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2018 年山东省滨州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分）
1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】分析：直接根据勾股定理求解即可．
详解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为
故选A．
点睛：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于
斜边长的平方．
2. 若数轴上点A、B 分别表示数2、﹣2，则A、B 两点之间的距离可表示为（ ）
A. 2+（﹣2） B. 2﹣（﹣2） C. （﹣2）+2 D. （﹣2）﹣2
【答案】B
【解析】分析：根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可．
详解：A、B 两点之间的距离可表示为：2﹣（﹣2）．
故选B．
点睛：本题考查的是数轴上两点间的距离、数轴等知识，熟知数轴上两点间的距离公式是解
答此题的关键．
3. 如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠3=180° D. ∠3+∠4=180°
【答案】D
详解：如图，∵AB∥CD，
∴∠3+∠5=180°，
又∵∠5=∠4，
∴∠3+∠4=180°，
故选D．
点睛：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
4. 下列运算：①a2•a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】分析：根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数
幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个
因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
详解：①a2•a3=a5，故原题计算错误；
②（a3）2=a6，故原题计算正确；
③a5÷a5=1，故原题计算错误；
④（ab）3=a3b3，故原题计算正确；
正确的共2 个，
故选B．
点睛：此题主要考查了同底数幂的除法、乘法、幂的乘方、积的乘方，关键是熟练掌握各计算
法则．
5. 把不等式组
中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
详解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，
解不等式﹣2x
6
﹣＞﹣4，得：x＜﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选B．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解
集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
6. 在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O 为
位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的后得到线段CD，则点A 的对应点C 的坐
标为（ ）
A. （5，1） B. （4，3） C. （3，4） D. （1，5）
【答案】C
【解析】分析：利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C 点坐标．
详解：∵以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的横坐标和纵坐标的一半，
又∵A（6，8），
∴端点C 的坐标为（3，4）．
故选C．
点睛：此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解
题关键．
7. 下列命题，其中是真命题的为（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】D
【解析】试题分析：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故A 选项
错误；
B、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，故B 选项错误；
C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故C 选项错误．
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D 选项正确．
故选：D．
考点： 命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．
8. 已知半径为5 的⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧
的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析：根据圆周角定理和弧长公式解答即可．
详解：如图：连接AO，CO，
∵∠ABC=25°，
∴∠AOC=50°，
∴劣弧
的长=
，
故选C．
点睛：此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答．
9. 如果一组数据6、7、x、9、5 的平均数是2x，那么这组数据的方差为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x 的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
详解：根据题意，得：
=2x
解得：x=3，
则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，
所以这组数据的方差为 [（6
6
﹣）2+（7
6
﹣）2+（3
6
﹣）2+（9
6
﹣）2+（5
6
﹣）2]=4，
故选A．
点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一
组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
10. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C，与x 轴交于点
A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a
b+c
﹣
＜0；
③b2
4ac
﹣
＜0；
④当y＞0 时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】分析：直接利用二次函数的开口方向以及图象与x 轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1 时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=
1
﹣时，a
b+c=0
﹣
，故②错误；
③图象与x 轴有2 个交点，故b2
4ac
﹣
＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x 轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0 时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A 点坐标是解题
关键．
11. 如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=
，若点M、N 分别是射线OA、OB 上
异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）
A.
B.
C. 6 D. 3
【答案】D
【解析】分析：作P 点分别关于OA、OB 的对称点C、D，连接CD 分别交OA、OB 于M、N，如
图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=
，∠BOP=∠BOD，
∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN 周长
最小，作OH⊥CD 于H，则CH=DH，然后利用含30 度的直角三角形三边的关系计算出CD
即可．
详解：作P 点分别关于OA、OB 的对称点C、D，连接CD 分别交OA、OB 于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=
，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，
∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN 周长最小，
作OH⊥CD 于H，则CH=DH，
∵∠OCH=30°，
∴OH= OC=
，
CH=
OH= ,
∴CD=2CH=3．
故选D．
点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最
短解决路径最短问题．
12. 如果规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x
[x]
﹣
的图象为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：根据定义可将函数进行化简．
详解：当﹣1≤x＜0，[x]=
1
﹣，y=x+1
当0≤x＜1 时，[x]=0，y=x
当1≤x＜2 时，[x]=1，y=x
1
﹣
……
故选A．
点睛：本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数进行化简，本题属
于中等题型．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分）
13. 在△ABC 中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=_______．
【答案】100°
【解析】分析：直接利用三角形内角和定理进而得出答案．
详解：∵在△ABC 中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°
30°
50°=100°
﹣
﹣
．
故答案为：100°
点睛：此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键．
14. 若分式
的值为0，则x 的值为______．
【答案】-3
【解析】分析：分式的值为0 的条件是：
（1）分子=0；
（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不
可．据此可以解答本题．
详解：因为分式
的值为0，所以
=0，
化简得x2
9=0
﹣
，即x2=9．
解得x=±3
因为x
3≠0
﹣
，即x≠3
所以x=
3
﹣．
故答案为﹣3．
点睛：本题主要考查分式的值为0 的条件，注意分母不为0．
15. 在△ABC 中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=______．
【答案】
【解析】分析：直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
详解：如图所示：
∵∠C=90°，tanA= ，
∴设BC=x，则AC=2x，故AB=
x，
则sinB=
.
