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山东省青岛市2020 年中考数学真题
（考试时间：120 分钟；满分：120 分）
说明：
1．本试题分第I 卷和第II 卷两部分，共24 题，第I 卷为选择题，共8 小题，24 分；
第II 卷为填空题、作图题、解答题，共16 小题，96 分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.
第I 卷（共24 分）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1.－4 的绝对值是（ ）
A. 4
B.
C. －4
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值的概念计算即可.（绝对值是指一个数在坐标轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对
值.）
【详解】根据绝对值的概念可得-4 的绝对值为4.
【点睛】错因分析：容易题.选错的原因是对实数的相关概念没有掌握，与倒数、相反数的概念混淆.
2.下列四个图形中，中心对称图形是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、
中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转
180 度后与原图形重合．
3.2020 年6 月23 日，中国第55 颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号
的22 纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22 纳米=0.000000022 米，将
0.000000022 用科学记数法表示为（ ）
A. 22×108
B. 2.2×10-8
C. 0.22×10-7
D. 22×10-9
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法的形式是：
，其中
＜10，
为整数．所以
，
取决于原数小数点的移动
位数与移动方向，
是小数点的移动位数，往左移动，
为正整数，往右移动，
为负整数。本题小数点
往右移动到
的后面，所以
【详解】解：0.000000022
故选
【点睛】本题考查
知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定
好
的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4.如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据俯视图的定义即可求解．
【详解】由图形可知，这个几何体的俯视图为
故选A．
【点睛】此题主要考查俯视图的判断，解题的关键是熟知俯视图的定义．
5.如图，将
先向上平移1 个单位，再绕点
按逆时针方向旋转
，得到
，则点
的对
应点
的坐标是（ ）
A. （0，4）
B. （2，-2）
C. （3，-2）
D. （-1，4）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平移的规律找到A 点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点
，即可得出
的坐标．
【详解】解：如图所示：A 的坐标为（4，2），向上平移1 个单位后为（4，3），再绕点P 逆时针旋转
90°后对应
点的坐标为（-1，4）．
故选：D．
【点睛】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键．
6.如图，
是
的直径，点
，
在
上，
，
交
于点
．若
．
则
的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理得到∠
，再根据等弧所对的弦相等，得到
，∠
，最
后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=
，∠BAG=
，即可求解．
【详解】解：∵
是
的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系
是解题关键．
7.如图，将矩形
折叠，使点
和点
重合，折痕为
，
与
交于点
若
，
，则
的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明
再求解
利用轴对称可得答案．
【详解】解：由对折可得：
矩形
，
BC=8
由对折得：
故选C．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，掌握以上知识
是解题的关键．
8.已知在同一直角坐标系中二次函数
和反比例函数
的图象如图所示，则一次函数
的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出
﹤0，一次函数图象
与y 轴的交点在y 轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴
﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴
﹤0，一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，
对照四个选项，只有B 选项符合一次函数
的图象特征．
故选：B·
【点睛】本题考查反比例函数
图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间
的关系是解答的关键·
第Ⅱ卷（共96 分）
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
9.计算
的结果是___．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合运算计算即可.
【详解】解：
.
故答案为4.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.
