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2020 年贵州省铜仁市中考数学试卷
一．选择题（共10 小题）
1．﹣3 的绝对值是（ ）
A．﹣3
B．3
C．
D．﹣
2．我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020 年底，高铁总里程大约39000 千米，
39000 用科学记数法表示为（ ）
A．39×103
B．3.9×104
C．3.9×10﹣4
D．39×10﹣3
3．如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
A．70°
B．100°
C．110°
D．120°
4．一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
5．已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30 和15，且FH＝6，则EA 的长为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．5
6．实数a，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b
B．﹣a＜b
C．a＞﹣b
D．﹣a＞b
7．已知等边三角形一边上的高为2
，则它的边长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．4
8．如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D，
设点P 运动的路程为x，△ADP 的面积为y，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知m、n、4 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n 是关于x 的一元
二次方程x2﹣6x+k+2＝0 的两个根，则k 的值等于（ ）
A．7
B．7 或6
C．6 或﹣7
D．6
10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F 在射
线AM 上，且AF＝
，过点F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H，CF 与AD 相交于
点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF 的面积为
；②△AEG 的周长为8；
③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①③
C．①②
D．②③
二．填空题（共8 小题）
11．因式分解：a2+ab﹣a＝ ．
12．方程2x+10＝0 的解是 ．
13．已知点（2，﹣2）在反比例函数y＝
的图象上，则这个反比例函数的表达式是
．
14．函数y＝
中，自变量x 的取值范围是 ．
15．从﹣2，﹣1，2 三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概
率等于 ．
16．设AB，CD，EF 是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB 与CD 的距离是12cm，
EF 与CD 的距离是5cm，则AB 与EF 的距离等于 cm．
17．如图，在矩形ABCD 中，AD＝4，将∠A 向内翻析，点A 落在BC 上，记为A1，折痕为
DE．若将∠B 沿EA1向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B1，则AB＝ ．
18．观察下列等式：
2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
2+22+23+24+25＝26﹣2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝
m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝ （结果用含m 的代数式表示）．
三．解答题（共7 小题）
19．（1）计算：2÷
﹣（﹣1）2020﹣
﹣（
﹣
）0．
（2）先化简，再求值：（a+
）÷（
），自选一个a 值代入求值．
20．如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
21．某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人
必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学
校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不
完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的
数据）；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）若该校共有2000 名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少
人？
22．如图，一艘船由西向东航行，在A 处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续
航行60km 到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上，已知在灯塔C 的周围47km
内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
23．某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每
一个篮球的进价的90%，用3600 元购买排球的个数要比用3600 元购买篮球的个数多10
个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100 个，且排球个数不低于篮球个数的3 倍，
篮球的售价定为每一个100 元，排球的售价定为每一个90 元．若该批篮球、排球都能
卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB
延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若AD＝8，
＝
，求CD 的长．
25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6 经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C 是抛物线与y
轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC 的面积为
S，求S 关于m 的函数表达式（指出自变量m 的取值范围）和S 的最大值；
（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M、点N 使得∠CMN＝
90°，且△CMN 与△OBC 相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．
2020 年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题）
1．﹣3 的绝对值是（ ）
A．﹣3
B．3
C．
D．﹣
【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣3 的绝对值是：3．
故选：B．
2．我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020 年底，高铁总里程大约39000 千米，
