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§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、
平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
1.基本事实1：过 的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
2.“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面.
3.空间中直线与直线的位置关系
{
共面直线{
直线:在同一平面内,有且
只有一个公共点;
直线:在同一平面内,
没有公共点;
异面直线:不同在一个平面内,
没有公共点.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
个
平行
个
在平面内
个
平面与平面
平行
个
相交
个
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .
6.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所
成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).
(2)范围： .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )
(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
(4)两两相交的三条直线共面.( )
2.用符号表示“点A 不在直线m 上，直线m 在平面α 内”，正确的是( )
A.A∉m，m⊂α
B.A∉m，m∈α
C.A⊄m，m⊂α
D.A⊄m，m∈α
3.(多选)下列命题正确的是( )
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.两条相交直线确定一个平面
D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的
角为 .
(1)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
(2)异面直线所成角的范围：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，可能等于两异面直线所成的
角，也可能等于其补角.
题型一 基本事实的应用
例1 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求
证：
(1)D，B，F，E 四点共面；
(2)若A1C 交平面DBFE 于点R，则P，Q，R 三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
跟踪训练1 如图，已知空间四边形ABCD，E，F 分别是AB，BC 的中点，G，H 分别在CD 和AD 上，
且满足CG
GD = AH
HD =2.求证：
(1)E，F，G，H 四点共面；
(2)EH，FG，BD 三线共点.
题型二 空间位置关系的判断
例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是( )
A.若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l
B.若α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈l
C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C 不共线⇒α，β 重合
(2)(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O 为正方形ABCD 的中心，当点P 在线段BC1上(不包含
端点)运动时，下列直线中一定与直线OP 异面的是( )
A.AB1
B.A1C
C.A1A
D.AD1
思维升华 判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来
判断.二是排除法.特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平
面内不经过点B 的直线是异面直线.”
跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB 与CD 的位置关系是
( )
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α 内，l2在平面β 内，l 是平面α 与平面β 的交线，则下列结论正
确的是( )
A.l 与l1，l2都不相交
B.l 与l1，l2都相交
C.l 至多与l1，l2中的一条相交
D.l 至少与l1，l2中的一条相交
题型三 异面直线所成的角
例3 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为BD 的中点，则直线B1E 与A1D 所成的角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
(2)如图，已知正四棱锥P-ABCD 的所有棱长均为2，E 为棱PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的
余弦值为( )
A.√6
3
B.√3
3
C.1
3
D.√2
2
思维升华 异面直线所成角的求法
方法
解读
平移法
将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的
平行线或者作平行线，形成三角形求解
补形法
在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相
应的位置，形成三角形求解
跟踪训练3 (1)(2025·崇明模拟)已知底面半径为1 的圆柱，O 是其上底面圆心，A，B 是下底面圆周上
两个不同的点，BC 是母线.若直线OA 与BC 所成角的大小为π
3 ，则BC= .
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，异面直线BD 与AC1所成角的余弦值为1
5，则该
长方体外接球的表面积为( )
A.90π
B.196π
C.784π
D.1 372π
3
答案精析
间的位置关系
落实主干知识
1.不在一条直线上 两个点 一条
2.相交 平行
3.相交 平行 任何
4.a∩α=A 1 a∥α 0 a⊂α 无数
α∥β 0 α∩β=l 无数
5.相等或互补
6.(2)(0，π
2]
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.A 3.CD 4.60°
探究核心题型
例1 证明 (1)如图所示，
连接B1D1.因为EF 是△C1D1B1的中位线，
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD，
所以EF，BD 确定一个平面，
即D，B，F，E 四点共面.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，
又设平面BDEF 为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q 是α 与β 的公共点，
同理，P 是α 与β 的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R，
所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R 三点共线.
(3)因为EF∥BD 且EF<BD，
所以DE 与BF 相交，设交点为M，
则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，
得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1，
所以M∈CC1.
所以DE，BF，CC1三线交于一点.
跟踪训练1 证明 (1)因为E，F 分别为AB，BC 的中点，
所以EF∥AC.
