文档文本内容
2020 年辽宁省营口市中考数学试卷
一．选择题（共10 小题）
1．﹣6 的绝对值是（ ）
A．6
B．﹣6
C．
D．﹣
2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6
B．xy2﹣
xy2＝
xy2
C．（x+y）2＝x2+y2
D．（2xy2）2＝4xy4
4．如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB 的角平分线EG 交CD 于点G，则∠GEB 的度数
为
（ ）
A．66°
B．56°
C．68°
D．58°
5．反比例函数y＝
（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．如图，在△ABC 中，DE∥AB，且
＝
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，AB 为⊙O 的直径，点C，点D 是⊙O 上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB
＝40°，则∠ADC 的度数是（ ）
A．110°
B．130°
C．140°
D．160°
8．一元二次方程x2﹣5x+6＝0 的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3
B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
D．x1＝2，x2＝3
9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环
以上”的次
数
18
68
82
168
327
823
“射中九环
以上”的频
率（结果保
留两位小
数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90
B．0.82
C．0.85
D．0.84
10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的边OA 在x 轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO
＝AB，点C 为斜边OB 的中点，反比例函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象过点C 且交线
段AB 于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝
，则k 的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．1
二．填空题（共8 小题）
11．ax2﹣2axy+ay2＝ ．
12．长江的流域面积大约是1800000 平方千米，1800000 用科学记数法表示为 ．
13．（3
+
）（3
﹣
）＝ ．
14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成
绩都是87.9 分，方差分别是S 甲2＝3.83，S 乙2＝2.71，S 丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一
人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 ．
15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 ．
16．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形
ABCD 的面积为 ．
17．如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E 和点F 分别是线
段AD 和AB 上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF 的最小值为 ．
18．如图，∠MON＝60°，点A1 在射线ON 上，且OA1＝1，过点A1 作A1B1⊥ON 交射线
OM 于点B1，在射线ON 上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2 作A2B2⊥ON 交射线
OM 于点B2，在射线ON 上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则
A2020B2020长为 ．
三．解答题
19.先化简，再求值：（
﹣x）÷
，请在0≤x≤2 的范围内选一个合适的整数代入求
值．
20.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫
志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就
餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报
名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
21.“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”
的看法，随机调查了200 名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果
分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调
查结果绘制了图1 和图2 两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列
问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为 ；
（3）该校共有2500 名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很
有必要”的学生人数．
22.如图，海中有一个小岛A，它周围10 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B
点测得小岛A 在北偏西60°方向上，航行12 海里到达C 点，这时测得小岛A 在北偏西
30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．
（参考数据：
≈1.73）
23.如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，BO 为△ABC 的角平分线，以点O 为圆心，OC 为半径
作⊙O 与线段AC 交于点D．
（1）求证：AB 为⊙O 的切线；
（2）若tanA＝
，AD＝2，求BO 的长．
24.某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16 元，当销售
单价定为20 元时，每天可售出80 瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：
销售单价每降低0.5 元，则每天可多售出20 瓶（销售单价不低于成本价），若设这款
“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利
润为多少元？
25.如图，在矩形ABCD 中，AD＝kAB（k＞0），点E 是线段CB 延长线上的一个动点，连
接AE，过点A 作AF⊥AE 交射线DC 于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF 与AE 之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF 与AE 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k
的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD 交AF 于点G，连接EG，当CF＝1 时，求EG 的长．
26.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3 过点A（﹣3，0），B（1，0），与y 轴交
于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 为直线CD 上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐
标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P 在x 轴上方，连接PA 交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M 在第三象
