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专题09 导数及其应用（A 卷，考点练+模拟练）
一、填空题
1．（23-24 高二下·上海·阶段练习）极限
．
【答案】
/
【分析】根据导数的定义结合题意直接求解即可.
【解析】
.
故答案为：
2．（23-24 高二下·上海·阶段练习）函数
的导函数为 ．
【答案】
【分析】利用复合函数的求导法则可得出
的表达式.
【解析】因为
，由复合函数的求导法则可得
.
故答案为：
.
3．（22-23 高三下·上海杨浦·阶段练习）已知
为实数，函数
在
处的切线方程为
，则
的值为 ．
1
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【答案】/
【分析】求解导函数，计算
处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出
的值，再根据函数解析式求解切点坐标并代入切线方程即可求解出
的值，从而计算出
的值.
【解析】因为
，所以
，
则
，由
处的切线方程为
，
得切线的斜率为
，所以
，得
，
所以
，当
时，
，所以切点为
，
将
代入切线方程得：
，
解得
，所以
.
故答案为：
4．（22-23 高二下·上海浦东新·阶段练习）函数
在区间
上的最大值是 ．
【答案】
/
【分析】求导得到导函数，再计算单调区间计算最值得到答案.
【解析】
，令
，解得
，
故函数
在
是严格减函数，在
严格增函数，
．
故答案为：
5．（21-22 高二下·上海长宁·期末）在R 上可导的函数
的图象如图所示，则关于x 的不等式
的解集为 ．
2
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【答案】
或
【分析】根据原函数的图象可得导数的符号，从而可求不等式
的解.
【解析】由
的图象可得
的解为
或
，
的解为
.
而
即为
或
，
故
或
，
故答案为：
或
6．（22-23 高二下·上海松江·期中）若函数
在
上严格增，那么a 的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据函数严格增可知导数不小于0 恒成立，分离参数后求最值即可得解.
【解析】由题意，
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
而
在
上严格减，
所以
，
故
.
故答案为：
3
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7．（23-24 高三上·上海浦东新·阶段练习）在等比数列
中，
，
分别是函数
的
两个驻点，则
.
【答案】
【分析】根据函数驻点的性质与等比数列的性质求解即可.
【解析】函数
，则
，
分别是函数
的两个驻点，所以
，
是方程
的两根，
所以
，所以
在等比数列中
，且等比数列奇数项同号，则
，所以
.
故答案为：
.
8．（2023·上海静安·二模）若
，其中
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由题可得
，后通过导数求出
最小值即可
得答案.
【解析】
可知
，
.则
.
设
，则
，
令
在
上单调递增，
在
上单调递减.
故
，即
的最小值为
.故答案为：
9．（23-24 高三下·上海闵行·阶段练习）设
，
分别是定义域为
的奇函数和偶函数，当
时
4
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，且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数
，由已知条件判断
导数的符号从而判断
的单调性，结合函数
奇偶性及零点即可得解.
【解析】设
，
，
因为
是定义域为
的奇函数，
所以
，
即当
时，
，
单调递增，
由已知得
为奇函数，且在
，
上均为增函数，
因为
，所以
的解集为
.
故答案为：
10．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到
污染源距离的平方成反比，比例常数为
.现已知相距18km 的
，
两家化工厂（污染源）的污染
强度分别为
，
，它们连线段上任意一点
处的污染指数
等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
.若
，且
时，
取得最小值，则
的值为 .
【答案】
【分析】根据
，得
，分别求出两个污染指数即可得出函数关系，求出函数的导
函数，依题意可得
，即可求出
的值，再检验即可.