39000 用科学记数法表示为（ ）
A．39×103
B．3.9×104
C．3.9×10﹣4
D．39×10﹣3
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值是易错点，由于39000 有5 位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
【解答】解：39000＝3.9×104．
故选：B．
3．如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
A．70°
B．100°
C．110°
D．120°
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．
【解答】解：∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝70°，
∴∠1＝∠2＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
4．一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【分析】对于n 个数x1，x2，…，xn，则＝
（x1+x2+…+xn）就叫做这n 个数的算术平
均数，据此列式计算可得．
【解答】解：这组数据的平均数为
×（4+10+12+14）＝10，
故选：B．
5．已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30 和15，且FH＝6，则EA 的长为（ ）
A．3
B．2
C．4
D．5
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
【解答】解：∵△FHB 和△EAD 的周长分别为30 和15，
∴△FHB 和△EAD 的周长比为2：1，
∵△FHB∽△EAD，
∴
＝2，即
＝2，
解得，EA＝3，
故选：A．
6．实数a，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b
B．﹣a＜b
C．a＞﹣b
D．﹣a＞b
【分析】根据数轴即可判断a 和b 的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方
法进行比较即可求解．
【解答】解：根据数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
则a＜b，﹣a＞b，a＜﹣b，﹣a＞b．
故选：D．
7．已知等边三角形一边上的高为2
，则它的边长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．4
【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．
【解答】解：根据等边三角形：三线合一，
设它的边长为x，可得：
，
解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），
故选：C．
8．如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D，
设点P 运动的路程为x，△ADP 的面积为y，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7 时函数表达式，即可求解．
【解答】解：由题意当0≤x≤4 时，
y＝
×AD×AB＝
×3×4＝6，
当4＜x＜7 时，
y＝
×PD×AD＝
×（7﹣x）×4＝14﹣2x．
故选：D．
9．已知m、n、4 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n 是关于x 的一元
二次方程x2﹣6x+k+2＝0 的两个根，则k 的值等于（ ）
A．7
B．7 或6
C．6 或﹣7
D．6
【分析】当m＝4 或n＝4 时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n 时，即△＝
（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【解答】解：当m＝4 或n＝4 时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n 时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k 的值等于6 或7，
故选：B．
10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F 在射
线AM 上，且AF＝
，过点F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H，CF 与AD 相交于
点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF 的面积为
；②△AEG 的周长为8；
③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①③
C．①②
D．②③
【分析】先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE
（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF 是等腰直角三角形，再用勾股
定理求出EC2＝17，即可得出①正确；
先判断出四边形APFH 是矩形，进而判断出矩形AHFP 是正方形，得出AP＝PH＝AH＝
1，同理：四边形ABQP 是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出
△FPG∽△FQC，得出
，求出PG＝
，再根据勾股定理求得EG＝
，即
△AEG 的周长为8，判断出②正确；
先求出DG＝
，进而求出DG2+BE2＝
，在求出EG2
≠
，判断出③错误，
即可得出结论．
【解答】解：如图，在正方形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝
90°，
∴∠HAD＝90°，
∵HF∥AD，
∴∠H＝90°，
∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，
∴∠AFH＝∠HAF．
∵AF＝
，
∴AH＝HF＝1＝BE．
∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，
∴△EHF≌△CBE（SAS），
∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴HEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
在Rt△CBE 中，BE＝1，BC＝4，
∴EC2＝BE2+BC2＝17，
∴S△ECF＝
EF•EC＝
EC2＝
，故①正确；
过点F 作FQ⊥BC 于Q，交AD 于P，
∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，
∴四边形APFH 是矩形，
∵AH＝HF，
∴矩形AHFP 是正方形，
∴AP＝PH＝AH＝1，
同理：四边形ABQP 是矩形，
∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，
∵AD∥BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴
，
∴
，
∴PG＝
，
∴AG＝AP+PG＝
，
在Rt△EAG 中，根据勾股定理得，EG＝
＝
，
∴△AEG 的周长为AG+EG+AE＝
+
+3＝8，故②正确；
∵AD＝4，
∴DG＝AD﹣AG＝
，
∴DG2+BE2＝
+1＝
，
∵EG2＝（
）2＝
≠
，
