文档文本内容
2020 年天水市初中毕业与升学学业考试（中考）试卷
数学
A 卷（100 分）
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的，请把正确的选项选出来）
1.下列四个实数中，是负数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.天水市某网店2020 年父亲节这天的营业额为341000 元，将数341000 用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在
面相对面上的汉字是（ ）
A.文
B.羲
C.弘
D.化
4.某小组8 名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42.该组数据的众数、中位数分别
为（ ）
A.40，42
B.42，43
C.42，42
D.42，41
5.如图所示，
、
分别与
相切于
、
两点，点
为
上一点，连接
、
，若
，则
的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.若函数
的图象如图所示，则函数
和
在同一平面直角坐标系中
的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆
测量建筑物的高度，已知标杆
高
，测得
，
，则建筑物
的高是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.若关于
的不等式
只有2 个正整数解，则
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.观察等式：
；
；
；…已知按一定规律排列
的一组数：
，若
，用含
的式子表示这组数据的和是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，共32 分.只要求填写最后结果）
11.分解因式：
_________.
12.一个三角形的两边长分别为2 和5，第三边长是方程
的根，则该三角形的周长为
_______.
13.已知函数
，则自变量
的取值范围是___________.
14.已知
，
，则
的值为_________.
15.如图所示，
是放置在正方形网格中的一个角，则
的值是________.
16.如图所示，若用半径为8，圆心角为
的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥
的底面半径是_________.
17.如图所示，将正方形
放在平面直角坐标系中，
是坐标原点，点
的坐标为
，则点
的
坐标为_________.
18.如图，在边长为6 的正方形
内作
，
交
于点
，
交
于点
，连接
，将
绕点
顺时针旋转
得到
.若
，则
的长为__________.
三、解答题（本大题共3 小题，共28 分.解答时写出必要的文字说明及演算过程）
19.（1）计算：
.
（2）先化简，再求值：
，其中
.
20.为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了
调查统计.将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不
完整的统计图.
请结合图中的信息，解决下列问题：
（1）此次调查中接受调查的人数为__________人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为__________度；
（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4 位市民中随机选择2 位进行回访，已知这4 位市民中有
2 位男性，2 位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率.
21.如图所示，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于第二、四象限
的点
和点
，过
点作
轴的垂线，垂足为点
，
的面积为4.
（1）分别求出
和
的值；
（2）结合图象直接写出
中
的取值范围；
（3）在
轴上取点
，使
取得最大值时，求出点
的坐标.
B 卷（50 分）
四、解答题（本大题共50 分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）
22.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示，正在执行巡航
任务的海监船以每小时40 海里的速度向正东方向航行，在
处测得灯塔
在北偏东
方向上，继续航
行30 分钟后到达
处，此时测得灯塔
在北偏东
方向上.
（1）求
的度数；
（2）已知在灯塔
的周围25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：
，
）
23.如图，在
中，
，
平分
交
于点
，点
在
上，以点
为圆心，
为半径的圆恰好经过点
，分别交
、
于点
、
.
（1）试判断直线
与
的位置关系，并说明理由；
（2）若
，
，求阴影部分的面积（结果保留
）.
24.性质探究
如图（1），在等腰三角形
中，
，则底边
与腰
的长度之比为_________.
理解运用
（1）若顶角为
的等腰三角形的周长为
，则它的面积为_________；
（2）如图（2），在四边形
中，
.在边
，
上分别取中点
，连接
.若
，
，求线段
的长.
类比拓展
顶角为
的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为__________（用含
的式子表示）
25.天水市某商店准备购进
、
两种商品，
种商品每件的进价比
种商品每件的进价多20 元，用
2000 元购进
种商品和用1200 元购进
种商品的数量相同.商店将
种商品每件的售价定为80 元，
种
商品每件的售价定为45 元.
（1）
种商品每件的进价和
种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560 元的资金购进
、
两种商品共40 件，其中
种商品的数量不低于
种商
品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件
种商品售价优惠
元，
种商
品售价不变，在（2）的条件下，请设计出
的不同取值范围内，销售这40 件商品获得总利润最大的进货
方案.