【解析】依题意点
受
污染源污染程度为
，点
受
污染源污染程度为
，其中
为比例常数，且
，
5
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从而点
处受污染程度
，
；
因为
，所以
，则
，
当
时，
取得最小值，必是极小值，所以
，
解得
，
此时
，
，
当
时，
，函数单调递减，当
时，
，函数单调递增，
所以在
时，
取得极小值，也是
的最小值，
所以污染源
的污染强度
的值为．
故答案为：
11．（23-24 高三下·上海南洋模范中学·阶段练习）已知向量
的夹角为
的单位向量，若对任意的
，且
，
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用向量的数量积计算公式，求得
，根据题意转化为
，进而转化为
，设
，利用导数求得函数
的单调性，结合
在
上单调递减，
进而求得
的取值范围.
【解析】因为向量
的夹角为
的单位向量，则
，
所以
，
6
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由对任意的
，且
，
，
可得
，所以
，即
，
设
，即函数
在
上单调递减，
又因为
时，
，解得
，
当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
在
上单调递减，
所以
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
12．（23-24 高三上·上海交通大学附属中学·阶段练习）对于函数
和
，设
，
，若存在m，n，使得
，则称
和
互为“零点关联函数”，若函数
与
互为“零点关联函数”，则实数a 的最小值是 ．
【答案】
【分析】首先根据函数
为单调递增函数，
，得
仅有唯一零点
，
结合“零点关联函数”的定义得出函数
的一个零点为
，则有
，即
，
构造函数用导数解决问题.
【解析】由函数
为单调递增函数，
，得
仅有唯一零点
，
设函数
的一个零点为
，则有
，即
，
所以由题知，
在
有零点，即方程
在
有解,
7
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构造函数
，
，
，
，
在
单调递减，
，
所以
，
，
单调递增，且
，
,
要使方程
在
有解，则
，所以实数
的最小值是-2.
故答案为：-2．
二、单选题
13．（22-23 高三上·上海青浦·阶段练习）下列求导数运算正确的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数求导公式和导数四则运算法则即可逐项计算并判断．
【解析】
，
，
故ABC 求导错误，D 求导正确．
故选：D．
14．（23-24 高二下·上海青浦·阶段练习）如果函数
的导函数
的图象如图所示，则以下关
于
判断正确的是（ ）
A．在区间
上是严格减函数
B．在区间
上是严格增函数
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C．
是极小值点
D．
是极小值点
【答案】B
【分析】根据图象分析
在不同区间上取值的正负，然后判断
相应的单调性，即可判断每个选项.
【解析】对于A，由图象知
在
上取正值，所以
在
上递增，A 错误；
对于B，由图象知
在
上取正值，所以
在
上递增，B 正确；
对于C，由图象知
在某个
上取负值，这里
，所以
在
上递减，从而
不可能是
的极值点，C 错误；
对于D，由图象知
在
上取正值，在某个
上取负值，这里
，所以
在
上递
增，在
上递减，从而
是
的极大值点，D 错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用图象判断导数的正负，再由此确定函数的单调性.
15．（22-23 高三上·上海普陀·阶段练习）已知
，函数
的导函数为
.下列说法正确的是
（ ）
A．
B．函数
的严格增区间为
C．
的极大值为
D．方程
有两个不同的解
【答案】C
【分析】求出
，则可知
，
在
上单调递增，
在
上单调递减，
的极大值为
；方程
等价于
,画出函数
与
函数
图像即可知
有且只有一个交点即可解决问题..
【解析】由题意知：
，所以
，A 错误；
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当
时；
，
单调递增，
当
时；
，
单调递减，B 错误；
的极大值为
，C 正确；
方程
等价于
,
如图所示：
由图像知函数
与函数
有且只有一个交点，
即方程
有且只有一个解，D 错误;
故选：C.
16．（23-24 高三下·上海·阶段练习）已知函数
，①若函数
有最大值，并将
其记为
，则a 的最大值为
，
的最小值为
；②若函数
有零点，并将零点个数记为
，则函数
为偶函数（ ）
A．①成立②成立
B．①成立②不成立
C．①不成立②成立
D．①不成立②不成立
【答案】B
【分析】求出函数
的极大值2 及
对应的x 值，再按
讨论
取得最大值的条件，函数
的最小值判断①；再取
分别求出函数
的零点个数判断
②即可.