10.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行
了测试．测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2:1:3 的比例确定两人的最终得
分，并以此为依据确定录用者，那么__________将被录用（填甲或乙）
应聘者
项目
甲
乙
学历
9
8
经验
7
6
工作态度
5
7
【答案】乙
【解析】
【分析】
直接根据加权平均数比较即可．
【详解】解：甲得分：
乙得分：
∵
>
故答案为：乙．
【点睛】此题主要考查加权平均数，正确理解加权平均数的概念是解题关键．
11.如图，点
是反比例函数
图象上的一点，
垂直于
轴，垂足为
．
的面积为
6．若点
也在此函数的图象上，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由
的面积可得
的值，再把
代入解析式即可得到答案．
【详解】解：
的面积为6．
＞
，
把
代入
经检验：
符合题意．
故答案为：
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，
的几何意义，掌握以上知识是解题的关键．
12.抛物线
（
为常数）与
轴交点的个数是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
求出∆的值，根据∆的值判断即可．
【详解】解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与
轴有2 个交点．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象
与x 轴的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根．当∆=0 时，二次函数与x 轴有一个交点，一元二次
方程有两个相等的实数根；当∆>0 时，二次函数与x 轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；
当∆<0 时，二次函数与x 轴没有交点，一元二次方程没有实数根．
13.如图，在正方形
中，对角线
与
交于点
，点
在
的延长线上，连接
，点
是
的中点，连接
交
于点
．若
，
，则点
到
的距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据正方形的性质与中位线定理得到CD,FG 的长，故可求出AE、DF 的长，再等面积法即可得到AH 的
长，故可求解．
【详解】如图，过点A 作AH⊥DF 的延长线于点H，
∵在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，
O
∴
为AC 中点
∵F 点是AE 中点，
∴OF 是△ACE 的中位线，
CE=2OF=6
∴
∴G 点是AD 的中点，
∴FG 是△ADE 的中位线，
GF=
∴
=1
∴CD=CE-DE=4,
∴AD=CD=4
在Rt△ADE 中，AD=4,DE=2
AE=
∴
∴DF=
AE=
∴S△AFD=
AD·GF=
FD·AH
即
×4×1=
×
×AH
∴AH=
∴点A 到DF 的距离为
，
故答案为：
．
【点睛】此题主要考查正方形内的线段求解，解题的关键是熟知正方形的性质、中位线定理、勾股定理及
三角形的面积公式．
14.如图，在
中，
为
边上的一点，以
为圆心的半圆分别与
，
相切于点
，
．
已知
，
，
的长为
，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OM、ON、OA，易证得∠MON=60º，即∠MOE+∠NOF=120º，
，再由弧
长公式求得半径OM ，然后证得Rt△AMO≌Rt△ANO ，即∠AOM=30º ，进而解得AM ，则可得
，代入相关数值即可解得阴影面积·
【详解】如图，连接OM、ON、OA，设半圆分别交BC 于点E，F，
则OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO=∠ANO=90º，
∵∠BAC=120º，
∴∠MON=60º，
∵
的长为
，
∴
，
∴OM=3，
∵在Rt△AMO 和Rt△ANO 中，
，
∴Rt△AMO≌Rt△ANO(HL)，
∴∠AOM=∠AON=
∠MON=30º，
∴AM=OM·tan30º=
，
∴
，
∵∠MON=60º，
∴∠MOE+∠NOF=120º，
∴
，
∴图中阴影面积为
=
=
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、弧长公式、HL 定理、锐角的三角函数定义、扇形面积的计算等知
识，解答的关键是熟练掌握基本图形的性质，会根据图形和公式进行推理、计算．
三、作图题（本大题满分4 分）
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
15.已知：
．．
求作：
，使它经过点
和点
，并且圆心
在
的平分线上，
【答案】见详解．
【解析】
【分析】
要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A 的角平分线，再作线段BC 的垂直平分线相交于点O，即O 点为
圆心．
【详解】解：根据题意可知，先作∠A 的角平分线，
再作线段BC 的垂直平分线相交于O，
即以O 点为圆心，OB 为半径，作圆O，
如下图所示：
【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．
四、解答题（本大题共9 小题，共74 分）
16.（1）计算:
（2）解不等式组:
【答案】（1）
；（2）x>3
【解析】
【分析】
（1）先算括号里，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1）原式=
=
=
；
（2）
解①得，x≥-1，
解②得，x>3，
∴不等式组的解集是x>3．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的运算法则是解（1）的
关键，掌握解一元一次不等式组得步骤是解（2）的关键．
17.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游
戏：
，
是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如
果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，
否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】这个游戏对双方公平，理由见解析
【解析】
【分析】
画出树状图，求出配成紫色的概率即可求解．
【详解】解：这个游戏对双方公平，理由如下：
如图，
∵由树状图可知，所有可能发生的组合有6 种，能配成紫色的组合有3 种，
∴P（紫色）=
，
∴这个游戏对双方公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键．