26.如图所示，抛物线
与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
，且点
的坐标
为
，点
的坐标为
，对称轴为直线
.点
是抛物线上一个动点，设点
的横坐标
为
，连接
，
，
，
.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当
的面积等于
的面积的
时，求
的值；
（3）在（2）的条件下，若点
是
轴上一动点，点
是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点
，
使得以点
为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明
理由.
参考答案
A 卷（100 分）
一、选择题
1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10.A
二、填空题
11.
12.13 13.
且
14.1
15.
16.
17.
18.2
三、解答题
19.解：（1）解：原式
（2）解：原式
当
时，原式
20.解：（1）
（人）
（2）
（图略）
（3）
（4）
21.解：（1）由题意得：
∴
，
又∵反比例函数图象经过第二、四象限
∴
，
当
时，
；当
时，
，解得
（2）
或
（3）∵
关于
轴的对称点为
，
又
，则直线
与
轴的交点即为所求
点.
设直线
的解析式为
则
解得
∴直线
的解析式为
∴直线
与
轴的交点为
.
即点
的坐标为
.
（该题还有其它解法，只要合理，即可给分）
B 卷（50 分）
四、解答题（本大题共50 分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）
22.解：（1）作
交
的延长线于点
则
，
∴
（2）设
海里，则
海里
海里
在
中，
∴
解得：
.
∴海监船继续向正东方向航行安全.
23.解：（1）
与
相切.理由如下：
连接
，∵
平分
，∴
又∵
，∴
∴
∴
∴
又∵
为
的半径，
∴
与
相切.
（该题还有其它证法，按正确解答给分即可）.
（2）设
的半径为
，则
，
，
由（1）知
，在
中，
，
即
.解得
.
∵
∴
.
∴
24.解：性质探究
（或
）
解法提示：过点
作
于点
，
∵
是等腰三角形，
∴
，
，
∴
∴
理解运用（1）
（2）解：∵
，
∴
又∵
，
∴
连接
，∵
∴
为顶角为
的等腰三角形
∴
.
∵
、
分别为
、
的中点，
∴
为
的中位线
∴
.
类比拓展
（或
）
25.解：（1）设
种商品每件的进价为
元，
种商品每件的进价为
元.
依题意得
，解得
，
经检验
是原方程的解且符合题意
当
时，
.
答：
种商品每件的进价为50 元，
种商品每件的进价为30 元；
（2）设购进
种商品
件，购进
种商品
件，
依题意得
解得
，
∵
为整数∴
.
∴该商店有5 种进货方案；
（3）设销售
、
两种商品总获利
元，
则
.
①当
时，
，
与
的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600 元；
②当
时，
，
随
的增大而增大，
∴当
时，获利最大，即在（2）的条件下，购进
种商品18 件，购进
种商品22 件，获利最大；
③当
时，
，
随
的增大而减小，∴当
时，获利最大，
即在（2）的条件下，购进
种商品14 件，购进
种商品26 件，获利最大.
26.解：（1）由题意得
，解得
故抛物线的函数表达式为
（2）过点
作
轴于点
，交
于点
，过点
作
交
的延长线于点
.
∵点
的坐标为
，∴
∵点
的坐标为
∴
∴
∴
当
时，
，
解得
，
.∴
设直线
的函数表达式为
则
，解得
，
∴直线
的函数表达式为
.
则点
的坐标为
，点
的坐标为
，
∴
∵点
的坐标为
，∴
.
∴
.
则有
解得
（不合题意，舍去），
.
∴
的值为3.
（该题还有其它解法，按正确解答给分即可）
（3）存在，点
的坐标为
，
，
，
解法提示：在
中，
当
时，
，∴
.
分三种情况讨论：
①当
为对角线时，如图（1），
易知点
与点
关于直线
对称.
∴
，
，∴
，
又∵
，∴
②当
为对角线时，如图（2），
，
，∴
.
又∵
，∴
③当
为对角线时，∵
，易知点
的纵坐标为
.
将
代入
中，得
，
解得
，
.
当
时，点
的位置如图（3）所示，则
分别过点
作
轴的垂线，垂足分别为点
，易证
.
∵
，∴
，
又∵
，∴
当
时，点
的位置如图（4）所示，则
.
同理易得点
的坐标为
综上所述，点
的坐标为
，
，
，
.