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【解析】令
，求导得
，
当
或
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
取得极小值
，当
时，
取得极大值
，
令
，即
，整理得
，解得
，
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
由函数
有最大值，得
，则
，
；
当
时，函数
在
上的最大值为2，
若
，则
，因此当
时，
；
当
时，
，
恒成立，而
在
上单调递减，
，
显然
，有
，因此当
时，
，
于是
，此时a 的最大值为
，
显然
在
上单调递减，
，
在
上单调递减，
，
所以函数
在
上有最小值
，命题①成立；
当
时，
，由
，得
或
，
解得
，即函数
只有一个零点，因此
，
当
时，
，由
，得
或
，
解得
或
，即函数
有3 个零点，因此
，显然
，
所以
不是偶函数，命题②不成立.
故选：B
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【点睛】关键点点睛：判断命题①的关键是求出函数
在R 上的极大值，再按
分段讨论求解.
三、解答题
17．（23-24 高二下·上海·阶段练习）已知函数
，曲线
在点
处
的切线也是曲线
的切线．
(1)求
的严格增区间
(2)若
，求a；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出
的导数，令
，即可解得
的严格增区间；
（2）由
，求出曲线
在点
处的切线方程，设该切线与
切于点
，则
由
求出
，由
，解得
．
【解析】（1）因为
，则
，
令
，解得
或
，
所以
的严格增区间为
.
（2）由题意得，
，
则
在点
处的切线方程为
，即
，
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设该切线与
切于点
，则
，
解得
，则
，解得
．
18．（23-24 高二下·上海·阶段练习）设函数
(1)求出
的所有单调区间;
(2)对于任意的
使得
恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
单调减区间为
，
.
(2)
【分析】（1）利用函数
的导数可得函数的单调区间；
（2）将对任意的
都有
恒成立，转换成求
的最大值可得实数m 的取值范围.
【解析】（1）
的定义域为
，
，
因为
恒成立，所以
单调减区间为
，
.
（2）令
,
或
.
因为
在
单调递减，所以
时，
，
时，
.
且
所以
使得
，
恒成立，只需
即可.
故实数m 的取值范围为
.
19．（23-24 高三上·上海浦东新·阶段练习）某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，
为圆心，半径为千米，点
、
、
都在半圆弧上，设
，
，其中
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．
(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段
、
、
三部分组成，求当
取何值时，参观的线路最
长；
(2)若在花园内的扇形
和四边形
内种满杜鹃花，求当
取何值时，杜鹃花的种植总面积最大．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，利用三角函数把线段
、
、
表示为
的函数，
利用换元和二次函数的性质求取最大值时
的值.
（2）利用扇形面积公式和三角形面积公式，把种植总面积表示为
的函数，利用导数研究单调性，求取最
大值时
的值.
【解析】（1）解：如下图，连接
，则
，
半圆的半径
，在
中，
，即
，
同理可得
，且
，
所以参观路线的长度
，
令
，即
.
由二次函数性质可知，当
时取得最大值，此时
，即
时，参观路线最长.
（2）解：由题知：扇形
的面积
，
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的面积
，
的面积
，
所以杜鹃花的种植总面积
，
，
令
得
或
（舍），因为
，所以
，
，
当
时
，单调递增，当
时
，单调递减，
所以
时，杜鹃花的种植总面积最大.
20．（23-24 高三下·上海·阶段练习）已知函数
，
，
、
．
(1)若
，点
，求过点
与函数
的图象相切的直线方程；
(2)若
，在区间
上
的图象始终在
的上方，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
.
(2)
【分析】（1）设切点为
，利用导数的几何意义表示出切线方程，将点
代入切线方程，
求出
的值，即可求出切线方程；
（2）依题意可得
在
上恒成立，参变分离可得
在
上恒成立，令
，
，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.
