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专题07 函数的基本性质
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
一、函数的单调性
1.增函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I, 如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任意两个自变量x₁,xz, 当x₁
<x₂ 时，都有f(x₁) <f(x₂), 那么就说函数f(x)在区间 D 上是增函数.
2.减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任 意两个自变量x₁,xz, 当x₁
1
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<x₂ 时，都有f(x₁)>f(x₂), 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数.
小结：对任意的x₁,x₂ D,
∈
且x₁ ≠x₂ 有：
（1）
（2）(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]>0=f(x)在D 上是增函数；
(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]<0
f(x)
⇔
在D 上是减函数.
二、单调区间
如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调
性，
区间D 叫做y=f(x)的单调区间.
温馨提示：
1. 函数的单调性是针对定义城内某段区间而言的 .
2. 函数单调性定义中的x₁,xg 有三个特征：①任意性；②有大小；③同属一个单调区间，三者缺一不
可.
3. 求函数的单调区间，应先求其定义域 .
三、单调函数的运算性质
1.函数f(x) 与 f(x)+c(c 为常数)具有相同的单调性.
2.当 a>0 时，f(x)与a·f(x)的单调性相同，当a<0 时，f(x)与a·f(x)的单调性相反.
3.当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x) 与
的单调性相反.
4.当 f(x),g(x )同为增(减)函数时，f(x)+g(x)是增(减)函数.
5.当f(x),g(x) 同为增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增 (减)函数；若两者都小于零，
则f(x)·g(x) 是减(增)函数.
四、复合函数的单调性
复合函数 y=f(g(x)), 在其定义域内单调性满足：
f(x)
g(x)
f(g(x)
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
减函数
2
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减函数
减函数
增函数
温馨提示:复合函数的单调性符合“同增异减”的法则.
五、函数的最值
1. 函数的最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足：(1)任意的x I,
∈
都有f(x)≤M;(2)存在x₀
I,
∈
使得f(x₀)=M. 那么,我们称M 是函数y=f(x)的最大值，
2. 函数的最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数M 满足：(1)任意的x I,
∈
都有f(x)≥M;(2) 存在
x₀ I,
∈
使得f(xo)=M.那么,我们称M 是函数y=f(x)的最小值
六、函数的奇偶性
Ⅰ、奇函数与偶函数的定义
1.奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x) 那么函数 f(x) 就叫做奇函数.
2. 偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函数.
温馨提示 ：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称，
则此类函数为非奇非偶函数.
Ⅱ、奇、偶函数的性质
1.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称.
2.奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；偶函数的图象是以y 轴 为对称轴的轴对称图
形.
3.若一个奇函数在x=0 处有意义，则 f(0)=0.
4.若一个函数既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.
5.四则运算及复合函数的奇偶性
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)-g(x)
f(x)·g(x)
f(g(x)
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
3
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七、函数 y=f(x)的图象的对称性
1.函数y=f(x) 的图象关于直线x=a 对称⇔f(a+x)=f(a-x)
f(2a-x)=f(x).
⇔
2.若函数 y=f(x)(x R),f(x+a)=f(b-x)
∈
恒成立，则y=f(x)的图象的对称轴是直线
3.画数y=f(a)的图象关于直线
对称⇔f(a+mx)=f(b-mx)
f(a+b-mx)=f(mx).
⇔
4.若f(x)=-f(-x+a), 则函数y=f(x) 的图象关于点
对称 .
八、两个函数图象的对称性
1.函数y=f(x)与函数y= f(-x)的图象关于直线x=0 ( 即y 轴)对称.
2.函数y=f(x+a)与 y=f (b-x) 的图象关于直线
对称 .
3.函数y=f (mx-a) 与函数y=f(b -mx) 的图象关于直线
对称.
九、函数的周期性
Ⅰ、周期函数及最小正周期
1.周期函数
对于函数y=f(x), 如果存在一个非零常数T, 当x 取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x), 那么就称
函数y=f(x) 为周期函数，T 为这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f(x) 的最小正周
期.
Ⅱ、函数周期性的重要结论
1. 若f(x+a)=f(x+b)(a≠b), 则T=la-b|.
2.若 f(x+a)=-f(x), 则 T=2lal.
3.若
,则 T=2la|.
4.若函数 f(x) 是偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则T=2|al. 5.若函数f(x)是奇函数，其图象关于
直线x=a 对称，则T=4|al. 6.若函数f(x) 关于直线x=a 与 x=b 对称，则T=2|b-al.
4
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7.若函数f(x) 关于点(a,0) 对称，又关于点(b,0) 对称，则T=2|b-al.
8.若 函 数f(x) 关于直线x=a 对称，又关于点(b,0) 对称，则 T=4|b-al.
高中常常将函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性结合起来考查，大多以选择题、填空题的形式出
现；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
一、确定函数的单调性
命题点1 求具体函数的单调区间
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝
答案 AC
解析 ∵y＝ex与y＝－e－x为R 上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R 上的增函数，故A 正确；
由y＝|x2－2x|的图象知，故B 不正确；
对于选项C，y′＝1－sin x≥0，
∴y＝x＋cos x 在R 上为增函数，故C 正确；
y＝的定义域为(－∞，－2] [1
∪
，＋∞)，故D 不正确．
命题点2 判断或证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解 方法一 设－1<x1<x2<1，
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，
由于－1<x1<x2<1，
所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0 时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
方法二 f′(x)＝
＝＝－.
