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易错易混02 不等式与基本不等式的应用
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01 错点扫描・易错建模夯基石 ........................................................................................................1
02 易错归纳・查漏补缺避陷阱..........................................................................................................3
易错归纳01 忽略不等式成立的前提条件（★★
）
★
...............................................................................3
易错归纳02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围（★★★★）...................................................4
易错归纳03 分式不等式（★★★★）.......................................................................................................5
易错归纳04 一元二次不等式不等式恒成立、有解问题（★★★★★）...............................................6
易错归纳05 含参一元二次不等式分类讨论不完整（★★★★★）.......................................................7
易错归纳06 基本不等式忽略一正二定三相等（★★★★★）...............................................................8
03 实战检测・易错通关验成效..........................................................................................................9
1、不等式的性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意
的符号（涉及分类讨
论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，
同为正数
2、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程
的两根为
且
，设Δ=b2−4ac ，它的解按照
Δ>0 ，Δ=0 ，Δ<0 可分三种情况，相应地，二次函数
的图象与
轴的位置关
系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式
或
的解集.
判别式Δ=b2−4ac
二次函数
(
的图象
一元二次方程
(
)的根
有两个不相等的实数
根
，
(
)
有两个相等的实数根
没有实数根
(
)的解集
(
)的解集
3、一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程
，计算判别式Δ ：
①
时，求出两根
，且
（注意灵活运用十字相乘法）；
②
时，求根x1=x2=−b
2a ；
③
时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
4、解分式不等式
（1）定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如
或
（其中
,
为整式且
的不等式称为分式不等式。
（2）分式不等式的解法
移项化零：将分式不等式
①
右边化为0：
②
③
④
⑤
5、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意一正，三相等这两类陷阱）
“
”
“
”
（1）基本不等式:
,
,（当且仅当a=b 时，取“= 号）
”
其中
叫做正数
，
的几何平均数；
叫做正数
，
的算数平均数．
如果
a,b∈R ，有a2+b2≥2ab （当且仅当a=b 时，取“= 号）
”
特别的，如果
,用
分别代替
,代入a2+b2≥2ab ，可得：
，当且仅当
a=b 时，“= 号
”
成立.
（2）基本不等式链
（其中
，
当且仅当
a=b
时，取“
=
号）
”
易错归纳01
不等式成
的
忽略
立
前提条件
【易错陷阱·避错攻略】
1、在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
2、不等式性质包括充分条件
“
(或者是必要条件)”和充要条件两种，前者一般是证明不等式的理论基础，
“
”
后者一般是解不等式的理论基础．
1．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数
，则下列命题中成立的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·四川南充·月考）若
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·江西·期中）已知
为实数，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
4．（24-25 高三下·海南·月考）（多选题）已知
，则下列各选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·贵州六盘水·模拟预测）（多选题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
易错归纳02
用
多次使
同向相加性质，扩大了取值范围
【易错陷阱·避错攻略】
1、在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了
避免这类错误，必须注意
检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；
尽量多使用等式．
①
②
2、解决思路
一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得.
3、解决步骤
第一步：把所求代数式用条件的代数式
，表示出来，即
．
第二步：列方程组，求出m，n 的值.
第三步：分别求出
和
的取值范围．
第四步：求出
的取值范围．
1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知
，
，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知实数x，y 满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）已知
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选题）已知实数
满足
，
，则 （ ）
A．
的取值范围是
B．
的取值范围是
C．
的取值范围是
D．
的取值范围是
易错归纳03
式不等式
分
【易错陷阱·避错攻略】
1、求解不等式时，一定要注意化简的等价性，如去分母时要保证分母不为0、平方时范围不能变大、两边
同乘（除）一个因式时要注意判断因式的符号等.