限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M 的坐标．
2020 年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题）
1．﹣6 的绝对值是（ ）
A．6
B．﹣6
C．
D．﹣
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值．
【解答】解：|﹣6|＝6，
故选：A．
2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得俯视图：
．
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6
B．xy2﹣
xy2＝
xy2
C．（x+y）2＝x2+y2
D．（2xy2）2＝4xy4
【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则分别
进行计算后，可得到正确答案．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、xy2﹣
xy2＝
xy2，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（2xy2）2＝4xy4，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB 的角平分线EG 交CD 于点G，则∠GEB 的度数
为
（ ）
A．66°
B．56°
C．68°
D．58°
【分析】根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG 平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
5．反比例函数y＝
（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和x 的取值范围，可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝
（x＜0）中，k＝1＞0，
∴该函数图象在第三象限，
故选：C．
6．如图，在△ABC 中，DE∥AB，且
＝
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴
＝
＝
，
∴
的值为
，
故选：A．
7．如图，AB 为⊙O 的直径，点C，点D 是⊙O 上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB
＝40°，则∠ADC 的度数是（ ）
A．110°
B．130°
C．140°
D．160°
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆
的内接四边形的性质求∠ADC 的度数．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
8．一元二次方程x2﹣5x+6＝0 的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3
B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
D．x1＝2，x2＝3
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0 或x﹣3＝0，
所以x1＝2，x2＝3．
故选：D．
9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环
以上”的次
数
18
68
82
168
327
823
“射中九环
以上”的频
率（结果保
留两位小
数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90
B．0.82
C．0.85
D．0.84
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82 左右即可得出结论．
【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82 附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的边OA 在x 轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO
＝AB，点C 为斜边OB 的中点，反比例函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象过点C 且交线
段AB 于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝
，则k 的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．1
【分析】根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（
，
），D（m，
m），然后
根据S△COD＝S△COE+S 梯形ADCE﹣S△AOD＝S 梯形ADCE，得到
（
+
）•（m﹣
m）＝
，
即可求得k＝
＝2．
【解答】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），
∵点C 为斜边OB 的中点，
∴C（
，
），
∵反比例函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象过点C，
∴k＝
•
＝
，
∵∠OAB＝90°，
∴D 的横坐标为m，
∵反比例函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象过点D，
∴D 的纵坐标为
，
作CE⊥x 轴于E，
∵S△COD＝S△COE+S 梯形ADCE﹣S△AOD＝S 梯形ADCE，S△OCD＝
，
∴
（AD+CE）•AE＝
，即
（
+
）•（m﹣
m）＝
，
∴
＝1，
∴k＝
＝2，
故选：C．
二．填空题（共8 小题）
11．ax2﹣2axy+ay2＝
a （
x ﹣
y ）
2
．
【分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：ax2﹣2axy+ay2
＝a（x2﹣2xy+y2）
＝a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
12．长江的流域面积大约是1800000 平方千米，1800000 用科学记数法表示为
1.8×10
6
．
【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n，可得答案．
【解答】解：将1800000 用科学记数法表示为 1.8×106，
故答案为：1.8×106．
13．（3
+
）（3
﹣
）＝
12
．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝（3
）2﹣（
）2
＝18﹣6
＝12．
故答案为：12．
14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成
绩都是87.9 分，方差分别是S 甲2＝3.83，S 乙2＝2.71，S 丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一
人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 丙 ．
【分析】再平均数相等的前提下，方差越小成绩越稳定，据此求解可得．
【解答】解：∵平均成绩都是87.9 分，S 甲2＝3.83，S 乙2＝2.71，S 丙2＝1.52，
∴S 丙2＜S 乙2＜S 甲2，
∴丙选手的成绩更加稳定，
∴适合参加比赛的选手是丙，
故答案为：丙．
15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为
15
π
．
【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积
公式代入求出即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，
故答案为：15π
16．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形
ABCD 的面积为
4
．
【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
【解答】解：∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD 的面积为
×2×4＝4．
故答案为：4．
17．如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E 和点F 分别是线