当a>0 时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0 时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
拓展
5
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1．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
答案 [0,1)
解析 由题意知g(x)＝该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
2．已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
证明 方法一 (定义法)设x1>x2>0，
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝，
∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，
当x1，x2 (0
∈
，]时，0<x1x2<a，
∴x1x2－a<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(0，]上单调递减，
当x1，x2 [
∈，＋∞)时，x1x2>a，
∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[，＋∞)上单调递增．
方法二 (导数法)
f′(x)＝1－＝(x>0)，
令f′(x)>0⇒x2－a>0⇒x>，
令f′(x)<0⇒x2－a<0 0<
⇒
x<，
∴f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
方法归纳： 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
二、函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 (2022·成都模拟)已知函数f(x)为R 上的偶函数，对任意x1，x2 (
∈－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
成立，若a＝f(ln )，b＝f(
)，c＝f(
)，则a，b，c 的大小关系是( )
A．c<b<a
B．a<c<b
C．a<b<c
D．c<a<b
答案 B
解析 ∵对任意x1，x2 (
∈－∞，0)，
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均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 成立，
∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，
∵f(x)是偶函数，
∴当x (0
∈
，＋∞)时，f(x)单调递增，
又f(x)＝
在x (0
∈
，＋∞)上单调递增，
1<
∴
<
，
又0<ln <1，
ln
∴ <
<
，
∴
>
>f(ln )，
即a<c<b.
命题点2 求函数的最值
例4 函数
的最大值为 .
答案
解析 因为
，
令
，则
，
令
，
，因为函数
在
上单调递增，所以
，
即
，则
，
即函数
的最大值为
，当且仅当
时取等号.
故答案为：
命题点3 解不等式
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例5 已知
的定义域为
，对任意的
、
，且
都有
且
，则不
等式
的解集为 .
答案
解析 不妨设
，由
可得
，
所以，
，
令
，则
，所以，函数
在
上单调递增，
由
可得
，
又因为
，
由
可得
，则
，解得
，
因此，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
命题点4 求参数的取值范围
例6 函数f(x)＝且满足对任意的实数x1≠x2都有>0 成立，则实数a 的取值范围是( )
A．[4,8)
B．(4,8)
C．(1,8]
D．(1,8)
答案 A
解析 函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0，
所以函数f(x)＝是R 上的增函数，
则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足
解得4≤a<8，
所以实数a 的取值范围为[4,8)．
拓展
1．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}
的最大值是______．
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答案 1
解析 方法一 在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．
易知点A(2,1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
方法二 依题意，h(x)＝
当0<x≤2 时，h(x)＝log2x 单调递增，
当x>2 时，h(x)＝3－x 单调递减，
因此h(x)在x＝2 时取得最大值h(2)＝1.
方法归纳： (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图
象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
三、函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
答案 (1)奇函数
(2)偶函数
(3)既不是奇函数也不是偶函数
(4)既不是奇函数也不是偶函数．
解析 （1）
的定义域为
，关于原点对称，
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又
，
是奇函数．
（2）
的定义域为
，关于原点对称，
又
，
是偶函数．
（3）由
，得
，
即函数
的定义域是
，不关于原点对称，
既不是奇函数也不是偶函数．
（4）
的定义域为
，
，
，
既不是奇函数也不是偶函数．
方法归纳： 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
命题点2 函数奇偶性的应用
例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1 在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M
＋N 的值为( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
答案 C
解析 依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，
显然函数g(x)的定义域为R，
则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，
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即函数g(x)是奇函数，
因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，
则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，
于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，
所以M＋N 的值为2.
(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
答案 1
解析 方法一 (定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的
x∈R 恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R 恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0 对任意
的x∈R 恒成立，所以a＝1.
方法二 (取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－
＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三 (转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，
因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
方法归纳： (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知
区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
四、函数的周期性
例3 (1)(2022·重庆质检)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当
x (0,2)
∈
时，f(x)＝x2，则f 等于( )
A．－
B．－
C.
D.
答案 A
解析 由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，
又f(x)是定义在R 上的奇函数，
∴f ＝f
＝f ＝－f ＝－.
(2)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2 023)＝________.
答案
解析 ∵f(x)f(x＋2)＝13，
∴f(x＋2)＝，
∵f(x＋4)＝＝＝f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 023)＝f(3)＝＝.
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拓展
若函数f(x)＝则f(2 023)＝________.
答案 －1
解析 当x>0 时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，
①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，
②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期为6，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)
＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
方法归纳： (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而
解决问题．
五、函数的对称性
例4 (1)(多选)(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x 都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝
f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2 对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
答案 ACD
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2 对称，故A 正确，B 错误；
∵函数f(x)的图象关于直线x＝2 对称，
则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C 正确；
∵T＝4 且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D 正确．
(2)已知函数y＝f(x)－2 为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，
则y1＋y2＋…＋y6＝________.
答案 12
解析 ∵函数y＝f(x)－2 为奇函数，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，
又g(x)＝＝＋2，其图象也关于(0,2)对称，
∴两函数图象交点关于(0,2)对称，
则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.
延伸探究 在本例(2)中，把函数“y＝f(x)－2”改为“y＝f(x＋1)－2”，把“g(x)＝”改为“g(x)＝”，其他不
变，求x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6的值．
12
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解 ∵y＝f(x＋1)－2 为奇函数，
∴函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，
又g(x)＝＝＋2，
∴g(x)的图象也关于点(1,2)对称，
则x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6＝3×2＋3×4＝18.
方法归纳： (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴
或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
13