18.如图，在东西方向的海岸上有两个相距6 海里的码头
，
．某海岛上的观测塔
距离海岸5 海里，
在
处测得
位于南偏西
方向．一艘渔船从
出发，沿正北方向航行至
处，此时在
处测得
位
于南偏东
方向，求此时观测塔
与渔船
之间的距离（结果精确到0.1 海里）．
（参考数据:
，
，
，
，
，
）
【答案】4.3 海里
【解析】
【分析】
过点A 作AE BD
⊥
，过点C 作CF AE
⊥
，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解．
【详解】过点A 作AE BD
⊥
，过点C 作CF AE
⊥
，则四边形CDEF 是矩形，
BAE=22°
∵∠
，AE=5（海里），
BE=AE∙tan22°=5×
∴
=2（海里），
DE=BD-BE=6-2=4
∵
（海里），
∵四边形CDEF 是矩形，
CF=DE=4
∴
（海里），
AC=CF÷sin67°=4÷
∴
≈4.3（海里）．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
19.某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取
名学生进行测试，测试成绩进行
整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比
__________；
（3）已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的
名学
生测试成绩的中位数是__________分；
（4）若成绩达到80 分以上（含80 分）为优秀，请你估计全校1200 名学生对海洋科普知识了解情况为优
秀的学生人数．
【答案】（1）见解析；（2）20％；（3）84．5 分；（4）672 人
【解析】
【分析】
（1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“90~1000”这组的频数，从而补全
频数直方图；
（2）用“70~80”这组的频数除以样本容量即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用1200 乘以80 分以上人数所占的比例即可．
【详解】解：（1）8÷16％=50 人，
50-4-8-10-12=16 人，
补全频数直方图如下：
（2）m=
=20％；
（3）∵“50~80”分的人数已有22 人，
∴第25 和26 名的成绩分别是是84 分，85 分，
∴中位数是
分；
（4）
人．
∴优秀人数是672 人．
【点睛】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图
获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估
计总体．
20.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为
，该游泳池有甲、乙两个进水口，
注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量
与
注水时间
之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量
与注水时间
之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个
进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间
是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的
倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
【答案】（1）y=140t+100，140m3/h；（2）8h
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求出y 与t 的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，进而可求出同时打开甲、
乙两个进水口的注水速度；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，根据单独打开甲进水口注满游泳池所用时
间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的
倍列方程求解即可．
【详解】解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，
2k+100=380，
解得
k=140，
∴y=140t+100，
当y=480 时，
则480=140t+100，
解得t=
，
(480-100)÷
=140m3/h；
∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得
，
解得x=60，
经检验x=60 符合题意，
(h)，
∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，掌握待定系数法是解（1）的关键，找出数量关
系列出方程是解（2）的关键．
21.如图，在
中，对角线
与
相交于点
，点
，
分别在
和
的延长线上，且
，连接
，
．
（1）求证：
≌
；
（2）连接
，
，当
平分
时，四边形
什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）菱形，见解析
【解析】
【分析】
（1）利用SAS 证明
≌
即可求解；
（2）先证明四边形
是平行四边形，再证明对角线互相垂直即可得到为菱形．
【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC, ADB= CBD
∠
∠
，
又∵∠ADB+ ADE=180°
∠
，∠CBF+ CBD=180°
∠
，
∴ADE= CBF
∠
∠
在△ADE 和△CBF 中
∴
ADE
△
≌
CBF
△
；
（2）四边形
是菱形
理由如下：
如图，连接
，
，
由（1）得△ADE≌CBF
△
CF=AE, E= F
∴
∠
∠
AE CF
∴
∥
AE
∴
CF
∴四边形AFCE 是平行四边形
当BD 平分∠ABC 时，∠ABD=∠CBD
又∵AD CB
∥
，
∴ADB= DBC
∠
∠
ABD= ABD
∴∠
∠
∴AD=AB=BC
ABC
∴△
为等腰三角形
由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF
∴平行四边形AFCE 是菱形
【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理．
22.某公司生产
型活动板房成本是每个425 元．图①表示
型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线
构成，长方形的长
，宽
