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凹凸反转 【知识拓展】 1.凹函数、凸函数的几何特征 2.凹凸反转 很多时候，我们需要证明f(x)>0，但不代表就要证明f(x)min>0，因为大多数情况 下，f′(x)的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零 点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转. 如要证明f(x)>0，可把f(x)拆分成两个函数g(x)，h(x)，放在不等式的两边，即要 证g(x)>h(x)，只要证明了g(x)min>h(x)max即可，如图3，这个命题显然更强，注意 反过来不一定成立.很明显，g(x)是凹函数，h(x)是凸函数，因为这两个函数的凹 凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点 不可求问题的，两种方法互为补充. 凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和 多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用 隐零点的方法)，要考虑指、对分离，即指数函数和多项式函数组合与对数函数 和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最 值并进行比较.当然我们要非常熟练地掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合 的函数的图象与最值. 3.六大经典超越函数的图象和性质(基本储备知识) (1)x 与ex的组合函数的图象与性质 函数 f(x)＝xex f(x)＝ f(x)＝ 图象 定义域 R (－∞，0)∪(0，＋∞) R 值域 (－∞，0)∪[e，＋∞) 单调性 在(－∞，－1)上单调 递减， 在(－1，＋∞)上单调 递增 在(－∞，0)，(0，1) 上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递 增 在(－∞，1)上单调递 增， 在(1，＋∞)上单调递 减 最值 f(x)min＝f(－1)＝－ 当x>0 时，f(x)min＝f(1) ＝e f(x)max＝f(1)＝ (2)x 与ln x 的组合函数的图象与性质 函数 f(x)＝xln x f(x)＝ f(x)＝ 图象 定义域 (0，＋∞) (0，＋∞) (0，1)∪(1，＋∞) 值域 (－∞，0)∪[e，＋∞) 单调性 在上单调递减， 在上单调递增 在(0，e)上单调递增， 在(e，＋∞)上单调递 减 在(0，1)，(1，e)上单 调递减， 在(e，＋∞)上单调递 增 最值 f(x)min＝f＝－ f(x)max＝f(e)＝ 当x>1 时，f(x)min＝f(e) ＝e 【类型突破】 类型一 化为型 例1 已知函数f(x)＝1＋(a＋1)x＋ln x，证明：对任意x>0，＋1＋(1＋a)x>f(x). 证明 把f(x)代入化简，得>ln x， 即证>(x>0). 令g(x)＝(x>0)， 则g′(x)＝. 当x∈(0，2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增. ∴g(x)最小＝g(x)极小＝g(2)＝， ∴g(x)≥，当且仅当x＝2 时取等号. 令h(x)＝(x>0)， 则h′(x)＝， 当x∈(0，e)时，h′(x)>0， h(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时， h′(x)<0，h(x)单调递减， ∴h(x)最大＝h(x)极大＝h(e)＝， 即h(x)≤，当且仅当x＝e 时取等号. 由于>，故>成立， 即原不等式得证. 训练1 证明：对一切x∈(0，＋∞)，ln x>－恒成立. 证明 问题等价于证明xln x>－(x>0). 设f(x)＝xln x(x>0)，f′(x)＝ln x＋1， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)min＝f＝－. 设m(x)＝－(x>0)， 则m′(x)＝， 当x∈(0，1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减， 所以m(x)max＝m(1)＝－， 又等号不同时取到，从而对一切 x∈(0，＋∞)，f(x)>m(x)恒成立， 即xln x>－恒成立. 即对一切x∈(0，＋∞)，ln x>－恒成立. 类型二 化为(xex，)型 例2 (2024·金华质检改编)已知函数f(x)＝exln x＋，证明：f(x)>1. 证明 要证明f(x)＝exln x＋>1，两边同乘以，得xln x＋>， 即证明xln x>－. 令h(x)＝xln x，g(x)＝－. 由h′(x)＝ln x＋1 知，h(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以h(x)≥h＝－； 而g′(x)＝知，g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(1)＝－. 所以有h(x)≥h＝－＝g(1)≥g(x)， 又等号不同时取到，所以有h(x)>g(x)， 即f(x)>1 得证. 训练2 设f(x)＝ex－2x，证明：f(x)＋x2－x＋1>0. 证明 把f(x)代入化简得ex＋x2－＋1>0， 即证ex>－x2＋－1， 当x≤0 时，左边0<ex≤1， 右边＝－x2＋x－1≤－1， 此时ex>－x2＋－1 恒成立， 当x>0 时，要证ex>－x2＋－1， 即证>－＋， 令g(x)＝，h(x)＝－＋， 则g′(x)＝， 在(0，1)上，g′(x)<0， g(x)单调递减； 在(1，＋∞)上，g′(x)>0， g(x)单调递增. 所以g(x)≥g(1)＝e， 又h(x)＝－＋≤－2＝(当且仅当x＝1 时等号成立) 由于g(x)≥g(1)＝e>≥h(x)， 故当x>0 时，ex>－x2＋－1 成立， 综上，f(x)＋x2－x＋1>0 成立. 【精准强化练】 1.已知函数f(x)＝axln x＋x2，若0<a≤1，求证：f(x)<ex－sin x＋1. 证明 ∵f(x)＝axln x＋x2，所以待证不等式为axln x＋x2<ex－sin x＋1， 由于当x>0 时，sin x<x， ∴只需证x2＋axln x<ex－x＋1， 即证>＋1.① 令g(x)＝＋1， g′(x)＝(0<a≤1)， 当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 易得g(x)最大＝g(x)极大＝g(e)＝＋1≤＋1， 令h(x)＝，h′(x)＝， 当x∈(0，2)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)，h′(x)>0，h(x)单调递增， 易得h(x)最小＝h(x)极小＝h(2)＝. 由于－＝>0，故①式成立，原不等式得证. 2.已知函数f(x)＝x2＋2x－2xex. (1)求函数f(x)的极值； (2)当x>0 时，证明f(x)－2x＋x2＋x3<－2eln x. (1)解 ∵f(x)＝x2＋2x－2xex， ∴f′(x)＝2x＋2－2ex－2xex ＝(2x＋2)(1－ex)， 由f′(x)＝0，得x＝－1 或x＝0. 列表讨论，得： x (－∞， －1) －1 (－1，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 极小值 极大值 ∴当x＝－1 时，f(x)极小值＝f(－1)＝1－2＋2×＝－1， 当x＝0 时，f(x)极大值＝f(0)＝0. (2)证明 要证明f(x)－2x＋x2＋x3<－2eln x. 即证明2ex－x2－2x>(x>0)， 令g(x)＝2ex－x2－2x(x>0)， h(x)＝(x>0)， g′(x)＝2(ex－x－1)，g″(x)＝2(ex－1)>0， ∴g′(x)在(0，＋∞)上单调递增， g′(x)>g′(0)＝0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)>g(0)＝2， h′(x)＝， 可得h(x)在(0，e)上递增， 在(e，＋∞)上递减， ∴h(x)≤h(e)＝2， 又g(x)与h(x)取最值点不同， ∴g(x)>h(x)在(0，＋∞)恒成立， 所以当x>0 时，f(x)－2x＋x2＋x3<－2eln x.
