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2020 年贵州省黔东南州中考数学试卷
一．选择题（共10 小题）
1.﹣2020 的倒数是（ ）
A. ﹣2020
B. ﹣
C. 2020
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据倒数的概念即可解答．
【详解】解：根据倒数的概念可得，﹣2020 的倒数是
，
故选：B．
【点睛】本题考查了倒数的概念，熟练掌握是解题的关键．
2.下列运算正确的是（ ）
A. （x+y）
2＝x2+y2
B. x3+x4＝x7
C. x3•x2＝x6
D. （﹣3x）
2＝9x2
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、（x+y）
2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
B、x3+x4，不是同类项，无法合并，故此选项错误；
C、x3•x2＝x5，故此选项错误；
D、（﹣3x）
2＝9x2，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查整式的运算，熟练掌握各种整式运算法则是解题关键．
3.实数2
介于（ ）
A. 4 和5 之间
B. 5 和6 之间
C. 6 和7 之间
D. 7 和8 之间
【答案】C
【解析】
【分析】
首先化简
＝
，再估算
，由此即可判定选项．
【详解】解：∵
＝
，且6＜
＜7，
∴6＜
＜7．
故选：C．
【点睛】本题考查估算实数大小，方法就是用有理数来逼近，求该数的近似值，一般情况下要牢记1 到20
整数的平方，可以快速准确地进行估算.
4.已知关于x 的一元二次方程x2+5x﹣m＝0 的一个根是2，则另一个根是（ ）
A. ﹣7
B. 7
C. 3
D. ﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
5.如图，将矩形ABCD 沿AC 折叠，使点B 落在点B′处，B′C 交AD 于点E，若∠1＝25°，则∠2 等于
（ ）
A. 25°
B. 30°
C. 50°
D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得出∠ACB′的度数，由矩形的性质可得出AD∥BC，再利用“两直线平行，内错角相
等”可求出∠2 的度数．
【详解】解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°．
∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解答关键是注意应用折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，
对应边和对应角相等的性质．
6.桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体
的小正方体的个数最多有（ ）
A. 12 个
B. 8 个
C. 14 个
D. 13 个
【答案】D
【解析】
【分析】
易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．
【详解】解：底层正方体最多有9 个正方体，第二层最多有4 个正方体，所以组成这个几何体的小正方体
的个数最多有13 个．
故选：D．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”
找到所需正方体的个数．
7.如图，⊙O 的直径CD＝20，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB 的长为（
）
A. 8
B. 12
C. 16
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，先根据⊙O 的直径CD＝20，OM：OD＝3：5 求出OD 及OM 的长，再根据勾股定理可求出AM
的长，进而得出结论．
【详解】连接OA，
∵⊙O 的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴
，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和
弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式
成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
8.若菱形ABCD 的一条对角线长为8，边CD 的长是方程x2﹣10x+24＝0 的一个根，则该菱形ABCD 的周长
为（ ）
A. 16
B. 24
C. 16 或24
D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】
解方程得出x＝4 或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4 时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6
时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD 的周长．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4 或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4 时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6 时，6+6＞8，
∴菱形ABCD 的周长＝4AB＝24．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是
解题的关键．
9.如图，点A 是反比例函数y
（x＞0）上的一点，过点A 作AC⊥y 轴，垂足为点C，AC 交反比例函数
y＝
的图象于点B，点P 是x 轴上的动点，则△PAB 的面积为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OA、OB、PC．由于AC⊥y 轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k 的几何意义得到
S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
【详解】解：如图，
连接OA、OB、PC．
∵AC⊥y 轴，
∴S△APC＝S△AOC＝
×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝
×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向
x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
10.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E、F 分别为BC、AD 的中点．以C 为圆心，2
为半径作圆弧
，再分别以E、F 为圆心，1 为半径作圆弧
、
，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A. π﹣1
B. π﹣2
C. π﹣3
D. 4﹣π
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2 为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1 为半径的半
圆（扇形）的面积再减去2 个以边长为1 的正方形的面积减去以1 半径的四分之一个圆（扇形）的面积，
本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
阴影部分的面积是：
•π×22﹣
﹣2（1×1﹣
•π×12）＝π﹣2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算
不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行
计算．
二．填空题（共10 小题）
11.
= ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值填空即可.
【详解】由特殊角的三角函数值，能够确定
=
.
故答案是
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.
12.2020 年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大威胁．截止6 月份，全球
确诊人数约3200000 人，其中3200000 用科学记数法表示为_____．
【答案】3.2×106
【解析】
【分析】
科学记数法
表示形式为
的形式，其中
，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
10 时，n 是正数；当原
数的绝对值
时，n 是负数．
【详解】由科学记数法的定义得：
故答案为：
．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题键．
13.在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式x，再运用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】解：xy2﹣4x
＝x(y2﹣4)
＝
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法和公式法对因式进行分解是解题的关键.
