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重难点培优10 导数中凹凸反转与端点效应的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 凹凸反转（★★★★★）................................................................................................................4
题型二 端点效应（★★★★★）................................................................................................................7
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................10
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................10
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................14
一、凹凸反转
1、凹凸函数的几何特征（形状特征）
一般地，对于函数
)
(x
f
的定义域内某个区间
上的不同的任意两个自变量的值
2
1, x
x
，
（1）总有
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
2
2
x
x
f x
f x
f
（当且仅当
1
2
x x
=
时，取等号），则函数
)
(x
f
在
上是凸函数，其
几何意义：函数
的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.
，则
单调
递减，
在
上为凸函数；
（2）总有
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
2
2
x
x
f x
f x
f
（当且仅当
1
2
x x
=
时，取等号），则函数
)
(x
f
在
上是凹函数，其
几何意义：函数
的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.
，则
单调递增，
在
上为凹函数.
图形上任意弧段位于所在弦
的下方的函数为凹函数
图形上任意弧段位于所在弦
的上方的函数为凸函数
关于凹凸性的判断：
二阶导数
凹凸性与开口
凹函数，开口向上
凸函数，开口向下
2、凹凸反转
很多时候，我们需要证明函数
,但不定就要
，因为大多数情况下
的零点是解不出
来的.这时候我们可以尝试凹凸反转.
，如果能够证明
，则
显然成立，（PS:反过来不一定成立）所以
就成立.很明显
是凹函数，
是凸
函数；因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.
3、凹凸反转有一个重要特点：等号不能同时取到，为什么？
如果
，则可构造
导函数的零点一定可求，就是
.
4、凹凸反转的关键就是如何分离，分离的原则是什么？
常见的不等式是由指数、对数和多项式函数构成，当我们构造差值函数时，我们要考虑指对分离；即指数
函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，然后利用导数求函数的最值.所以我们要非常熟
练掌握一些常见的指（对）数函数和多项式函数组合的函数的图像和最值.
5、凹凸反转法的关键几点
（1）遇到解析式简单的，首选构造差值函数，即构造一个函数.
（2）当解析式略微复杂，先尝试构造差值函数，如果导函数的零点不易求出，可再尝试凹凸反转法
（3）凹凸反转法即是拆分函数法，如何拆成两个函数是关键，最常见的是指数、对数型分离
（4）熟练掌握常见指数、对数型函数的图像和最值.
二、端点效应
1、前言
导数中我们经常遇到恒成立问题，含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，我们常见的方法有:
①分离参数（全分离或半分离）＋函数最值;
②直接（或移项转化）求导＋分类讨论.
但以上两种方法都有缺陷，首先对于方法①可能会出现参数分离困难或是无法分离，或者函数最值点无法
取到，即无定义.其次，对于方法②直接分类讨论可能会出现在某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问
题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明.
2、端点效应
（1）端点效应的定义
恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的
, 都有
恒成立”，这里的端
点
, 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命
题,观察
和
的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应.
（2）端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.
（3）端点效应的解题思路
端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必
要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解
决.
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步
①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条
件
②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至
得到使不等式恒成立的充要条件
3、端点效应的类型
（1）必要条件缩小范围
①若
在[a,b](a,b为常数)上恒成立，则f ( x)在区间端点处也成立，即
此法应用于区间端点值包含参数的情况.
②若f (x ,a)≥0(a为参数)在[a,b](a,b为常数)上恒成立，且f (a)=0（或f (b)=0）,则
此法应用于区间端点的函数值为零的情况.
③若f (x)≥0(a为参数)在[a,b](a,b为常数)上恒成立，且
，则
此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.
（2）充分性求结果
利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调；
①如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案；
②如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步讨论函数的最值.
题型一 凹凸反转
【技巧通法·提分快招】
要证明
，而这里
又比较复杂，直接分析其单调性与值域比较困难，这时可以考虑将
通过一些手段等价转化为
，如果此时可以容易求出
最小值
与
最大值
，而且容易得出
（或者
且
），那么就可以说明
，即
．掌握识记六大超越函数和变形能帮助快速解题.
1．当
时，求证：
．
【解析】证明：两边同时乘以
，即证明
．
下面将左右两个部分分别构造新函数，即
，
．
接下来我们再证明
的最小值大于
的最大值即可．
由
知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
；而
知，
在
上单调递减，
在
上单调递增，所以
．
所以有
，又等号不同时取到，
所以有
，得证．
注：从图像上看，左凹右凸，上述证明很容易实现．
2．证明
恒成立.
【解析】要证
，即证：
.
令
，
，则有
，
在
上单调递减，在
上单调递增.所以
.
