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数 学
第Ⅰ卷 选择题（共30 分）
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算
的结果是（ ）
A. -6
B. 6
C. -10
D. 10
2. 为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022 年举办北京冬奥会.在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，
以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020 年我国核能发电量为3662.43 亿千瓦时，相当于造林77.14
万公顷.已知1 公顷
平方米，则数据77.14 万公顷用科学记数法表示为（ ）
A.
平方米
B.
平方米
C.
平方米
D.
平方米
5. 已知反比例函数
，则下列描述不正确的是（ ）
A. 图象位于第一，第三象限
B. 图象必经过点
C. 图象不可能与坐标轴相交
D.
随
的增大而减小
6. 每天登录“学习强国”App 进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一
周每日“点点通”收入明细如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
星期
一
二
三
四
五
六
日
收入（点）
15
21
27
27
21
30
21
A. 27 点，21 点
B. 21 点，27 点
C. 21 点，21 点
D. 24 点，21 点
7. 如图，在
中，
切
于点
，连接
交
于点
，过点
作
交
于点
，连
接
.若
，则
为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论
或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中
的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A. 统计思想
B. 分类思想
C. 数形结合思想
D. 函数思想
9. 如图，正六边形
的边长为2，以
为圆心，
的长为半径画弧，得
，连接
，
，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 抛物线的函数表达式为
，若将
轴向上平移2 个单位长度，将
轴向左平移3 个单位长
度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90 分）
二、填空题（本大题共5 个小题，每小题3 分，共15 分）
11. 计算：
__________.
12. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中，
表示叶片“顶部”
，
两点的坐标分别为
，
，则叶杆“底部”点
的坐标为__________.
13. 如图，在菱形
中，对角线
，
相交于点
，
，
，
，交
于点
，则
的长为__________.
14. 太原地铁2 号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020 年12 月26 日开通.如图是该地铁某站扶梯
的示意图，扶梯
的坡度
（为铅直高度与水平宽度的比）.王老师乘扶梯从扶梯底端
以0.5
米/秒的速度用时40 秒到达扶梯顶端
，则王老师上升的铅直高度
为__________米.
15. 如图，在
中，点
是
边上的一点，且
，连接
并取
的中点
，连接
，
若
，且
，则
的长为__________.
三、解答题（本大题共8 个小题，共75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本题共2 个小题，每小题5 分，共10 分）
（1）计算：
.
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：
………………………………第一步
……………………………………………第二步
…………………………………………第三步
……………………………………………………第四步
…………………………………………………………第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据____________________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是______________________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集.
解：__________.
17.（本题6 分）2021 年7 日1 日建党100 周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4 个数（如图所
示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.
18.（本题7 分）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线.游客从太原某
景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25 千米，但交通比较拥堵；
路线二：走太原环城高速全程是30 千米，平均速度是路线一的
倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少
用7 分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间.
19.（本题10 分）近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承
中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典通读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉
字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为
，
，
，
）.为了解同学们参与这四类比赛的意
向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所
有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）.请根据图表提供的信息，解
答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的总人数为__________人，统计表中
的百分比
为__________；
（2）请补全统计图；
（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是否可行？若可行，求
出表示
类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由；
（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目（依次
记为
，
，
，
），由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解.请用列表
或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率.
20.（本题8 分）阅读与思考
请阅读下列科普材料，并完成相应的任务.
图算法
图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲
线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量.比如想知道10 摄氏度
相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：
得出，当
时，
.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进
行计算的方法就是图算法.
再看一个例子：设有两只电阻，分别为5 千欧和7.5 千欧，问并联后的电阻值是多少？
我们可以利用公式
求得
的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个
的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我
们只要把角的两边刻着7.5 和5 的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电
阻值.
图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图
人员，往往更能体会到它的优越性.
任务：
（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
①用公式
计算：当
，
时，
的值为多少；
②如图，在
中，
，
是
的角平分线，
，
，用你所学的几
何知识求线段
的长.
21.（本题8 分）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌.某校“综合与实践”
活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得
，
，
，
，四边形
为矩形，且
.请帮助该小组求出指
示牌最高点
到地面
的距离（结果精确到
.参考数据：
，
，
，
）.
22.（本题13 分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在
中，
，垂足为
，
为
的中点，连接
，
，试猜想
与
的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将
沿着
（
为
的中点）所在直线折叠，如图
②，点
的对应点为
连接
并延长交
于点
，请判断
与
的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将
沿过点
的直线折叠，如图③，点
的对应点为
，使
于点
，折痕交
于点
，连接
，交
于点
.该小组提出一个问题：若此
的面积为20，边长
，
，求图中阴影部分（四边形
）的面积.请你思考此
问题，直接写出结果.