故答案为：
．
点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．
16. 若从﹣1，1，2 这三个数中，任取两个分别作为点M 的横、纵坐标，则点M 在第二象限的
概率是____．
【答案】
【解析】分析：列表得出所有等可能结果，从中找到点M 在第二象限的结果数，再根据概率公
式计算可得．
详解：列表如下：
由表可知，共有6 种等可能结果，其中点M 在第二象限的有2 种结果，
所以点M 在第二象限的概率是
..
故答案为：．
点睛：本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n，
再找出某事件发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率= ..
【答案】
【解析】分析：利用关于x、y 的二元一次方程组
，的解是
可得m、n 的数值，
代入关于a、b 的方程组即可求解，利用整体的思想整理找到两个方程组的联系求解的方法更
好．
详解：∵关于x、y 的二元一次方程组
的解是
，
∴将解
代入方程组
可得m=
1
﹣，n=2
∴关于a、b 的二元一次方程组
整理为：
解得：
点睛：本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现
明显．
18. 若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=
（k 为常数）的图象上，
则y1、y2、y3的大小关系为________．
【答案】y2＜y1＜y3
【解析】分析：设t=k2
2k+3
﹣
，配方后可得出t＞0，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求
出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
详解：设t=k2
2k+3
﹣
，
∵k2
2k+3=
﹣
（k
1
﹣）2+2＞0，
∴t＞0．
∵点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=
（k 为常数）的图象上，
∴y1=﹣，y2=
t
﹣，y3=t，
又∵﹣t＜﹣＜t，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求
出y1、y2、y3的值是解题的关键．
19. 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E、F 分别在BC、CD 上，若AE=
，∠EAF=45°，
则AF 的长为_____．
【答案】
【解析】分析：取AB 的中点M，连接ME，在AD 上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=
x，
再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值
相等可求出x 的值，在直角三角形ADF 中利用勾股定理即可求出AF 的长．
详解：取AB 的中点M，连接ME，在AD 上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF=
，AN=4
x
﹣，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE=
，AB=2，
∴BE=1，
∴ME=
，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴
，
∴
，
解得：x=
∴AF=
故答案为：
．
点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅
助线构造相似三角形是解题的关键，
20. 观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你所发现的规律，
计算
+
+
+…+
，其结果为_______．
【答案】
【解析】分析：直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
详解：由题意可得：
+
+
+…+
=
+1+
+1+
+…+1+
=9+（1﹣+ ﹣+ ﹣+…+ ﹣
）
=9+
=9
．
故答案为：9
．
点睛：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
三、解答题（本大题共6 小题，满分74 分）
21. 先化简，再求值：（xy2+x2y）×
，其中x=π0﹣（）﹣1，y=2sin45°﹣
．
【答案】
【解析】分析：原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出
值．
详解：原式=xy（x+y
•
）
=x
y
﹣，
当x=1
2=
1
﹣
﹣，y=
2
﹣
=﹣
时，
原式=
1
﹣．
点睛：此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD⊥CD 于点D，且AC 平分∠DAB，求证：
（1）直线DC 是⊙O 的切线；
（2）AC2=2AD•AO．
【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.