又因为CG
GD = AH
HD ，
所以GH∥AC.
所以EF∥GH，
所以E，F，G，H 四点在同一平面内，
即E，F，G，H 四点共面.
(2)因为E，F 分别为AB，BC 的中点，
所以EF∥AC，EF=1
2AC.
由题意知CG
GD = AH
HD =2，HG∥AC，HG=1
3AC，
所以四边形EFGH 为梯形，直线EH 和FG 必相交，设交点为M，
即EH∩FG=M，
因为EH⊂平面ABD，
所以点M∈平面ABD，
同理可得点M∈平面BCD.
又因为平面ABD∩平面BCD=BD，
所以点M∈直线BD，
所以直线EH，FG，BD 三线共点.
例2 (1)ABD [对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β=l，由基本事实3 可知M∈l，A 对；
对于B，若a⊂α，b⊂β，a∩b=A，
则A∈α，A∈β，因为α∩β=l，所以A∈l，B 对；
对于C，若l∩α=A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C 错；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β 中，故α，β 重合，D 对.]
(2)BCD [对于A，如图①，连接AB1，C1D，BD，
当P 为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A 不正确；
对于B，如图②，连接A1C，A1C1，AC，
因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，
所以直线A1C 与直线OP 一定是异面直线，故B 正确；
对于C，如图②，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，
所以直线A1A 与直线OP 一定是异面直线，故C 正确；
对于D，如图③，连接AD1，D1C，AC，
因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，
所以直线AD1与直线OP 一定是异面直线，故D 正确.]
跟踪训练2 (1)D [根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，
由图可知AB 与CD 有相交、平行、异面三种情况.]
(2)D [如图1，l1与l2是异面直线，l1与l 平行，l2与l 相交，故A，B 不正确；如图2，l1与l2是异面直线，
l1，l2都与l 相交，故C 不正确.]
例3 (1)A [如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1B1=DC，A1B1∥DC，所以四边形A1B1CD 为平行四边形，
则有A1D∥B1C，
所以直线B1E 与A1D 所成的角等于直线B1E 与B1C 所成的角，
设正方体的棱长为2，则BB1=2，BE=CE=√2，B1C=2√2，
B1E=√B B1
2+ B E
2=√6，
在△EB1C 中，cos∠EB1C
=B1 E
2+ B1C
2-C E
2
2B1 E·B1C
=√3
2 ，
所以∠EB1C=30°.
所以直线B1E 与A1D 所成的角为30°.]
(2)B [连接AC，取AC 的中点O，连接OE，OB，
由题意知，EO∥PC，则异面直线BE 与PC 所成的角为∠BEO(或其补角)，
在△BEO 中，EO=1，BO=√2，BE=√3，
则cos∠BEO=B E
2+ EO
2- BO
2
2BE·EO
=√3
3 ，
则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为√3
3 .]
跟踪训练3 (1)√3
3
解析 如图所示，过A 作母线AD，连接OD，则∠OAD 为直线OA 与BC 所成的角，
则∠OAD=π
3 ，
在Rt△OAD 中，
可得AD=
1
tan π
3
=√3
3 ，
即BC=√3
3 .
(2)B [连接AC 与BD 交于O 点，则O 为AC 中点，
取CC1的中点E，连接BE，OE，则AC1∥OE，
所以∠EOB 为异面直线BD 与AC1所成的角(或补角)，
设CE=x，AB=8，AD=6，则BE=√x
2+36，OB=OC=5，OE=√25+ x
2，
在△OBE 中，由余弦定理得BE2=OB2+OE2-2OB×OE×cos∠EOB，
若cos∠EOB=1
5 ，
则36+x2=25+25+x2-2√25+ x
2，
解得x=2√6(负值舍去)，
若cos∠EOB=-1
5 ，则36+x2=25+25+x2+2√25+ x
2，方程无解，
所以CC1=2x=4√6，
所以长方体的体对角线长为√36+64 +96=14，
所以长方体的外接球的半径R=7，
所以长方体外接球的表面积
S=4πR2=196π.]