【解析】（1）当
时
，又
，则
，
所以
，
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设切点为
，又
，则
，
所以切线方程为
，
所以
，解得
或
，
所以切线方程为
或
.
（2）当
时
，
因为在区间
上
的图象始终在
的上方，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
令
，
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极小值，即最小值，所以
，
所以
，即实数
取值范围为
.
21．（23-24 高二下·上海·阶段练习）设函数
与
的定义域为
与
分别为函数
与
的导函数，若存在
，满足
且
，则称函数
与
为“优美函数”．
已知函数
与
．
(1)已知
和
，求证：
和
；
(2)当
时，若函数
与
为“优美函数”，求
的取值范围；
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(3)当
时，已知函数
与
为“优美函数”，求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
.
(3)证明见解析
【分析】（1）根据给出的求导公式结合求导法则可证两个导数公式；
（2）根据题设条件可得
在
上有解，利用导数可求参数的取值范围；
（3）根据题设条件可得
在
上有解，由此可得
，结合反
证法可证
.
【解析】（1）因为
，故
，
因为
，故
.
（2）当
时，
，
，故
，
，
因为函数
与
为“优美函数”，故
在
上有解，
即
在
上有解，若
，则
，
故考虑
在
上有解时
的取值范围，
此时
在
上有解，
设
，故
，
若
，则
，故
在
上为减函数，
17
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，
，故
在
内有唯一零点.
若
，则当
时，
；当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
所以
，故
，故
，
此时
，
，故
在
内有零点，
综上，
或
.
（3）当
时，
在
上有解，
故
在
上有解，设解为
，
则
，故
，
因为
，故
，故
，
故
在
上有解，
设
，其中
，
则
在
内有零点，易知
在
上递增，
所以
，
故
在
上为增函数，故
，
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故
，
整理得到：
，
设
，则
，
若
，
因为
，故
，
整理得到：
，矛盾，
故
.
【点睛】关键点点睛：关于导数背景下方程组的解的存在性问题，注意利用指数、对数的运算性质构建整
体得到变量的初步范围，再根据导数讨论特定方程对应的函数的单调性，从而可得其他变量满足的不等式，
从而得到所需的范围.
一、填空题
1．（2024·上海静安·二模）已知物体的位移
（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系
，
则在时间段
内，物体的瞬时速度为
的时刻
（单位：s）．
【答案】
【分析】可求出导函数
，根据
即可求解．
【解析】由题可得：
，
可得
，又
，
可得
．
故答案为：
．
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2．（2024·上海静安·二模）已知实数
，记
．若函数
在区间
上的最小
值为
，则
的值为 ．
【答案】3
【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解．
【解析】当
时，
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
故
时，
取得最小值
，
解得，
．
故答案为：3．
3．（2024·上海·三模）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面
为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的
高度为y，记矩形截面抵抗矩
．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x
与高y 的最佳之比应为 ．
【答案】
/
【分析】根据题意可知
，利用导数判断单调性和最值，进而可得
结果.
【解析】设圆的直径为
， 则
，即
，
由题意可得：
，则
，
令
时， 解得
；令
时， 解得
；
20
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可知
在
单调递增， 在
单调递减，则
时，
取最大值．
此时
． 所以
故答案为：
.
4．（2024·上海闵行·二模）对于任意的
，且
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】通过构造函数，利用导数分别求
和
的最小值即可.
【解析】设函数
，定义域为R，则
，
当
时，
；当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
最小值为
，
所以当
时，
有最小值1；
设函数
，定义域为
，则
，
当
时，
；当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
最小值为
，
所以当
时，
有最小值1，
不等式
恒成立，则有
，
21
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所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
5．（2023·上海徐汇·三模）对任意数集
，满足表达式为
且值域为
的函数
个数为
.记所有可能的
的值组成集合
，则集合
中元素之和为 .
