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概率与统计中的新定义问题
高考定位 与概率、统计有关的新定义型问题主要有两个类型：(1)以高等数学
知识为背景的问题；(2)概率、统计方法的新定义问题.
【题型突破】
题型一 极大似然估计
例1 (2024·杭州二模)在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红
球和白球，有放回地随机摸球n 次，红球出现m 次.假设每次摸出红球的概率为
p，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p 的估计值为p＝.
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3，不知道哪种颜色的球多.有放回地随
机摸取3 个球，设摸出的球为红球的次数为Y，则Y～B(3, p).
(注：Pp(Y＝k)表示当每次摸出红球的概率为p 时，摸出红球次数为k 的概率)
①完成下表：
k
0
1
2
3
P(Y＝k)
P(Y＝k)
②在统计理论中，把使得Pp(Y＝k)的取值达到最大时的p，作为p 的估计值，记
为p，请写出p的值.
(2)把(1)中“使得Pp(Y＝k)的取值达到最大时的p 作为p 的估计值p”的思想称为
最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.
具体步骤：先对参数θ 构建对数似然函数l(θ)，再对其关于参数θ 求导，得到似
然方程l′(θ)＝0，最后求解参数θ 的估计值.已知Y～B(n，p)的参数p 的对数似然
函数为l(p)＝∑Xiln p＋∑ (1－Xi)ln(1－p)，其中Xi＝求参数p 的估计值，并且说
明频率估计概率的合理性.
解 (1)因为袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3，且Y～B(3，p)，
所以p 的值为或；
①当p＝时，
P(Y＝1)＝Cp1(1－p)2＝，
P(Y＝2)＝Cp2(1－p)＝，
当p＝时，P(Y＝0)＝Cp0(1－p)3＝，
P(Y＝2)＝Cp2(1－p)＝，
表格如下
k
0
1
2
3
P(Y＝k)
P(Y＝k)
②由上表可知Pp(Y＝k)＝Cpk(1－p)3－k.
当Y＝0 或1 时，参数p＝的概率最大；
当Y＝2 或3 时，参数p＝的概率最大.
所以p＝
(2)由l(p)＝∑Xiln p＋∑ (1－Xi)ln(1－p)，
则l′(p)＝∑Xi－∑ (1－Xi)，
令∑Xi－∑ (1－Xi)＝0，
即＝＝＝－1，
故p＝∑Xi，即当p∈时，l′(p)>0，
当p∈时，l′(p)<0，
故l(p)在上单调递增，
在上单调递减，
即当p＝∑Xi时，l(p)取最大值，
故p＝∑Xi，
因此，用最大似然估计的参数p与频率估计概率的p是一致的，故用频率估计概率
是合理的.
反思感悟 极大似然估计是一种基于概率理论的方法，用于估计一个概率模型的
参数，使得观测到的数据在该模型下出现的概率最大.换句话说，它寻找的是使
我们观察到的数据最有可能发生的参数值，解决此类问题一般要利用导数与函数
的性质.
训练1 (2024·长沙调研)某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一
般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感
染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X 表示，假设每只白鼠是否被感染之
间相互独立.
(1)若P(X＝5)＝P(X＝95)，求数学期望E(X)；
(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究
发现概率p 与参数θ(0<θ<1)的取值有关.团队A 提出函数模型为p＝ln(1＋θ)－
θ2，团队B 提出函数模型为p＝(1－e－θ).现将100 只接种疫苗后的白鼠分成10 组，
每组10 只，进行实验，随机变量Xi(i＝1，2，…，10)表示第i 组被感染的白鼠数，
将随机变量Xi(i＝1，2，…，10)的实验结果xi(i＝1，2，…，10)绘制成频率分布
图，如图所示.
①试写出事件“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”发生的概率表达式(用p 表示，组
合数不必计算)；
②在统计学中，若参数θ＝θ0时使得概率P(X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10)最大，
称θ0是θ 的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B 提出的函数模型，判断哪个
团队的函数模型可以求出θ 的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：ln
≈0.405 5.
解 (1)由题知，随机变量X 服从二项分布，X～B，
由P(X＝5)＝P(X＝95)，
则C＝C＝C，
得n＝100，所以E(X)＝np＝50.