14.不等式组
的解集为_____．
【答案】2＜x≤6
【解析】
【分析】
先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，
解不等式
x﹣1≤4﹣
x，得：x≤6，
则不等式组的解集为2＜x≤6，
故答案为：2＜x≤6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小，大小小大中间找，大大小小找不
到的原则是解答此题的关键．
15.把直线y＝2x﹣1 向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则平移后所得直线的解析式为
_____．
【答案】y＝2x+3
【解析】
【分析】
直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．
【详解】解：把直线y＝2x﹣1 向左平移1 个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，
再向上平移2 个单位长度，得到y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握是解题的关键．
16.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x
＝﹣1，则当y＜0 时，x 的取值范围是_____．
【答案】﹣3＜x＜1
【解析】
【分析】
根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，再根据
抛物线的增减性可求当y＜0 时，x 的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
17.以▱ABCD 对角线的交点O 为原点，平行于BC 边的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A
点坐标为（﹣2，1），则C 点坐标为_____．
【答案】（2，﹣1）
【解析】
【分析】
根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD 对角线的交点O 为原点和点A 的坐标，即可得到点C 的
坐标．
【详解】解：∵▱ABCD 对角线的交点O 为原点，A 点坐标为（﹣2，1），
∴点C 的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
18.某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好
是甲、乙、丙的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况，再
利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画出树状图得：
∵共有6 种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1 种结果，
∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了树状图法求概率问题，关键是根据题意正确画出树状图进而求解.
19.如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
【答案】
【解析】
试题分析：∵∠CAB=30°，AC=AD，OA=OC，∴∠ACD=75°，∠ACO=30°，∴∠OCE=45°，∵OE CD
⊥
，
∴△OCE 为等腰直角三角形， ∵OC=2，∴OE=
.
考点：(1)、圆的基本性质；(2)、勾股定理
20.如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝
，E 为CD 的中点，连接AE、BD 交于点P，过点P 作PQ⊥BC
于点Q，则PQ＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝
CD
＝
AB，根据相似三角形的判定证明△ABP∽△EDP，再利用相识三角形的性质和判定即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E 为CD 的中点，
∴DE＝
CD＝
AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴
＝
，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴
＝
＝
，
∵CD＝2，
∴PQ＝
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质的应用，运用矩形的性质和相似三角形判
定和性质证明△ABP∽△EDP 得到
＝
是解题的关键．
三．解答题（共6 小题）
21.（1）计算：（
）﹣2﹣|
﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0；
（2）先化简，再求值：（
﹣a+1）÷
，其中a 从﹣1，2，3 中取一个你认为合适的数代入
求值．
【答案】（1）2+
；（2）﹣a﹣1，-4
【解析】
【分析】
（1）先算负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、然后再算加减法即可；
（2）先运用分式的相关运算法则化简，最后确保分式有意义的前提下，选择一个a 的值代入计算即可．
【详解】解：（1）（
）﹣2﹣|
﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0
＝4+
﹣3+2×1﹣1
＝4+
﹣3+2﹣1
＝2+
；
（2）（
﹣a+1）÷
＝
×
＝
＝﹣a﹣1，
要使原式有意义，只能a＝3，
则当a＝3 时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
【点睛】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值以及分式的化简求值，掌握实数的相关知识以
及分式四则运算的法则是解答本题的关键．
22.某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x 分（x 为整数）评定为优秀、良好、合格、
不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D 表示），A 等级：90≤x≤100，B 等级：
80≤x＜90，C 等级：60≤x＜80，D 等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成
如图不完整的统计图表．
等级
频数（人数）
频率
A
a
20%
B
16
40%
C
b
m
D
4
10%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a
，b＝
，m＝
．
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
（3）若从D 等级的4 名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学
生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）8，12，30%；（2）40 名，补图见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意列式计算即可得到结论；
（2）用D 等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20%﹣
40%﹣10%＝30%；
故答案
：8，12，30%；
（2）本次调查共抽取了4÷10%＝40 名学生；
补全条形图如图所示；
（3）将男生分别标记为A，B，女生标记为a，b，
A
B
a
b
A
（A，B）
（A，a）
（A，b）
B
（B，A）
（B，a）
（B，b）
a
（a，A）
（a，B）
（a，b）
b
（b，A）
（b，B）
（b，a）
∵共有12 种等可能的结果，恰为一男一女的有8 种，
∴抽得恰好为“一男一女”的概率为
＝
．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比．
23.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点（与点A，B 不重合），过点C 作直线PQ，使得∠ACQ＝
∠ABC．
（1）求证：直线PQ 是⊙O 的切线．
（2）过点A 作AD⊥PQ 于点D，交⊙O 于点E，若⊙O 的半径为2，sin∠DAC＝
，求图中阴影部分的面
积．
【答案】（1）见解析；（2）
﹣
．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及已知条件
∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论．
（2）由sin∠DAC＝
，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD 的 度数，进而判定△AEO 为等边三角形，
则∠AOE 的度数可得；利用S 阴影＝S 扇形﹣S△AEO，可求得答案．
【详解】解：（1）证明：如图，连接OC，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO．
∵∠ACQ＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，
∴直线PQ 是⊙O 的切线．
（2）连接OE，
∵sin∠DAC＝
，AD⊥PQ，
∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，
又∵OA＝OE，