23.（本题13 分）综合与探究
如图，抛物线
与
轴交于
，
两点（点
在点
的左侧），与
轴交于点
，连接
，
.
（1）求
，
，
三点的坐标并直接写出直线
，
的函数表达式；
（2）点
是直线
下方抛物线上的一个动点，过点
作
的平行线，交线段
于点
.
①试探究：在直线上是否存在点
，使得以点
，
，
，
为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线交于点
，与直线
交于点
.当
时，请直接写出
的长.
参考答案
一、选择题
1-5：BBADD
6-10：CBCAC
二、填空题
11.
12.
13.
14.
15.
三、解答题
16.（1）解：原式
.
（2）①乘法分配律（或分配律）
②五 不等式两边都除以-5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）
17. 解：设这个最小数为
.
根据题意，得
.
解，得
，
（不符合题意，舍去）.
答：这个最小数为5.
18. 解：设走路线一到达太原机场需要
分钟.
根据题意，得
.
解，得
.
经检验，
是原方程的解.
答：走路线一到达太原机场需要25 分钟.
19.（1）120
（2）
（3）解：不可行.
理由：答案不唯一，如：由统计表可知，
.即有意向参与比赛的人数占调查总人
数的百分比之和大于1；或
，即有意向参与
类与
类的人数之和大于总人数120 等.
（4）解：列表如下：
乙
甲
或画树状图如下：
由列表（或画树状图）可知，总共有16 种结果，每种结果出现的可能性都相同.其中甲，乙两名选手抽到的
题目在同一组的结果有4 种.
所以，
.
20.（1）解：答案不唯一，如：图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等.
（2）①解：当
，
时，
.
∴
.
②解：过点
作
，交
的延长线于点
.
∵
平分
，∴
.
∵
，∴
，
.
∴
，∴
.
∴
为等边三角形，
∴
.
∵
，
，∴
.
∴
.
∴
，∴
.
21. 解：过点
作
于点
，交直线
于点
.过点
作
于点
，
于点
.则四边形
和四边形
均为矩形，
∴
，
，∴
.
∴
.
∴
.
在
中，
，
，
∴
.
在
中，
，
，
∴
.
∴
.
∴
.
答：指示牌最高点
到地面
的距离为
.
22. 解：（1）
.
证法一：如图①，分别延长
，
相交于点
.
∵四边形
是平行四边形，∴
.
∴
，
.
∵
为
的中点，∴
，∴
.
∴
.即
为
的中点，∴
.
∵
，∴
，∴在
中，
.
∴
.
证法二：如图①，过点
作
于点
，
则
.∵
，∴
.
∴
，∴
.
∵四边形
是平行四边形，∴
.∴
.
∴
.
∵
为
的中点，∴
，∴
.
∵
，∴
垂直平分
，∴
.
（2）
.
证法一：如图②，由折叠可知：
，
.
∵
为
的中点，∴
.∴
.
∴
.∵
，∴
.
∴
.∴
.
∵四边形
为平行四边形，∴
，
∴四边形
为平行四边形.
∴
，∴
，∴
.
证法二：连接
交
于
.由折叠可知：
，
.
∴
.
∵
为
的中点，∴
.∴
.
∴
.∵
.∴
.
在
中，
，
∴
.∴
.
∴
，∴
.
∴
.∴
.
∵四边形
是平行四边形，∴
.
∴四边形
是平行四边形，
∴
.∴
.∴
.
（3）
.
23. 解：（1）当
时，
，解，得
，
.
∵点
在点
的左侧，∴点
的坐标为
.
点
的坐标为
.
当
时，
.∴点
的坐标为
.
直线
的函数表达式为：
.
直线
的函数表达式为：
.
（2）存在.设点
的坐标为
，其中
.
∵点
，点
的坐标分别为
，
.
∴
，
，
.
∵
，
∴当
时，以
，
，
，
为顶点的四边形是平行四边形.
①如图①，当
时，
是菱形，
∴
.
解，得
，
（舍去）.∴点
的坐标为
.
∴点
的坐标为
.
②如图②，当
时，
是菱形.∴
.
解，得
，
（舍去），∴点
的坐标为
.
∴点
的坐标为
.
综上所述，存在点
，使得以
，
，
，
为顶点的四边形为菱形，且点
的坐标为
或
.
（3）
.