(2)①A＝“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”，
P(A)＝[Cp(1－p)9]3[Cp2(1－p)8]3[Cp3·(1－p)7]2[Cp4(1－p)6][Cp6(1－p)4]，
所以P(A)＝(C)3(C)3(C)2(C)2p25(1－p)75；
②记g(p)＝ln[(C)3(C)3(C)2(C)2]＋25ln p＋75ln (1－p)，
则g′(p)＝－＝，
当0<p<时，g′(p)>0，g(p)单调递增；
当<p<1 时，g′(p)<0，g(p)单调递减；
当p＝时，g(p)取得最大值，即P 取得最大值，
在团队A 提出的函数模型p＝ln(1＋θ)－θ2(0<θ<1)中，
记函数f1(x)＝ln(1＋x)－x2(0<x<1)，
f1′(x)＝－x＝，
当0<x<时，f1′(x)>0，f1(x)单调递增；
当<x<1 时，f1′(x)<0，f1(x)单调递减，
当x＝时，f1(x)取得最大值ln －<，则θ 不可以估计；
在团队B 提出的函数模型p＝(1－e－θ)中，
记函数f2(x)＝(1－e－x)，f2(x)单调递增，
令f2(x)＝，解得x＝ln 2，
则团队B 可以求出θ 的最大似然估计，且θ0＝ln 2 是θ 的最大似然估计.
题型二 信息熵问题
例2 (2024·南京模拟)信息熵是信息论之父香农(Shannon)定义的一个重要概念，
香农在1948 年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，
把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数
学表达式：设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n(n∈N*)，且P(X＝i)＝
pi>0(i＝1，2，…，n)，∑pi＝1，定义X 的信息熵H(X)＝－∑pilog2pi.
(1)当n＝1 时，计算H(X)；
(2)若pi＝(i＝1，2，…，n)，判断并证明当n 增大时，H(X)的变化趋势；
(3)若n＝2m(m∈N*)，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m，且P(Y＝j)＝
pj＋p2m＋1－j(j＝1，2，…，m)，证明：H(X)>H(Y).
(1)解 当n＝1 时，则i＝1，p1＝1，
所以H(X)＝－(1×log21)＝0.
(2)解 H(X)随着n 的增大而增大.
当pi＝(i＝1，2，…，n)，
则H(X)＝－×n＝－log2＝log2n，
设f(n)＝log2n，n∈N*，
则f(n＋1)－f(n)＝log2(n＋1)－log2n
＝log2>0，
因此H(X)随着n 的增大而增大.
(3)证明 若n＝2m(m∈N*)，
随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m，
且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1，2，…，m).
H(X)＝－∑pi·log2pi＝∑pi·log2
＝p1·log2＋p2·log2＋…＋p2m－1·log2＋p2m·log2.
H(Y)＝(p1＋p2m)·log2 ＋(p2＋p2m－1)·log2 ＋…＋(pm＋pm＋1)·log2 ，
因为0<pi＋p2m＋1－i<1(i＝1，2，…m)，
故log2 >0，
故H(Y)>p1·log2 ＋p2·log2 ＋…＋p2m－1·log2 ＋p2m·log2 ，
由于pi>0(i＝1，2，…，2m)，
所以>>0，
所以log2 >log2 ，
所以pi·log2 >pi·log2 ，
所以H(X)>H(Y).
反思感悟 信息熵可以理解为某种特定信息出现的概率，解题的关键是紧扣定义，
恰当地利用相关概率公式计算.
训练2 (2024·济南调研)在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息
的平均量，又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量.这里，“消息”代表来自
分布或数据流中的事件、样本或特征.(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定
性的量度，因为越随机的信源的熵越大)来自信源的另一个特征是样本的概率分
布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由
于一些其他的原因，把信息(熵)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件
的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值(即
期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵).熵的单位通常为比特，但也用
Sh、nat、Hart 计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的
量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1 Sh 的信息，而掷m 次就为
m 位.更一般地，你需要用log2 n 位来表示一个可以取n 个值的变量.在1948 年，
克劳德·艾尔伍德·香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农熵.而
正是信息熵的发现，使得1871 年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反
热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量ξ 所有取
值为1，2，…，n，定义ξ 的信息熵H(ξ)＝－∑Pilog2Pi(∑Pi＝1，i＝1，2，…，
n).
(1)若n＝2，试探索ξ 的信息熵关于P1的解析式，并求其最大值；
(2)若P1＝P2＝，Pk＋1＝2Pk(k＝2，3，…，n)，求此时的信息熵.
解 (1)当n＝2 时，P1∈(0，1)，H(ξ)＝－P1log2P1－(1－P1)log2(1－P1)，
令f(t)＝－tlog2t－(1－t)log2(1－t)，t∈(0，1)，则f′(t)＝－log2t＋log2(1－t)＝log2，
所以函数f(t)在上单调递增，
在上单调递减，
所以当P1＝时，
H(ξ)取得最大值，
最大值为H(ξ)max＝1.