∴EG2≠DG2+BE2，故③错误，
∴正确的有①②，
故选：C．
二．填空题（共8 小题）
11．因式分解：a2+ab﹣a＝
a （
a + b ﹣
1 ）
．
【分析】原式提取公因式即可．
【解答】解：原式＝a（a+b﹣1）．
故答案为：a（a+b﹣1）．
12．方程2x+10＝0 的解是
x ＝﹣
5
．
【分析】方程移项，把x 系数化为1，即可求出解．
【解答】解：方程2x+10＝0，
移项得：2x＝﹣10，
解得：x＝﹣5．
故答案为：x＝﹣5．
13．已知点（2，﹣2）在反比例函数y＝
的图象上，则这个反比例函数的表达式是
y ＝
﹣
．
【分析】把点（2，﹣2）代入反比例函数y＝
（k≠0）中求出k 的值，从而得到反比
例函数解析式．
【解答】解：∵反比例函数y＝
（k≠0）的图象上一点的坐标为（2，﹣2），
∴k＝﹣2×2＝﹣4，
∴反比例函数解析式为y＝﹣
，
故答案为：y＝﹣
．
14．函数y＝
中，自变量x 的取值范围是
x ≥
2
．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x
的范围．
【解答】解：2x﹣4≥0
解得x≥2．
15．从﹣2，﹣1，2 三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概
率等于
．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概
率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下
共有6 种等可能情况，该点在第三象限的情况数有（﹣2，﹣1）和（﹣1，﹣2）这2 种
结果，
∴该点在第三象限的概率等于
＝
，
故答案为：
．
16．设AB，CD，EF 是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB 与CD 的距离是12cm，
EF 与CD 的距离是5cm，则AB 与EF 的距离等于
7 或
17
cm．
【分析】分两种情况讨论，EF 在AB，CD 之间或EF 在AB，CD 同侧，进而得出结论．
【解答】解：分两种情况：
①当EF 在AB，CD 之间时，如图：
∵AB 与CD 的距离是12cm，EF 与CD 的距离是5cm，
∴EF 与AB 的距离为12﹣5＝7（cm）．
②当EF 在AB，CD 同侧时，如图：
∵AB 与CD 的距离是12cm，EF 与CD 的距离是5cm，
∴EF 与AB 的距离为12+5＝17（cm）．
综上所述，EF 与AB 的距离为7cm 或17cm．
故答案为：7 或17．
17．如图，在矩形ABCD 中，AD＝4，将∠A 向内翻析，点A 落在BC 上，记为A1，折痕为
DE．若将∠B 沿EA1向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B1，则AB＝
．
【分析】依据△A1DB1≌△A1DC（AAS），即可得出A1C＝A1B1，再根据折叠的性质，
即可得到A1C＝
BC＝2，最后依据勾股定理进行计算，即可得到CD 的长，即AB 的长．
【解答】解：由折叠可得，A1D＝AD＝4，∠A＝∠EA1D＝90°，∠BA1E＝∠B1A1E，BA1
＝B1A1，∠B＝∠A1B1E＝90°，
∴∠EA1B1+∠DA1B1＝90°＝∠BA1E+∠CA1D，
∴∠DA1B1＝∠CA1D，
又∵∠C＝∠A1B1D，A1D＝A1D，
∴△A1DB1≌△A1DC（AAS），
∴A1C＝A1B1，
∴BA1＝A1C＝
BC＝2，
∴Rt△A1CD 中，CD＝
＝
，
∴AB＝
，
故答案为：
．
18．观察下列等式：
2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
2+22+23+24+25＝26﹣2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝
m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝
m （
2 m ﹣
1 ）
（结果用含m 的代数式表
示）．
【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝
220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再将220＝m 代入即可求解．
【解答】解：∵220＝m，
∴220+221+222+223+224+…+238+239+240
＝220（1+2+22+…+219+220）
＝220（1+221﹣2）
＝m（2m﹣1）．
故答案为：m（2m﹣1）．
三．解答题（共7 小题）
19．（1）计算：2÷
﹣（﹣1）2020﹣
﹣（
﹣
）0．
（2）先化简，再求值：（a+
）÷（
），自选一个a 值代入求值．
【分析】（1）原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则
计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，
约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1
＝4﹣1﹣2﹣1
＝0；
（2）原式＝
•
＝
•
＝﹣
，
当a＝0 时，原式＝﹣3．
20．如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理
ASA，进而得出答案．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
21．某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人
必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学
校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不
完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的
数据）；
（2）m＝
36
，n＝
16
；
（3）若该校共有2000 名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少
人？
【分析】（1）根据选择书法的学生人数和所占的百分比，可以求得该校参加这次问卷
调查的学生人数，然后根据扇形统计图中选择篮球的占28%，即可求得选择篮球的学生
人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据和（1）中的结果，可以得到m、n 的值；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多
少人．
【解答】解：（1）该校参加这次问卷调查的学生有：20÷20%＝100（人），
选择篮球的学生有：100×28%＝28（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）m%＝
×100%＝36%，
n%＝
×100%＝16%，
故答案为：36，16；
（3）2000×16%＝320（人），
答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320 人．
22．如图，一艘船由西向东航行，在A 处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续
航行60km 到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上，已知在灯塔C 的周围47km
内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
【分析】过C 作CD⊥AB 于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA＝30°，
