电荷的三倍，由牛顿第二定律有：Eq＝max，3Eq＝max′，所以负电荷
水平方向的加速度ax′为正电荷水平方向加速度的3 倍，即：
，负电荷到达
最高点时水平方向的速度vx′＝v0cos60°﹣ax′t，代入数据可得vx′＝﹣v0，则负电荷水平方
向的位移
两电荷竖直方向只受重力，加速度相等，竖直方向初末速度大小相等，运动时间相等，所以
竖直方向的位移相等，即
，则
，代入数据可得
，
可知
，故B 正确；
C、正电荷电场力做正功，电势能减少，由功能关系可知，正电荷电势能的变化量ΔEP＝﹣
EqxA，负电荷电场力做负功，电势能增加，电势能的变化量ΔEP′＝3Eq×（﹣xB），代入数
据可得
，故C 错误；
D、若仅把带正电的小球射入速度变为2v0，则竖直方向的初速度变为原来的2 倍，由
可知上升到最高点运动的时间t′变为原来的2 倍，即t′＝2t，则小球经过C 点的速度大小vC
＝2v0cos60°+axt′，代入数据可得vC＝2v0，故D 正确；
本题选错误的，故选：C。
8．【解答】解：（1）设小球过C 点时的速度大小为vC，小球从A 运动到C 的过程中，根据动
能定理有
小球离开C 点后做平抛运动，小球从C 运动到P 的过程中，水平方向有
2R＝vCt
竖直方向有
联立解得
（2）设小球过N 点时的速度大小为v，小球从A 运动到N 的过程中，根据动能定理有
根据牛顿第二定律
解得
FN＝5mg
根据牛顿第三定律
F＝FN＝5mg
方向水平向右
（3）小球运动到等效最低点D 时速度最大，设最大速度为vm，OD 与竖直线OB 夹角为α，由于mg＝
qE，则α＝45°
小球A 点运动到D 点的过程中，根据动能定理有
即
解得最大速率
由于小球在D 点时速度最大且静电力与重力的合力恰好背离半径方向，故小球在D 点时受到半圆轨道
的支持力最大，设支持力大小为F，在D 点对小球进行受力分析，并建立如图所示的直角坐标系
则有
即半圆轨道对小球支持力的最大值为
9．【解答】解：（1）将重力和电场力的合力等效成“等效重力”，
重力与电场力的合力：F＝
，电场力为：F 电＝mgtanθ，
小球恰好做圆周运动，在平衡位置的反方向上的圆周位置上速度最小，由牛顿第二定律得：
＝m
，
解得小球的最小速度为：
v＝
；
（2）由动能定理可得：
﹣mg•2lcosθ﹣mgtanθ×2lsinθ＝
mv2﹣
mv2，
解得：v＝
．
答：（1）小球运动过程中的最小速度值为
；
（2）小球的初速度至少是
。
11．【解答】解：（1）由题意，A、B 两点间的电势差为U，沿电场线方向的距离为L，根据匀
强电场强度公式有E＝
＝
（2）设A 点速度大小为vA，B 的速度大小为vB，小球运动到A 点位置，根据牛顿第二定律有
qE﹣mg＝m
，解得vA＝
，小球从A 运动B 的过程，根据动能定理有qEL﹣mgL
＝
m
﹣
m
，解得vB＝
。
12．【解答】解：（1）小球在A、B 间往复运动，则劣弧
中点C 为等效最低点，此位置小球
所受重力与电场力的合力方向沿OC 方向，由几何关系：
代入数据得：
（2）等效最高点设为D，与C 对称，且等效合力：
等效最高点满足：
变形可得：
从A 到等效最高点D，动能定理：
化简得：
（3）因为
，所以小球无法通过等效最高点D 沿轨道做完整的圆周运动。设
小球恰好脱离轨道时，其位置与圆心O 的连线与OD 的夹角为α ，速度大小为vt ，则有
由动能定理得：
其中：G′＝F′＝2mg
联立上述二式得：
，vt＝2m/s
易知α＝60°
则与竖直方向的夹角则为θ＝0°，小球于CD 间脱离轨道时其所在位置与圆心O 的连线与竖直方向的夹
角为0°，此时小球速度大小为2m/s。
13．【解答】解：（1）小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力、然后在圆轨道上运动，受重
力、电场力、轨道的作用力，如图所示，
类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg′，大小为mg′＝
＝
mg，tanθ＝
＝
，解得θ＝30°，
等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动，
过圆心做平行于mg′的平行线，该平行线与圆的交点D 点为速度最小点，因达到D 点以前减速，过D
点以后加速。
（2）因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的等效最高点（D）点满足等效重力提供向心力，
有：mg′＝m
，
因θ＝30°，与斜面倾角相等，由几何关系可知AD＝2R。
令小球以最小初速度v0运动，由动能定理知：﹣mg′•2R＝
mv ﹣
mv
解得：v0＝
，则速度至少为