(2)因为P1＝P2＝，Pk＋1＝2Pk(k＝2，3，…，n)，所以Pk＝P2·2k－2＝＝(k＝2，
3，…，n)，
故Pklog2Pk＝log2＝－，
而P1log2P1＝log2＝－，
于是H(ξ)＝＋∑Pklog2Pk
＝＋＋＋…＋＋，
整理得H(ξ)＝－＋＋＋＋…＋＋.
令Sn＝＋＋＋…＋＋，
则Sn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－＝1－.
因此Sn＝2－，所以H(ξ)＝－＋Sn＝－＋2－＝2－.
题型三 概率、统计方法的新定义
例3 (2024·西安调研)条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，
随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用
到日常生产生活中.定义：设X，Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件Y＝y 条
件下的期望为E(X|Y＝y)＝∑xi·P(X＝xi|Y＝y)＝∑xi·，其中{x1，x2，…，xn}为X 的
所有可能取值集合，P(X＝x，Y＝y)表示事件“X＝x”与事件“Y＝y”都发生的
概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p(0<p<1)，射击进
行到击中目标两次时停止.设ξ 表示第一次击中目标时的射击次数，η 表示第二次
击中目标时的射击次数.
(1)求P(ξ＝2，η＝5)，P(η＝5)；
(2)求E(ξ|η＝5)，E(ξ|η＝n)(n≥2).
解 (1)由题设，P(ξ＝2，η＝5)＝(1－p)·p·(1－p)·(1－p)·p＝(1－p)3p2，
P(η＝5)＝C(1－p)3p2＝4(1－p)3p2.
(2)由题设，E(ξ|η＝5)＝∑
＝1×＋2×＋3×＋4×＝＋＋＋1＝；
同(1)，P(η＝n)＝C(1－p)n－2p2＝(n－1)(1－p)n－2p2，P(ξ|η＝n)＝(1－p)n－2p2，
所以E(ξ|η＝n)＝∑ ＝＋＋…＋＋1＝＝.
反思感悟 本例新定义了条件期望，可以类比我们学习过的条件概率和数学期望
加以理解.要有目标意识，紧扣题目条件中所给的公式进行计算.
训练3 (2024·武汉模拟)在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定
信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干
扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息
失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值x1，x2，…，xn的随机
变量，分别记作X 和Y.条件概率P(Y＝xj|X＝xi)，i，j＝1，2，…，n，描述了输入
信号和输出信息之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X 的平均
信息量定义为：H(X)＝－∑p(X＝xi)log2p(X＝xi).当n＝2 时，信道疑义度定义为
H(Y|X)＝－∑∑p(X＝xi，Y＝xj)log2p(Y＝xj|X＝xi)＝－[P(X＝x1，Y＝x1)log2p(Y＝x1|X
＝x1)＋P(X＝x1，Y＝x2)log2p(Y＝x2|X＝x1)＋P(X＝x2，Y＝x1)log2p(Y＝x1|X＝x2)＋
P(X＝x2，Y＝x2)log2p(Y＝x2|X＝x2)].
(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求
扔一次骰子向上的面出现的点数X 的平均信息量(log2 3≈1.59，log2 5≈2.32，
log2 7≈2.81)；
(2)设某信道的输入变量X 与输出变量Y 均取值0，1.满足：P(X＝0)＝ω，p(Y＝1|
X＝0)＝p(Y＝0|X＝1)＝p(0<ω<1，0<p<1).试回答以下问题：
①求P(Y＝0)的值；
②求该信道的信道疑义度H(Y|X)的最大值.
解 (1)设X 表示扔一非均匀骰子点数，则
X
1
2
3
4
5
6
P
扔一次平均得到的信息量为
H(X)＝－∑p(X＝xi)log2p(X＝xi)＝∑ log2 ＝log2 21－∑ilog2 i
＝log27＋log23－log25－≈2.40.
(2)①由全概率公式，得
p(Y＝0)＝p(X＝0)P(Y＝0|X＝0)＋p(X＝1)·P(Y＝0|X＝1)＝ω(1－p)＋(1－ω)p.