∴△AEO 为等边三角形，
∴∠AOE＝60°．
∴S 阴影＝S 扇形﹣S△AEO
＝S 扇形﹣
OA•OE•sin60°
＝
＝
．
∴图中阴影部分的面积为
﹣
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，求弓形的面积和扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的
判定和性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
24.黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3 件甲商品和2 件乙商品，需60 元；购进2 件甲商品和
3 件乙商品，需65 元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19 时，甲商品的日销售
量y（单位：件）与销售单价x 之间存在一次函数关系，x、y 之间的部分数值对应关系如表：
销售单价x（元/件）
11
19
日销售量y（件）
18
2
请写出当11≤x≤19 时，y 与x 之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w 元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日
销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15 元/件；（2）y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3）
当甲商品的销售单价定为15 元/件时，日销售利润最大，最大利润是50 元．
【解析】
【分析】
（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b 元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设y 与x 之间的函数关系式为y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可；
（3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b 元/件，由题意得：
，
解得：
．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15 元/件．
（2）设y 与x 之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得：
，解得：
．
∴y 与x 之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．
（3）由题意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣2x2+60x﹣400
＝﹣2（x﹣15）
2+50（11≤x≤19）．
∴当x＝15 时，w 取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15 元/件时，日销售利润最大，最大利润是50 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值
等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．
25.如图1，△ABC 和△DCE 都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD 与△ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若B、C、E 三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD 的长．
（3）若B、C、E 三点在一条直线上（如图2），且△ABC 和△DCE 的边长分别为1 和2，求△ACD 的面
积及AD 的长．
【答案】（1）全等，理由见解析；（2）BD＝
；（3）△ACD 的面积为
，AD＝
．
【解析】
【分析】
（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS 可证明△ACE≌△BCD；
（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE 的长，可得BD 的长；
（3）过点A 作AF⊥CD 于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF 的长，
由三角形面积公式可得△ACD 的面积，最后根据勾股定理可得AD 的长．
【详解】解：（1）全等，理由是：
∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD 和△ACE 中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE，
∵△DCE 都是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE 中，AD＝3，DE＝2，
∴
，
∴BD＝
；
（3）如图2，过点A 作AF⊥CD 于F，
∵B、C、E 三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF 中，sin∠ACF＝
，
∴AF＝AC×sin∠ACF＝
，
∴S△ACD＝
，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×
，FD＝CD﹣CF＝
，
在Rt△AFD 中，AD2＝AF2+FD2＝
，
∴AD＝
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第（3）
小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C（0，﹣
3），顶点D 的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y 轴上找一点E，使得△EAC 为等腰三角形，请直接写出点E 的坐标．
（3）点P 是x 轴上
动点，点Q 是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D 为顶点，
BD 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E 的坐标为（0，3）、（0，﹣3+
）、（0，﹣3﹣
）、（0，﹣
）；（3）存在，P（﹣1+2
，0）、Q（1+2
，4）或P（﹣1﹣2
，0）、Q
（1﹣2
，4）．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C 坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出点A，C 坐标，设出点E 坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；
（3）利用平移先确定出点Q 的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q 的横坐标，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）
2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）
2﹣4 中，得a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线
解析式为y＝a（x﹣1）
2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1 或x＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AC＝
，
设点E（0，m），则AE＝
，CE＝|m+3|，
∵△ACE 是等腰三角形，
∴①当AC＝AE 时，
＝
，
∴m＝3 或m＝﹣3（点C 的纵坐标，舍去），
∴E（3，0），
②当AC＝CE 时，
＝|m+3|，
∴m＝﹣3±
，
∴E（0，﹣3+
）或（0，﹣3﹣
），
③当AE＝CE 时，
＝|m+3|，
∴m＝﹣
，
∴E（0，﹣
），
即满足条件的点E 的坐标为（0，3）、（0，﹣3+
）、（0，﹣3﹣
）、（0，﹣
）；
（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），
∴将线段BD 向上平移4 个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B 的对应点落在抛物线上，这
样便存在点Q，此时点D 的对应点就是点P，
∴点Q 的纵坐标为4，
设Q（t，4），
将点Q 的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3 中得，t2﹣2t﹣3＝4，
∴t＝1+2
或t＝1﹣2
，
∴Q（1+2
，4）或（1﹣2
，4），
分别过点D，Q 作x 轴的垂线，垂足分别为F，G，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3 与x 轴的右边的交点B 的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），
∴FB＝PG＝3﹣1＝2，
∴点P 的横坐标为（1+2
）﹣2＝﹣1+2
或（1﹣2
）﹣2＝﹣1﹣2
，
即P（﹣1+2
，0）、Q（1+2
，4）或P（﹣1﹣2
，0）、Q（1﹣2
，4）．
【点睛】此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和
性质是解题关键．