【答案】643
【分析】根据给定条件，探讨函数
的性质并作出图象，求出集合B，进而求得答案作答.
【解析】
，当
或
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，函数
取得极大值0，当
时，该函数取得极小值
，图象如图：
观察图象知，当
与图像有一个公共点时，相应的
有1 种取法；
当
与图像有两个公共点时，相应的
有
种取法；
当
与图像有三个公共点时，相应的
有
种取法，
直线
与函数图象的交点个数可能的取值如下：
，
对应的函数个数为
，
.
所以集合
中元素之和为643.
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故答案为：643
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的
其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
二、单选题
6．（2024·上海·三模）在区间
上，
是函数
在该区间严格增的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】
在该区间严格增
,选出答案.
【解析】
在该区间严格增
，即
可能会在该区间内存在导数为0 的情况，
比如
在R 上单调递增，且
，
故
是函数
在该区间严格增的充分不必要条件.
故选：A
7．（2024·上海金山·二模）设
，有如下两个命题：
①函数
的图象与圆
有且只有两个公共点；
②存在唯一的正方形
，其四个顶点都在函数
的图象上．
则下列说法正确的是（ ）．
A．①正确，②正确
B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确
D．①不正确，②不正确
【答案】B
【分析】对①：结合函数性质与图象判断即可得；对②：由曲线的对称性，可得要使得正方形存在，则
为等腰直角三角形，利用极限思想可得至少存在两个正方形.
【解析】对①：令
，
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当
时，
，当
时，
，
则
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
函数
的图象与圆
的图象如图所示：
故函数
的图象与圆
有且只有两个公共点，故①正确；
对②：由
，
故要使得正方形存在，则
为等腰直角三角形，
显然，当
时，
，
点
在函数图像外侧，则
，此时
；
利用极限思想，
时，
，此时
；
时，
，此时
，如图所示，
故至少两个正方形， 故②错误.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：结论②需注意使用极限思想，从而得到至少两个正方形.
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三、解答题
8．（2024·上海·模拟预测）设定义域为
的函数
在
上可导，导函数为
.若区间
及实数
满足：
对任意
成立，则称函数
为
上的“
函数”.
(1)判断
是否为
上的
函数，说明理由；
(2)若实数满足：
为
上的
函数，求的取值范围；
(3)已知函数
存在最大值．对于：
：对任意
与
恒成立，
：对任意正整
数
都是
上的
函数，问：
是否为
的充分条件？
是否为
的必要条件？证明你的结
论.
【答案】(1)是；理由见解析
(2)
且
．
(3)是，是，证明见解析
【分析】（1）根据
函数的定义求解可得；
（2）由题意可得
，即
，令
，求出
的单调性即可
求出
，再由
求出
，即可得出答案.
（3）先推导出
为
的充分条件，若
成立，即对任意正整数
，有：
②，记
函数
的最大值为
．用反证法证明
与
恒成立，从而可证明
也为
的必要条件．
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【解析】（1）因为
，根据题意可知，
等价于
在
时恒成立，
所以
是
上的
函数．
（2）实数满足：
，
即
．①
特别地，在①中取
，可知
，
反之，当
时，①成立．
令
，由于
，且满足
的为离散的数，
故
为严格减函数，又
，所以
．
又
．
从而的取值范围是：
且
．
（3）若
成立，则对任意正整数
，有：
，
即
为
上的
函数，
成立．故
为
的充分条件．
若
成立，即对任意正整数
，有：
②，
记函数
的最大值为
．
先证明
恒成立．
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反证法，假如存在
使得
，则取正整数
，使得
，
此时有
，与②矛盾．
这意味着
为
上的严格减函数．
再证明
恒成立．
取
为
的一个最大值点，
则当
时，由单调性知
，但
，
所以
，
于是
．
对任意
，可取一个与
有关的正整数
，使得
，
由②知：
．
于是
成立．故
也为
的必要条件．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
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