，
在
上单调递增，在
上单调递减.所以
.
所以，对任意
，恒有
，于是命题得证.
3．已知函数
．
（1）求函数
的最小值；
（2）证明：
．
【解析】（1）略
（2）证明：即证
．等价于证：
．
令
，
．
时，
．
即
．令
，则
．
当
，
，
单调递增；当
，
，
单调递减；
即
．所以
．综上，
．
4．当
时，证明：
．
【解析】证明：由于
，故当
时，
，故只需证
．
等价于证：
．
令
，
，则
．
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
．
令
，
．
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
所以
．
综上，当
时，
．
所以，
时，
．
5．已知函数
，
，
为
的导数，且
．证明：
（1）
在
内有唯一零点．
（2）
．
（参考数据：
，
，
，
）
【解析】（1）略
（2）证明：即证
，
．
等价于证：
，
．
令
，
，则
．
当
，
，
单调递增；
当
，
，
单调递减；
即
．
令
，当
时取“=”
所以
．综上，
，
．
题型二 端点效应
【技巧通法·提分快招】
1、端点效应
“
适用于形如对任意
”
恒成立，求参数范围的问题。尤其当函
数在端点处取值为零或极限为零时，端点效应可能有效.
2、若使用必要探路法，则尤其要注意第一步，即寻找必要条件，因为其具有较强的技巧性.常见的选取技
巧包括选择端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如
等）.
1．（2025 宁波二模）已知函数
.当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
【解析】由题意可得
，
，此时
；
，此时
；
要想对任意
时，
恒成立，则必有
，即得
.
即得
是
在
恒成立的一个必要条件.
下面证明充分性，即证当
时，对任意
时，
恒成立.
，
令
，则
，
即得
在
上单调递增，所以
；
即得
，
恒成立；
充分性得证.
综上所述 实数
的取值范围为
.
2．已知函数
．
（1）当
时，
，求a 的取值范围；
【解析】由题知
，因为
，所以
，解得
，下面证明
对
且
恒成立.
只需证明
对
恒成立
对
恒成立（令
，则
）
①对
恒成立，设
，则
，所以
，故①式成立，则
的取值范围为
3．已知函数
．当
时，
，求a 的取值范围；
【详解】由题知
设
，
因为
，所以
，解得
，
下面证明
对
且
恒成立.
只需证明
对
恒成立
对
恒成立，
（令
，则
）
①对
恒成立，
设
，则
，
所以
，故①式成立，则
的取值范围为
.
4．已知函数
．
（1）当
时，
恒成立，求
的取值范围．
【解析】（1）
且
，继续求导可得：
，若
，即
时，存在正数
，当
时，
，故
在
递减，于是
，则
在
递减，则
，与题干矛盾！
故
，即
，下证当
时，
.
由于
，令
于是可得
，
，故
在
递增，
5．已知
.
（1）若
, 求
的取值范围.
【解析】（1）构建
，
则
，
若
，且
，
则
，解得
，
当
时，因为
，
又
，所以
，
，则
，
所以
，满足题意；
当
时，由于
，显然
，
所以
，满足题意；
综上所述：若
，等价于
，
所以
的取值范围为
.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
（1）求a，b．
（2）证明：
．
【解析】（1）a=1，b=2．
（2）即证：
左右同时除以
，让原式中的元素变得熟悉，即
．
此时，如果左右同时乘以x，会发现不等式左右两侧都是基本的凹凸函数．即
．
接下来，分析不等式左右两侧函数最值即可．
令
，易得
．（证单调性较易，过程从略）
令
，x>0，易得
．（证单调性较易，过程从略）
不能同时取“=”，即
所以
注意：正式的解答过程中，得求导分析
，
单调性，才能得出最值．
2．已知函数
．
（1）求曲线
在点（0，-1）处的切线方程；
（2）证明：当
时，
．
【解析】（1）略
（2）当
时，
．
故只需证：
．
分离为熟悉的函数，即证：
．
可以看出，左右同时加x，不等式左右两边即为常见的基本凹凸函数模型．
接下来，检验左右两侧最值即可．
即证
令
，易得
．
令
，易得
．
即
，
时取“=”
综上：当
时，
．
3．已知函数
，
，
（1）求
的最小值；
（2）证明：对一切
，都有
成立．
【解析】
，
令
，解得：
，
令
，解得：
，
故
在
递减，在
递增，
函数
的最小值
；
（2）证明：问题等价于证明
，
，
由（1）知道
的最小值
；
设
，
，则
，
故
在（0，1）递增，在
递减，
易知
，
故对一切
，都有
成立．
4．已知函数
．
（1）设
是
的极值点，求m，并讨论
的单调性；
（2）当
时，证明
．
【解析】（1）略
（2）证明：当
时，
．
故只需证：
．即证：
．
令
，
，则
．
当
，
，
单调递减；
当
，
，
单调递增；即
．
令
，则
．
当
，
，
单调递增；
当
，
，
单调递减；
即
．不能同时取“=”所以
．
综上，当
时，
．
5．（2024 广东模拟）若关于
的不等式
，
恒成立，求实数
的取
值范围.