【解析】分析：（1）连接OC，由OA=OC、AC 平分∠DAB 知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知
OC∥AD，根据AD⊥DC 即可得证；
（2）连接BC，证△DAC∽△CAB 即可得．
详解：（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC 平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴DC 是⊙O 的切线；
（2）连接BC，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴AB=2AO，∠ACB=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴
，即AC2=AB•AD，
∵AB=2AO，
∴AC2=2AD•AO．
点睛：本题主要考查圆的切线，解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的
判定与性质．
23. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考
虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣
5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m 时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【答案】（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m 时，飞行时间是1s 或3s；（2）在飞行过
程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）在飞行过程中，小球飞行高度第2s 时最大，最
大高度是20m．
【解析】分析：（1）根据题目中的函数解析式，令y=15 即可解答本题；
（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
详解：（1）当y=15 时，
15=
5x
﹣
2+20x，
解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m 时，飞行时间是1s 或3s；
（2）当y=0 时，
0═
5x
﹣
2+20x，
解得，x3=0，x2=4，
∵4
0=4
﹣
，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y=
5x
﹣
2+20x=
5
﹣（x
2
﹣）2+20，
∴当x=2 时，y 取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s 时最大，最大高度是20m．
点睛：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，
顶点C 的坐标为（1，
）．
（1）求图象过点B 的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点A，B 的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写
出自变量x 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
；（3）x＜﹣1 或0＜x＜3．
【解析】分析：（1）由C 的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B 的坐标，利用待定系
数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由菱形的边长确定出A 坐标，利用待定系数法求出直线AB 解析式即可；
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意x 的范围即可．
详解：（1）由C 的坐标为（1，
），得到OC=2，
∵菱形OABC，
∴BC=OC=OA=2，BC∥x 轴，
∴B（3，
），
设反比例函数解析式为y= ，
把B 坐标代入得：k=3
，
则反比例解析式为y=
；
（2）设直线AB 解析式为y=mx+n，
把A（2，0），B（3，
）代入得：
，
解得：
则直线AB 解析式为y=
2
﹣
；
（3）联立得：
，
解得：
或
，即一次函数与反比例函数交点坐标为（3，）或（﹣1，﹣3
），
则当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x 的取值范围为x＜﹣1 或0＜x＜
3．
点睛：此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函
数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25. 已知，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点D 为BC 的中点．
（1）如图①，若点E、F 分别为AB、AC 上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点E、F 分别为AB、CA 延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF 吗？请利用图②说明
理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）BE=AF，证明见解析.
【解析】分析：
（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同
角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三
角形的性质即可证出BE=AF；
（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根
据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全
等三角形的性质即可得出BE=AF．
详（1）证明：连接AD，如图①所示．
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD=45°．
∵点D 为BC 的中点，
∴AD= BC=BD，∠FAD=45°．
∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF．
在△BDE 和△ADF 中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF；
（2）BE=AF，证明如下：
连接AD，如图②所示．
∵∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠EBD=∠FAD=135°．
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，
∴∠EDB=∠FDA．
在△EDB 和△FDA 中，
，
∴△EDB≌△FDA（ASA），
∴BE=AF．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：
（1）根据全等三角形的判定定理ASA 证出△BDE≌△ADF；（2）根据全等三角形的判定定理
ASA 证出△EDB≌△FDA．
26. 如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x 轴相切于点
B．
（1）当x=2 时，求⊙P 的半径；
（2）求y 关于x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得
函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的
集合．
（4）当⊙P 的半径为1 时，若⊙P 与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，
n）在点C 的右侧，请利用图②，求cos∠APD 的大小．
【答案】（1）；（2）图象为开口向上的抛物线，见解析；（3）点A；x 轴；（4）
【解析】分析：（1）由题意得到AP=PB，求出y 的值，即为圆P 的半径；
（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y 关于x 的函数解析式，画出函数图象即可；
（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；
（4）画出相应图形，求出m 的值，进而确定出所求角的余弦值即可．
详解：（1）由x=2，得到P（2，y），
连接AP，PB，
∵圆P 与x 轴相切，
∴PB⊥x 轴，即PB=y，
由AP=PB，得到
=y，
解得：y= ，
则圆P 的半径为；
（2）同（1），由AP=PB，得到（x
1
﹣）2+（y
2
﹣）2=y2，
整理得：y= （x
1
﹣）2+1，即图象为开口向上的抛物线，
画出函数图象，如图②所示；
（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A 的距离等于到x 轴的距
离的所有点的集合；
故答案为：点A；x 轴；
（4）连接CD，连接AP 并延长，交x 轴于点F，
设PE=a，则有EF=a+1，ED=
，
∴D 坐标为（1+
，a+1），
代入抛物线解析式得：a+1= （1
a
﹣2）+1，
解得：a=
2+
﹣
或a=
2
﹣﹣
（舍去），即PE=
2+
﹣
，
在Rt△PED 中，PE=
2
﹣，PD=1，
则cos∠APD=
=
2
﹣．
点睛：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，圆
的性质，勾股定理，弄清题意是解本题的关键．