2、应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在此过程中，变
形的等价性尤为重要．
1．（2025·新疆·模拟预测）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东聊城·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若“
是
”
“
的充分不必要条件，则实数
”
k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·海南·月考）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
易错归纳04
不等式不等式
成
一元二次
恒
立、有解问题
【易错陷阱·避错攻略】
1、解一元二次不等式的步骤：
第一步：将二次项系数化为正数；
第二步：解相应的一元二次方程；
第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：
未将二次项系数化正，对应错标准形式；
解方程出
①
②
错；
结果未按要求写成集合．
③
2、求解二次型不等式恒成立问题时要注意两个关键点：一看二次项的系数；二看不等式恒成立（有解）
的区间.
1．不等式
“
在
上恒成立”
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
2．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“
，
为假命题，则实数
”
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·四川成都·月考）已知关于x 的不等式
在
上有解，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·河南许昌·期中）
，
恒成立，则实数
的最大值为
（ ）
A．
B．3
C．
D．6
5．已知命题
：
，
；命题
：
，
．若
为假命题，
为真命
题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·黑龙江绥化·期中）命题“
为假命题，则实数
”
的范围为
.
7．（24-25 高三上·北京海淀·月考）若命题对任意
“
为假命题的a 的取值范围是
易错归纳05
不等式
不
含参一元二次
分类讨论
完整
【易错陷阱·避错攻略】
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计
算．
1．解下列关于
的不等式
．
2．解关于
的不等式：
．
3．（23-24 高三上·福建莆田·月考）解关于
的不等式：
.
4．（24-25 高三上·安徽铜陵·月考）设
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)解关于
的不等式
.
5．若函数
，
(1)若不等式
的解集为
，求
的值；
(2)当
时，求
的解集.
6．解关于x 的不等式
.
易错归纳06 基本不等式
等
忽略一正二定三相
【易错陷阱·避错攻略】
1、利用均值不等式求最值遵循的原则：一正二定三等
“
”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲
①
突）
若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始
②
范围.
注：形如
(
0)
a
y
x
a
x
的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单
调性求解．
2、通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面
的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3、利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不
满足使用基本不等式条件的可通过变形来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加
“
”
上一个数，“1”的代换法等.
1．（2025·山东菏泽·一模）“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（23-24 高三下·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，且
，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最大值是
B．函数
的最小值是2
C．函数
的最小值是6 D．若
，则
的最小值是8
1．（24-25 高三上·甘肃临夏·期末）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·河北·三模）已知
，那么以下关于式子
的分析判断正确的选项是（ ）
（1）
；
（2）上式当且仅当
即
时，等号成立；
（3）所以当
时，
取得最小值
A．以上全正确
B．（1）错
C．（2）错
D．（3）错
4．（23-24 高三上·天津滨海新·期末）设
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高三上·江苏·月考）下列命题中正确的是（ ）
A．当
时，
的最小值为2
B．当
时，
C．当
时，
的最小值为2 D．当
时，
7．已知命题
：
，
；
：
，
.均为真命题，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·江苏南通·月考）若变量x，y 满足约束条件
，
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若
满足
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（23-24 高三上·山东青岛·期末）若命题“
，
为真命题，则实数
”
a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
11．（24-25 高三下·海南省直辖县级单位·月考）（多选题）下列命题中，正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
， 则
C．若
，则
D．
则
12．（24-25 高三上·江西南昌·月考）（多选题）设
，则下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
13．（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．当
且
时，
B．当
时，
C．当
时，
的最小值为
D．当
时，
无最小值
14．（23-24 高三上·河南洛阳·月考）（多选题）已知
，
，则下列选项中正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．设
，那么
的取值范围是 ．
16．（24-25 高三下·上海·月考）若不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围为
.
17．当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是 .
18．（24-25 高三上·甘肃白银·月考）已知关于
的一元二次不等式
的解集为
(1)求
和
的值
(2)求不等式
的解集
19．若
，解关于
的不等式
.
20．设函数
(1)若不等式
对一切实数
恒成立，求
的取值范围；
(2)解关于
的不等式：
.
21．设关于x 的二次函数
．
(1)若不等式
在
上恒成立，求实数m 的取值范围.
(2)解不等式
；