②由题意，p(Y＝0|X＝0)＝p(Y＝1|X＝1)＝1－p，
所以，H(Y|X)＝－[P(X＝x1，Y＝x1)log2p(Y＝x1|X＝x1)＋P(X＝x1，Y＝x2)log2p(Y＝
x2|X＝x1)＋P(X＝x2，Y＝x1)log2p(Y＝x1|X＝x2)＋P(X＝x2，Y＝x2)log2p(Y＝x2|X＝x2)]
＝－[P(X＝x1)p(Y＝x1|X＝x1)log2p(Y＝x1|X＝x1)＋p(X＝x1)p(Y＝x2|X＝x1)log2p(Y＝x2|
X＝x1)＋p(X＝x2)p(Y＝x1|X＝x2)·log2p(Y＝x1|X＝x2)＋p(X＝x2)p(Y＝x2|X＝x2)log2p(Y
＝x2|X＝x2)]
＝－[ω(1－p)log2(1－p)＋ωplog2p＋(1－ω)·plog2p＋(1－ω)(1－p)log2(1－p)]
＝－plog2p－(1－p)log2(1－p)；
其中x1＝0，x2＝1.
令f(p)＝－plog2p－(1－p)log2(1－p)，
f′(p)＝－－[－log2(1－p)＋(1－p)]
＝－log2p＋log2(1－p)
＝log2.
f′(p)＝0，p＝，
x∈时，
f′(p)>0，x∈时，f′(p)<0，
所以f(p)max＝f＝1.
【精准强化练】
1.(2024·泉州调研)某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50
只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5 组，每组10 只，观察每组被感染的白鼠数.
现有随机变量Xi(i＝1，2，…，5)表示第i 组被感染的白鼠数，并将随机变量Xi
的观测值xi(i＝1，2，…，5)绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每
只白鼠被感染的概率为p(p∈(0，1))，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记
Ai为事件“Xi＝xi(i＝1，2，…，5)”.
(1)写出P(A1)(用p 表示，组合数不必计算)；
(2)研究团队发现概率p 与参数θ(0<θ<1)之间的关系为p＝θ2－θ＋.在统计学中，
若参数θ＝θ0时的p 值使得概率P(A1A2A3A4A5)最大，称θ0是θ 的最大似然估计，
求θ0.
解 (1)由题知随机变量X1～B(10，p)，
所以P(A1)＝Cp2(1－p)8.
(2)设事件A＝A1A2A3A4A5，
由题图可知x1＝2，x2＝1，x3＝1，x4＝3，x5＝3，
则P(A)＝[Cp2(1－p)8]·[Cp(1－p)9]2·[Cp3(1－p)7]2，
即P(A)＝(C)2(C)(C)2p10(1－p)40.
设g(p)＝ln P(A)＝ln[(C)2(C)(C)2]＋10ln p＋40ln(1－p)，p∈(0，1)，
则g′(p)＝－＝，
所以当0<p<时，g′(p)>0，
所以g(p)在上单调递增；
当<p<1 时，g′(p)<0，
所以g(p)在上单调递减；
所以当p＝时，g(p)取得最大值，
即P(A)取得最大值，
所以θ－θ0＋＝，
即9θ－15θ0＋4＝0，解得θ0＝或θ0＝，
因为0<θ0<1，所以θ0＝.
2.(2024·广州调研)混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一
个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴
性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人至少有一人为阳性.假设一组
样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为p(0<p<1).目前，我们采用
K 人混管病毒检测，定义成本函数f(X)＝＋KX，这里X 指该组样本N 个人中患病
毒的人数.
(1)证明：E[f(X)]≥2·N；
(2)若0<p<10－4，10≤K≤20.证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测
的人中大概率恰有一人为阳性.
(1)证明 由题意可得X 满足二项分布X～B(N，p)，
由E(aX＋b)＝aE(X)＋b 知，
E[f(X)]＝＋K·E(X)＝＋K·pN≥2·N，当且仅当＝Kp 时取等号；
(2)解 记P＝P(混管中恰有1 例阳性，混管检测结果为阳性)，
Pi＝P(混管中恰有i 例阳性)＝Cpi(1－p)K－i，i＝0，1，…，K，
令h(x)＝ex－x－1，－2×10－3<x<2×10－3，则h′(x)＝ex－1，
当x∈(－2×10－3，0)时，h′(x)<0，h(x)为单调递减，
当x∈(0，2×10－3)时，h′(x)>0，h(x)为单调递增，所以h(x)≥h(0)＝0，
且h(－2×10－3)＝e－2×10－3－(－2×10－3)－1≈0，h(2×10－3)＝e2×10－3－
(2×10－3)－1≈0，
所以当－2×10－3<x<2×10－3，ex－x－1≈0，
即ex≈x＋1，两边取自然对数可得x≈ln(x＋1)，
所以当0<p<10－4，10≤K≤20 时，
所以(1－p)K＝eKln(1－p)≈e－Kp≈1－Kp，
则P＝＝≈＝1－(K－1)p≈1.
故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.