段AD 和AB 上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF 的最小值为
3
．
【分析】过C 作CF⊥AB 交AD 于E，则此时，CE+EF 的值最小，且CE+EF 的最小值＝
CF，根据等边三角形的性质得到BF＝
AB＝
6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过C 作CF⊥AB 交AD 于E，
则此时，CE+EF 的值最小，且CE+EF 的最小值＝CF，
∵△ABC 为等边三角形，边长为6，
∴BF＝
AB＝
6＝3，
∴CF＝
＝
＝3
，
∴CE+EF 的最小值为3
，
故答案为：3
．
18．如图，∠MON＝60°，点A1 在射线ON 上，且OA1＝1，过点A1 作A1B1⊥ON 交射线
OM 于点B1，在射线ON 上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2 作A2B2⊥ON 交射线
OM 于点B2，在射线ON 上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则
A2020B2020长为
（
1+
）
2019
．
【分析】解直角三角形求出A1B1，A2B2，A3B3，…，探究规律利用规律即可解决问题．
【解答】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°＝
，
∵A1B1∥A2B2，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴A2B2＝
（1+
），
同法可得，A3B3＝
（1+
）2，
…
由此规律可知，A2020B2020＝
（1+
）2019，
故答案为
（1+
）2019．
三．解答题
19.先化简，再求值：（
﹣x）÷
，请在0≤x≤2 的范围内选一个合适的整数代入求
值．
【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．
【专题】11：计算题；513：分式；66：运算能力．
【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取x 的值，代
入求值即可．
【解答】解：原式＝
•
＝
•
＝﹣2﹣x．
∵x≠1，x≠2，
∴在0≤x≤2 的范围内的整数选x＝0．
当x＝0 时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．
20.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫
志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就
餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报
名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为
；
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．
【专题】543：概率及其应用；69：应用意识．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16 种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督
岗的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝
；
故答案为：
；
（2）画树状图为：
共有16 种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝
＝
．
21.“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”
的看法，随机调查了200 名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果
分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调
查结果绘制了图1 和图2 两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列
问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为
18°
；
（3）该校共有2500 名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很
有必要”的学生人数．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【专题】54：统计与概率；65：数据分析观念．
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出A 组的人数，然后再根据条形统
计图中的数据，即可得到C 组的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中D 组的人数，可以计算出扇形统计图中“D．没有必要”所在
扇形的圆心角度数；
（3）根据扇形统计图中A 组所占的百分比，即可计算出该校对“生活垃圾分类”认为
“A．很有必要”的学生人数．
【解答】解：（1）A 组学生有：200×30%＝60（人），
C 组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人），
补全的条形统计图，如右图所示；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°×
＝18°，
故答案为：18°；
（3）2500×30%＝750（人），
答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750 人．
22.如图，海中有一个小岛A，它周围10 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B
点测得小岛A 在北偏西60°方向上，航行12 海里到达C 点，这时测得小岛A 在北偏西
30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．
（参考数据：
≈1.73）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】31：数形结合；554：等腰三角形与直角三角形；55E：解直角三角形及其应用；
64：几何直观；68：模型思想；69：应用意识．
【分析】作高AN，由题意可得∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，进而得出∠ABC＝∠BAC＝
30°，于是AC＝BC＝12，在在Rt△ANC 中，利用直角三角形的边角关系，求出AN 与
10 海里比较即可．
【解答】 解：没有触礁的危险；
理由：如图，过点A 作AN⊥BC 交BC 的延长线于点N，
由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝12，
在Rt△ANC 中，AN＝AC•cos60°＝12×
＝6
，
∵AN＝6
≈10.38＞10，
∴没有危险．
23.如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，BO 为△ABC 的角平分线，以点O 为圆心，OC 为半径
作⊙O 与线段AC 交于点D．
（1）求证：AB 为⊙O 的切线；
（2）若tanA＝
，AD＝2，求BO 的长．
【考点】KF：角平分线的性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定
与性质；T7：解直角三角形．
【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力．
【分析】（1）过O 作OH⊥AB 于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，根据切线的
判定定理即可得到结论；
（2）设⊙O 的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，在解直角三角形即可得到结论．
【解答】 （1）证明：过O 作OH⊥AB 于H，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BO 为△ABC 的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC，
即OH 为⊙O 的半径，
∵OH⊥AB，
∴AB 为⊙O 的切线；
