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数学
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本题有10 小题，每题3 分，共30 分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错
选，均不得分）
1.下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2.2018 年5 月25 日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日
点，它距离地球约
.数1500000 用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.2018 年1～4 月我国新能源乘用车的月销售情况如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．1 月份销售为2.2 万辆
B．从2 月到3 月的月销售增长最快
C．4 月份销售比3 月份增加了1 万辆
D．1～4 月新能源乘用车销售逐月增加
4.不等式
的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺
平后的图形是（ ）
A． B． C． D．
6.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
7.欧几里得的《原本》记载，形如
的方程的图解法是：画
，使
，
，
，再在斜边
上截取
.则该方程的一个正根是（ ）
A．
的长 B．
的长 C．
的长 D．
的长
8.用尺规在一个平行四边形内作菱形
，下列作法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，点
在反比例函数
的图象上，过点
的直线与
轴，
轴分别交于点
，
，且
，
的面积为1，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10.某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3 分，平一场得1 分，
负一场得0 分.某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个
连续奇数，则与乙打平的球队是（ ）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本题有6 小题，每题4 分，共24 分）
11.分解因式：
．
12.如图，直线
，直线
交
，，于点
，，；直线
交
，，于点
，，
.已知
，则
．
13.小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次.小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，
则我赢.”小红赢的概率是 ，据此判断该游戏 （填“公平”或“不公平”）．
14.如图，量角器的0 度刻度线为
，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点
，
直尺另一边交量角器于点
，
，量得
，点
在量角器上的读数为
，则该直尺的宽度为
____________
．
15.甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20 个，甲检测300 个比乙检测200 个所用的时间少
，若设甲每小时检测
个，则根据题意，可列出方程： ．
16.如图，在矩形
中，
，
，点
在
上，
，点
在边
上一动点，以
为
斜边作
.若点
在矩形
的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则
的值是
．
三、解答题（本题有8 小题，第17～19 题每题6 分，第20，21 题每题8 分，第22，23 题每题10 分，
第24 题12 分，共66 分）
17.（1）计算：
；
（2）化简并求值：
，其中
，
.
18.用消元法解方程组
时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”.
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答.
19.如图，等边
的顶点
，
在矩形
的边
，
上，且
.
解法一：
由①-②，得
.
解法二：由②，得
，③
把①代入③，得
.
求证：矩形
是正方形.
20.某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围为
的产品为合
格），随机各抽取了20 个样品进行检测，过程如下：
收集数据（单位：
）：
甲车间：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，187，176，180.
乙车间：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，182，180，183.
整理数据：
甲车间
2
4
5
6
2
1
乙车间
1
2
2
0
分析数据：
车间
平均数
众数
中位数
方差
甲车间
180
185
180
43.1
乙车间
180
180
180
22.6
应用数据：
（1）计算甲车间样品的合格率.
（2）估计乙车间生产的1000 个该款新产品中合格产品有多少个？
（3）结合上述数据信息，请判断哪个车间生产的新产品更好，并说明理由.
21.小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度
与摆动时间
之间的关系如图2 所示.
组
别
频
数
（1）根据函数的定义，请判断变量
是否为关于的函数？
（2）结合图象回答：
①当
时，
的值是多少？并说明它的实际意义.
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
22.如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱
垂直于地面
，
为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为
，
为
中点，
，
，
，
.当点
位于初始位置
时，点
与
重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与
垂直时，遮阳效果最佳.
（1）上午10:00 时，太阳光线与地面的夹角为
（图3），为使遮阳效果最佳，点
需从
上调多少距离？
（结果精确到
）
（2）中午12:00 时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点
在（1）的基础上还需上调多少距离？
（结果精确到
）
（参考数据：
，
，
，
，
）
23.已知，点
为二次函数
图象的顶点，直线
分别交
轴正半轴，
轴于
点
，
.
（1）判断顶点
是否在直线
上，并说明理由.