【解析】令
，
，
由题可知
恒成立，
，所以
.
下面只需证当
时，对任意
时，
恒成立.
，
令
，
，
,
即得
在
上单调递增，所以
；
即得
，
恒成立；
综上所述 实数
的取值范围为
.
6．已知函数
．
（1）证明：
存在唯一零点；
（2）若
时，
，求
的取值范围．
【解析】（1）因为
，由
，得
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增
故
时，函数取得最小值
，
取
且
，则
（b）
，
故
存在唯一零点
（2）设
，
设
，
，则
，
易得
，由题知，
，可得
，
当
时，
，
设
，
，则
，（仅当
取等号），
则
在
，
递增，所以
，可得
，
因此
的范围是
，
．
7．已知函数
（1）若
当且仅当
，求
的取值范围．
【解析】（1）因为
当且仅当
，故
为
的一个解，所以
即
，先考虑
时，
恒成立.
此时
即为
在
上恒成立，设
，则
在
上恒成立，设
，则
，
注意到
，
，继续求导
，
根据前述定理可知，此时
在
上恒成立.当
，则当
时，
故在
上
为减函数，故
，不合题意，舍；综上，
在
上恒成立时
.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知函数
，其中e=2.71828…为自然对数的底数，
．
（1）求
的单调区间；
（2）
对
恒成立，记
，证明：
．
【解析】（1）
，
易证当
时，
，则
，即
，
所以
，故
在
，
上单调递增；
（2）∵
，∴要证原式
只需要
稍作变形
恒成立
构造
，
由单调性可知
构造
，
由单调性可知
因此
因此
2．设函数
．
（1）讨论
的导函数
的零点的个数．
（2）证明：当
时
．
【解析】（1）略
（2）证明：即证
．
等价于证：
．
令
，
，则
．
当
，
，
单调递减；
当
，
，
单调递增；即
．
令
，则
．
当
，
，
单调递增；当
，
，
单调递减；
即
．
所以
．综上，当
时
．
3．当
时，证明：
．
【解析】证明：当
时，
等价于
．
即只需证：当
时，
．
设
，
．则
．
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；即
．
设
，当
时，
，
时取“=” ．
即
．
即
，即当
时，
．
所以，当
时，
．
4．证明：
．（参考数据：
，
，
）
【解析】证明：令
，则
．
当
时，
，
单调递增．
所以，当
时，
．
当
时，
等价于
．
设
，
，则
．
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增．
即
．
，
，则
．
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
即
．即
时，
．
所以，当
时，
．
综上，
．
5．设函数
.
（1）求
的单调区间；
（2）如果对于任意
，都有
，求实数
的取值范围.
【解析】（1）由题可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）设
，由题可知对于任意
，都有
恒成立，
计算可知
，
，计算可知
，令
，得
.
下面只需证当
时，对任意
时，
恒成立.
,
令
,
，
所以
单调递减，
，
即得
.
综上所述 实数
的取值范围为
.
6．（2025 苏州二模）已知
，
，
.
（1）若曲线
在点
的切线也是
的切线，求
的值；
（2）若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）因为
，
且
，所以曲线
在点
的切线为
.又因为
，设
在切点
处得切线就是
，
得
且
，即得
.
（2）令
.
对任意
恒成立，计算可得
,
，计算可得
，
，计算可得
，令
，即得
.
下面只需证当
时，对任意
时，
恒成立.
，
因为
，所以
，对任意
恒成立.
综上所述 实数
的取值范围为
.
7．已知
，
，
．
（1）若
，证明：
；
（2）对任意
都有
，求整数
的最大值．
【解析】（1）设
，
，则
．
因为
，且
则
在
，单调递减，
，
所以存在唯一零点
，使得
则
在
时单调递增，在
上单调递减
又
，
所以
在
上恒成立上，所以
在
单调递增
则
，即
，所以
．
（2）因为对任意的
，
即
恒成立，令
，则
，
由（1）知
，所以
由于
为
整数，则
因此
下面证明
，在区间
上恒成立即可.
由（1）知
，则
故
设
，
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，所以
在
上恒成立.
综上所述，
的最大值为2．