（2）解：设⊙O 的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
在Rt△AOH 中，∵tanA＝
，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴AH＝4x，
∴AO＝
＝
＝5x，
∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2，
∴3x+2＝5x，
∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，
在Rt△ABC 中，∵tanA＝
，
∴BC＝AC•tanA＝8×
＝6，
∴OB＝
＝
＝3
．
24.某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16 元，当销售
单价定为20 元时，每天可售出80 瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：
销售单价每降低0.5 元，则每天可多售出20 瓶（销售单价不低于成本价），若设这款
“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利
润为多少元？
【考点】HE：二次函数的应用．
【专题】124：销售问题；533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；
536：二次函数的应用；66：运算能力；69：应用意识．
【分析】（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5 元，则每天可多售出20 瓶（销
售单价不低于成本价），则
为降低了多少个0.5 元，再乘以20 即为多售出的瓶数，
然后加上80 即可得出每天的销售量y；
（2）设每天的销售利润为w 元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w
关于x 的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×
，
∴y＝﹣40x+880；
（2）设每天的销售利润为w 元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19 时，w 有最大值，最大值为360 元．
答：当销售单价为19 元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润
为880 元．
25.如图，在矩形ABCD 中，AD＝kAB（k＞0），点E 是线段CB 延长线上的一个动点，连
接AE，过点A 作AF⊥AE 交射线DC 于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF 与AE 之间的数量关系是
AF
＝
AE
；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF 与AE 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k
的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD 交AF 于点G，连接EG，当CF＝1 时，求EG 的长．
【考点】SO：相似形综合题．
【专题】152：几何综合题；556：矩形 菱形 正方形；55D：图形的相似；66：运算能
力；67：推理能力．
【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE；
（2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出
，则可得出结论；
（3）①如图1，当点F 在DA 上时，证得△GDF∽△GBA，得出
，求出AG
＝
．由△ABE∽△ADF 可得出
＝
，求出AE＝
．则可得
出答案；
②如图2，当点F 在DC 的延长线上时，同理可求出EG 的长．
【解答】解：（1）AE＝AF．
∵AD＝AB，四边形ABCD 矩形，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（AAS），
∴AF＝AE；
故答案为：AF＝AE．
（2）AF＝kAE．
证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴
，
∵AD＝kAB，
∴
，
∴
，
∴AF＝kAE．
（3）解：①如图1，当点F 在DA 上时，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．
在Rt△ADF 中，∠ADF＝90°，
∴AF＝
＝
＝
，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴
，
∵AF＝GF+AG，
∴AG＝
．
∵△ABE∽△ADF，
∴
＝
，
∴AE＝
＝
．
在Rt△EAG 中，∠EAG＝90°，
∴EG＝
＝
＝
，
②如图2，当点F 在DC 的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
在Rt△ADF 中，∠ADF＝90°，
∴AF＝
＝
＝5．
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴
＝
，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴
，
∴AE＝
，
在Rt△EAG 中，∠EAG＝90°，
∴EG＝
＝
＝
．
综上所述，EG 的长为
或
．
26.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3 过点A（﹣3，0），B（1，0），与y 轴交
于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 为直线CD 上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐
标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P 在x 轴上方，连接PA 交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M 在第三象
限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M 的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题；65：数据分析观念．
【分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；
（2）①分点P（P′）在点C 的右侧、点P 在点C 的左侧两种情况，分别求解即可；
②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M 在抛物线上和
AR＝NR，列出等式即可求解．
【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D 的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D 的坐标知，直线CD 的表达式为：y＝x﹣3；
tan∠BCO＝
，则cos∠BCO＝
；
①当点P（P′）在点C 的右侧时，
∵∠PAB＝∠BCO，
故P′B∥y 轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P 在点C 的左侧时，
设直线PB 交y 轴于点H，过点H 作HN⊥BC 于点N，
∵∠PAB＝∠BCO，
∴△BCH 为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×
＝
，
解得：CH＝
，则OH＝3﹣CH＝
，故点H（0，﹣
），
由点B、H 的坐标得，直线BH 的表达式为：y＝
x﹣
②，
联立①②并解得：
，
故点P 的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝
，
故设直线AP 的表达式为：y＝
x+s，将点A 的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP 的表达式为：y＝
x+1，
联立①③并解得：
，故点N（
，
）；
设△AMN 的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R 的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M 的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣
）2+（
）2④，
联立③④并解得：
，
故点M（﹣
，﹣
）．