（2）如图1，若二次函数图象也经过点
，，且
，根据图象，写出
的取值范围.
（3）如图2，点
坐标为
，点
在
内，若点
，
都在二次函数图象上，试比较
与
的大小.
24.已知，
中，
，是
边上一点，作
，分别交边
，
于点
，
.
（1）若
（如图1），求证：
.
（2）若
，过点
作
，交
（或
的延长线）于点
.试猜想：线段
，
和
之间的数量关系，并就
情形（如图2）说明理由.
（3）若点
与
重合（如图3），
，且
.
①求
的度数；
②设
，
，
，试证明：
.
数学参考答案
一、选择题
1-5: CBDAA 6-10: DBCDB
二、填空题
11.
12. 2 13.
；不公平
14.
15.
16. 0 或
或4
三、解答题
17.（1）原式
.
（2）原式
.
当
，
时，原式
.
18.（1）解法一中的计算有误（标记略）.
（2）由①-②，得
，解得
，
把
代入①，得
，解得
，
所以原方程组的解是
.
18.用消元法解方程组
时，两位同学的解法如下：
19.（方法一）∵四边形
是矩形，
∴
，
∵
是等边三角形，
∴
，
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴矩形
是正方形.
（方法二）（连结
，利用轴对称证明，表述正确也可）
20.（1）甲车间样品的合格率为
.
（2）∵乙车间样品的合格产品数为
（个），
∴乙车间样品的合格率为
.
∴乙车间的合格产品数为
（个）.
（3）①从样品合格率看，乙车间合格率比甲车间高，所以乙车间生产的新产品更好.
②从样品的方差看，甲、乙平均数相等，且均在合格范围内，而乙的方差小于甲的方差，说明乙比甲稳定，所
以乙车间生产的新产品更好.
21.（1）∵对于每一个摆动时间，都有一个唯一的
的值与其对应，
∴变量
是关于的函数.
（2）①
，它的实际意义是秋千摆动
时，离地面的高度为
.
②
.
22.（1）如图2，当点
位于初始位置
时，
.
如图3，10:00 时，太阳光线与地面的夹角为
，点
上调至
处，
，
，∴
，
∴
.
∵
，∴
.
∵
，∴
，
∴
为等腰直角三角形，∴
，
∴
，
即点
需从
上调
.
（2）如图4，中午12:00 时，太阳光线与
，地面都垂直，点
上调至
处，
∴
.
∵
，∴
.
∵
，
∴
.
∵
，得
为等腰三角形，
∴
.
过点
作
于点
，
∴
，
∴
，
∴
，
即点
在（1）的基础上还需上调
.
23.（1）∵点
坐标是
，
∴把
代入
，得
，
∴点
在直线
上.
（2）如图1，∵直线
与
轴交于点为
，∴点
坐标为
.
又∵
在抛物线上，
∴
，解得
，
∴二次函数的表达式为
，
∴当
时，得
，
，∴
.
观察图象可得，当
时，
的取值范围为
或
.
（3）如图2，∵直线
与直线
交于点
，与
轴交于点
，
而直线
表达式为
，
解方程组
，得
.∴点
，
.
∵点
在
内，
∴
.
当点
，
关于抛物线对称轴（直线
）对称时，
，∴
.
且二次函数图象的开口向下，顶点
在直线
上，
综上：①当
时，
；
②当
时，
；
③当
时，
.
24.（1）∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
，
，
∴
.
∴
.
（2）猜想：
，理由如下：
过点
作
的平行线交
的延长线于点
，
则
，
∵
，
∴
，
又
，
∴
，∴
.
∵
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
.
（3）①设
，
∵
，
，
∴
，
又
，即
，
∴
，即
.
②延长
至
，使
，连结
，
∵
，
.
∴
，
∵
，∴
，
∴
，
而
，
∴
.
∴
，
∴
.∵
，
，
，
∴
，
∴
.