∠ACD＝60°，证∠ACB＝30°＝∠BCA，根据等角对等边得出BC＝AB＝12，然后解
Rt△BCD，求出CD 即可．
【解答】解：过点C 作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：
根据题意可知∠BAC＝90°﹣30°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，
∴∠BAC＝30°＝∠ACB，
∴BC＝AB＝60km，
在Rt△BCD 中，∠CDB＝90°，∠BDC＝60°，sin∠BCD＝
，
∴sin60°＝
，
∴CD＝60×sin60°＝60×
＝30
（km）＞47km，
∴这艘船继续向东航行安全．
23．某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每
一个篮球的进价的90%，用3600 元购买排球的个数要比用3600 元购买篮球的个数多10
个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100 个，且排球个数不低于篮球个数的3 倍，
篮球的售价定为每一个100 元，排球的售价定为每一个90 元．若该批篮球、排球都能
卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）设每一个篮球的进价是x 元，则每一个排球的进价是90%x 元，根据用
3600 元购买排球的个数要比用3600 元购买篮球的个数多10 个列出方程，解之即可得出
结论；
（2）设文体商店计划购进篮球m 个，总利润y 元，根据题意用m 表示y，结合m 的取
值范围和m 为整数，即可得出获得最大利润的方案．
【解答】解：（1）设每一个篮球的进价是x 元，则每一个排球的进价是90%x 元，依题
意有
+10＝
，
解得x＝40，
经检验，x＝40 是原方程的解，
90%x＝90%×40＝36．
故每一个篮球的进价是40 元，每一个排球的进价是36 元；
（2）设文体商店计划购进篮球m 个，总利润y 元，则
y＝（100﹣40）m+（90﹣36）（100﹣m）＝6m+5400，
依题意有
，
解得0＜m≤25 且m 为整数，
∵m 为整数，
∴y 随m 的增大而增大，
∴m＝25 时，y 最大，这时y＝6×25+5400＝5550，
100﹣25＝75（个）．
故该文体商店应购进篮球25 个、排球75 个才能获得最大利润，最大利润是5550 元．
24．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB
延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若AD＝8，
＝
，求CD 的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝
∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到
∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanA＝
＝tan∠BCE＝
＝
，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴
＝
＝
，
∵AD＝8，
∴CD＝4．
25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6 经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C 是抛物线与y
轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC 的面积为
S，求S 关于m 的函数表达式（指出自变量m 的取值范围）和S 的最大值；
（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M、点N 使得∠CMN＝
90°，且△CMN 与△OBC 相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．
【分析】（1）根据点A、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P 作PF∥y 轴，交BC 于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C
的坐标，根据点B、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，设点P 的坐
标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F 的坐标为（m，﹣2m+6），进而可得出PF 的长度，
利用三角形的面积公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出
△PBC 面积的最大值；
（3）分两种不同情况，当点M 位于点C 上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性
质得出方程，求出点M，点N 的坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
（2）过点P 作PF∥y 轴，交BC 于点F，如图1 所示．
当x＝0 时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C 的坐标为（0，6）．
设直线BC 的解析式为y＝kx+c，
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
，解得：
，
∴直线BC 的解析式为y＝﹣2x+6．
设点P 的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F 的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴S△PBC＝
PF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣
）2+
，
∴当m＝
时，△PBC 面积取最大值，最大值为
．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
（3）存在点M、点N 使得∠CMN＝90°，且△CMN 与△OBC 相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M 位于点C 上方，过点M 作MD⊥y 轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN 与△OBC 相似，则△MCD 与△NCM 相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当
时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴
，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND＝
DM＝
，
∴N（0，
），
当
时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴
，
解得a＝
，
∴M（
，
），
此时N（0，
）．
如图3，当点M 位于点C 的下方，
过点M 作ME⊥y 轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：
或
＝2，△CMN 与△OBC 相似，
解得a＝
或a＝3，
∴M（
，
）或M（3，0），
此时N 点坐标为（0，
）或（0，﹣
）．
综合以上得，M（1，8），N（0，
）或M（
，
），N（0，
）或M（
，
），N（0，
）或M（3，0），N（0，﹣
），使得∠CMN＝90°，且△CMN 与△OBC
相似．
