算术与图形的转换
教材第105~109 页的内容。
1.使学生认识到数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽
象思维为形象思维。
2.使学生能够感受到数与形可以互相转化,掌握数与形相结合的数学解题思想方法。
3.使学生加深对数形结合思想方法的认识,充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。
重点:感受数与形可以互相转化,掌握数与形相结合的数学解题思想方法。
难点:寻找和发现数与形相互转化的途径与方法,通过数与形的转化,认识到数形结合的
思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维。
实物投影。
计算下面的算式。
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=?
(1)学生读题,理解题意。
(2)尝试独立完成。
(3)介绍解题方法。
如果有的学生能够想出来好的解题方法,就让他们说一说他们的解题思路,老师加以点拨、
归纳。
1.出示例1。
(1)学生读题,教师整理信息。
为了便于观察,我们可以把图形与算式一一对应起来,找出图形和算式存在的相互关系。
1=( )2
1+3=( )2
1+3+5=( )2
(2)老师:先填空。
1=(1)2 1+3=(2)2 1+3+5=(3)2
提问①:算式左边的加数有什么特点?
小组内讨论,然后集体汇报。
(观察后会发现:算式左边的加数是连续的奇数)
提问②:算式左边的加数与构成的图形之间有什么关系?
小组内讨论,然后集体汇报。
(仔细观察后,我们会发现:算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“
”形图中所包含的小正方形的个数)
提问③:算式右边括号里的数字与构成的图形之间有什么关系?
小组内讨论,然后集体汇报。
(仔细观察后会发现:算式右边括号里的数字是图形中每列小正方形的个数)
提问④:算式左边加数(除第一幅图外)与右边括号里的数字之间有什么关系?如果算式左
边的加数是1、3、5……n,右边括号里的数字用a 表示,那么你能用字母表示其关系吗?小组
内讨论,然后集体汇报。
(观察计算后,我们会发现:算式左边第一个加数和最后一个加数和的一半等于右边括号
里的数字)
老师:可以举一个例子吗?
学生:
1+3=(
1+3
2 )
2=(2)2=4
1+3+5=(
1+5
2 )
2=(3)2=9
它们的关系式:(
1+n
2 )
2=a2。
老师:如果对上面的发现和结论还有怀疑,可以继续画图分析,进行验证。
(3)利用发现的数与形规律,解决教材第105 页的问题。
老师:前两道题可以直接利用(
1+n
2 )
2=a2进行计算。
1+3+5+7=(
1+7
2 )
2=(4)2
1+3+5+7+9+11+13=(
1+13
2 )
2=(7)2
最后一题的得数是92,我们逆向思考:(
1+n
2 )
2=92,很容易得到n=17。那么算式应填写为:
1+3+5+7+9+11+13+15+17=92。
老师总结:用小正方形拼大正方形,需要的小正方形个数可以写成连续奇数的和,正好是
每列小正方形个数的平方。
2.出示例2。
(1)投影出示:1
2
+1
4
+1
8
+ 1
16
+ 1
32
+ 1
64
+…
学生选择自己的方法进行计算。
老师:按照常规的方法计算,需要通分,这样连续相加,通分后的分母很大,计算烦琐,也容易
出错,怎样巧妙解答呢?
提问①:观察算式中数字之间有什么规律?
小组内讨论,然后集体汇报。
(1
4
=1
2
×1
2
,1
8
=1
4
×1
2
, 1
16
=1
8
×1
2
, 1
32
= 1
16
×1
2
, 1
64
= 1
32
×1
2
……我们发现:从第二个数开始,每个
数是前一个数的1
2
)
提问②:从左到右连续相加计算,你发现了什么?
小组内讨论,然后集体汇报。
(1
2
+1
4
=3
4
,3
4
+1
8
=7
8
,7
8
+ 1
16
=15
16
……我们发现:一个一个地加下去,答案好像有点规律。如
果继续加下去,等号右边的分数越来越接近于1。继续加下去,等号右边分数的分母与等号左
边分数的分母相同,分子比分母小1)
(2)研究数字与图形的转化。
老师:可以画个图来帮助思考,用一个圆或一条线段表示“1”。
用圆表示“1”,可转化为图形:
用一条线段表示“1”,可转化为图形:
用正方形表示“1”,可转化为图形:
从图形上我们可以看出,把这些分数不断加下去,总和就是1,也就是:
1
2
+1
4
+1
8
+ 1
16
+ 1
32
+ 1
64
+…=1
老师小结:有些问题通过画图,把数字、算式转化为图形,利用图形解答,更简洁直观。
3.完成教材第106 页“做一做”。
(1)学生读题,然后独立完成。
(2)集体订正。
1.学生对数形结合的数学问题很感兴趣。
2.用数形结合思想解题既是重点也是难点。
学生已经在前面接触过数形结合思想,在解题时,老师要引导学生往数形结合思想这一方
面靠拢,帮助学生突破难关。
1.教学时,要激发学生的学习兴趣。
2.老师适当引导,引导学生尝试用数形结合思想去解题。