，抛物线的最高点
到
的距离为
．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用
表示，求该抛物线的函数表达式；
（2）现将
型活动板房改造为
型活动板房．如图②，在抛物线与
之间的区域内加装一扇长方形窗
户
，点
，
在
上，点
，
在抛物线上，窗户的成本为50 元
．已知
，求
每个
型活动板房的成本是多少？（每个
型活动板房的成本＝每个
型活动板房的成本+一扇窗户
的成本）
（3）根据市场调查，以单价650 元销售（2）中的
型活动板房，每月能售出100 个，而单价每降低10 元，
每月能多售出20 个．公司每月最多能生产160 个
型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价
（元）定为多少时，每月销售
型活动板房所获利润
（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）500（3）n=620 时，w 最大=19200 元
【解析】
【分析】
（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E 的坐标，代入
即可求解；
（2）根据N 点与M 点的横坐标相同，求出N 点坐标，再求出矩形FGMN 的面积，故可求解；
（3）根据题意得到w 关于n 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）由题可知D（2,0），E（0,1）
代入到
得
解得
∴抛物线的函数表达式为
；
（2）由题意可知N 点与M 点的横坐标相同，把x=1 代入
，得y=
∴N（1，
）
∴MN=
m，
∴S 四边形FGMN=GM×MN=2×
=
，
则一扇窗户的价格为
×50=75 元
因此每个B 型活动板的成本为425+75=500 元；
（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×
）=-2（n-600）
2+20000,
∵一个月最多生产160 个，
∴100+20×
≤160
解得n≥620
∵-2＜0
∴n≥620 时，w 随n 的增大而减小
∴当n=620 时，w 最大=19200 元．
【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．
23.实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100 张面值分
别为1 元、2 元、3 元、…、100 元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2 张、3 张、4 张、…等若干张
奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5 张奖券的机会，小明想知道该顾客共
有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，这
个整数之和共有
多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
（1）从1，2，3 这3 个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2 个整数
1，2
1，3，
2，3
2 个整数之和
3
4
5
如表①，所取的2 个整数之和可以为3，4，5，也就是从3 到5 的连续整数，其中最小是3，最大是5，所
以共有3 种不同的结果．
（2）从1，2，3，4 这4 个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2 个整数
1，2
1，3，
1，4
2，3
2，4
3，4
2 个整数之和
3
4
5
5
6
7
如表②，所取的2 个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3 到7 的连续整数，其中最小是3，最大是
7，所以共有5 种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5 这5 个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共有______种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共有______
种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4 这4 个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和共有______种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和共有
______种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取4 个整数，这4 个整数之和共有______种不
同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，这
个整数之和共有
______种不同的结果．
问题解决：
从100 张面值分别为1 元、2 元、3 元、…、100 元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5 张奖券，共
有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36 这36 个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204 种不同的结
果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，这
个整数之和共有______种不同的结果．
【答案】探究一：（3）
；（4）
（
，
为整数）；探究二：（1）
（2）
；探究三：
归纳结论：
（
为整数，且
，＜
＜
）；问题解决：
；拓展延伸：
（1）
个或
个；（2）
．
【解析】
【分析】
探究一：
（3）根据（1）（2）的提示列表，可得答案；
（4）仔细观察（1）（2）（3）的结果，归纳出规律，从而可得答案；
探究二：
（1）仿探究一的方法列表可得答案；
（2）由前面的探究概括出规律即可得到答案；
探究三：
根据探究一，探究二，归纳出从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取4 个整数的和
的结果数，
再根据上面探究归纳出从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，
这
个整数之和的结果数；
问题解决：
利用前面的探究计算出这5 张奖券和的最小值与最大值，从而可得答案；
拓展延伸：
（1）直接利用前面的探究规律，列方程求解即可，
（2）找到与问题等价的模型，直接利用规律得到答案．
【详解】解：探究一：
（3）如下表：
取的
2 个
整数
2 个
整数
之和
所取的2 个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9 也就是从3 到9 的连续整数，其中最小是3，最大是9，
所以共有7 种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和的最小值是
3，和的最大值是
所以一共有
种．
探究二：
（1）从1，2，3，4 这4 个整数中任取3 个整数，如下表：
取的3 个整数
1,2,3
1,2,4
1,3,4
2,3,4
3 个整数之和
6
7
8
9
从1，2，3，4 这4 个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和共有4 种，
（2）从1，2，3，4，5 这5 个整数中任取3 个整数，
这3 个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以从1，2，3，4，5 这5 个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和共有7 种，
从而从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取3 个整数，
这3 个整数之和的最小值是6，和的最大值是
所以一共有
种，
探究三：
从1，2，3，4，5 这5 个整数中任取4 个整数， 这4 个整数之和最小是
最大是
，
所以这4 个整数之和一共有5 种，
从1，2，3，4，5，6 这6 个整数中任取4 个整数， 这4 个整数之和最小是
最大是
，
所以这4 个整数之和一共有9 种，
从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取4 个整数，
这4 个整数之和的最小值是10，和的最大值是
，
所以一共有
种不同的结果．
归纳结论：
由探究一，从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取2 个整数，这2 个整数之和共有
种．
探究二，从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取3 个整数，这3 个整数之和共有
种，
探究三，从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取4 个整数，这4 个整数之和共有
种不同的结果．
从而可得：
从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，这
个整数之和共有
种不同的结果．
问题解决：
从100 张面值分别为1 元、2 元、3 元、…、100 元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取5 张奖券，这5 张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，
共有
种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）
从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，这
个整数
之和共有
种不同的结果．
当
有
或
或
从1，2，3，…，36 这36 个整数中任取29 个或7 个整数，使得取出的这些整数之和共有204 种不同的结
果．
（2）由探究可知：从3，4，5，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，等同于从1，2，3，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，
所以：从3，4，5，…，
（
为整数，且
）这
个整数中任取
个整数，这
个整数之和共有
种不同的结果．
【点睛】本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握自主探究
的方法是解题的关键．
24.已知：如图，在四边形
和
中，
，
，点
在
上，
，
，
，延长
交
于点
，点
从点
出
发，沿
方向匀速运动，速度为
；同时，点
从点
出发，沿
方向匀速运动，速度为
，过点
作
于点
，交
于点
．设运动时间为
．
解答下列问题：
（1）当为何值时，点
在线段
的垂直平分线上？
（2）连接
，作
于点
，当四边形
为矩形时，求的值；
（3）连接
，
，设四边形
的面积为
，求
与的函数关系式；
（4）点
在运动过程中，是否存在某一时刻，使点
在
的平分线上？若存在，求出的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】（1） t=
；（2）t=3;（3）S 与t 的函数关系式为
；（4）存在，t=
,
【解析】
【分析】
（1）要使点M 在线段CQ 的垂直平分线上，只需证CM=MQ 即可；
（2）由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t 的方
程，解之即可；
（3）分别用t 表示出梯形GHFM 的面积、△QHF 的面积、△CMQ 的面积，即可得到S 与t 的函数关系式；
（4）延长AC 交EF 与T，证得AT⊥EF，要使点P 在∠AFE 的平分线上，只需PT=PH，分别用t 表示
PT、PH，代入得关于t 的方程，解之即可．
【详解】（1）当=
时，点
在线段
的垂直平分线上，理由为：
由题意，CE=2，CM∥BF，
∴
即：
，
解得：CM=
，
要使点
在线段
的垂直平分线上，
只需QM=CM=
，
∴t=
；
（2）如图，∵
，
，
，
∴AC=10，EF=10，sin∠PAH=
，cos∠PAH=
，sin∠EFB=
，
在Rt△APH 中，AP=2t，
∴PH=AP·sin∠PAH=
，
在Rt△ECM 中，CE=2,CM=
,由勾股定理得：EM=
，
在Rt△QNF 中，QF=10-t-
=
，
∴QN=QF·sin∠EFB=(
)×
=
，
四边形
为矩形，
∴PH=QN，
∴
=
，
解得：t=3；
（3）如图，过Q 作QN⊥AF 于N，
由（2）中知QN=
，AH=AP·cos∠PAH=
，
∴BH=GC=8-
，
∴GM=GC+CM=
，HF=HB+BF=
，
∴
=
=
=
，
∴S 与t 的函数关系式为：
；
（4）存在，t=
．
证明：如图，延长AC 交EF 于T，
∵AB=BF BC=BF,
，
∴△ABC≌△EBF，
∴∠BAC=∠BEF，
∵∠EFB+∠BEF=90º，
∴∠BAC+∠EFB=90º，
∴∠ATE=90º 即PT⊥EF，
要使点
在
的平分线上，只需PH=PT，
在Rt△ECM 中，CE=2,sin∠BEF=
，
CT=CE·sin∠BEF =
，
PT=10+
-2t=
，又PH=
，
=
，
解得：t=
．
【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形
的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关知识，利用
参数构建方程解决问题，是中考常考题型．
