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题型03 力与曲线运动
力与曲线运动是力与运动关系的深化，是高考物理重点板块，也是高考中的高频必考点。，选
择题侧重基础概念与规律，如曲线运动条件、平抛运动规律、平抛运动与斜面的结合、斜抛运动、
圆周运动的运动学和动力学规律等，通过结合生活实例或简单情境，考查学生对概念的理解与运用
能力。计算题则注重综合应用，常将曲线运动与牛顿运动定律、能量观点结合，如平抛与竖直上抛
组合等，考查学生分析复杂物理过程、建立物理模型及运用数学工具解决问题的能力。情境化命题
趋势显著，如“打水漂”、“弹射装置”、“过山车”等真实场景频繁出现，要求考生具备模型建
构与多过程拆解能力。
考向01 曲线运动特点及运动的合成与分解
目录
第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局
第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学
典例引领
方法透视
变式演练
考向01 曲线运动特点及运动的合成与分解【重】
考向02 平抛运动及其规律的应用【重】
考向03 平抛运动临界与极值问题【重难】
考向04 斜抛运动问题
考向05 圆周运动的运动学问题【重难】
考向06 圆周运动的动力学问题【重难】
考向07 圆周运动的临界问题【重难】
第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战
【例1-1】（2025·湖南高考真题）. 如图，物块以某一初速度滑上足够长
固定光滑斜面，物块的水平位
移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、
、
表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正
确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运
动，设初速度为
，加速度为
大小
，斜面倾角为
，物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为
，加速度大小为
，则有
整理可得
可知，
图像为类似抛物线的一部分，A、B 项错误；物块在竖直方向上做匀减速直线运动，速度为
，加速度大小为
，则有
整理可得
可知，
图像为类似抛物线的一部分，故C 项正确，D 项错误。
【例1-2】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳
一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v 相向运动。为使
塔块沿竖直方向匀速下落，则v（ ）
A．一直减小
B．一直增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】B
【详解】设两边绳与竖直方向的夹角为
，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为
，将
沿绳方向和垂
直绳方向分解，将
沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得
解得
由于塔块匀速下落时
在减小，故可知v 一直增大。
故选B。
1.合外力与轨迹、速度间的关系分析思路
2. 求解小船渡河问题思路
3.绳（杆）关联速度问题解题思路
【变式1-1】（2025 广东省佛山市禅城区高三二模）图甲为一种常见的3D 打印机的实物图，打印喷头做x
轴、y 轴和z 轴方向的运动，
时，打印喷头从打印平台的中心开始运动，在x 轴方向的位移-时间图像
和y 轴方向的速度-时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A.
末喷头的速度大小为
B. 喷头运动轨迹可能是图丁中的轨迹P
C.
末喷头速度方向与x 轴正方向的夹角为
D.
末喷头离打印平台中心的距离为
【答案】BCD
【解析】由图乙可知，在x 轴方向做匀速直线运动，速度大小为
由图丙可知，在y 轴方向做匀加速直线运动，加速度大小为
末喷头在y 轴的分速度大小为
末喷头的速度大小为
故A 错误；由以上分析可知，喷头在x 轴方向做匀速直线运动，在y 轴方向做匀加速直线运动，所以合力
沿y 轴方向，所以轨迹可能为P ，故B 正确；
末喷头沿y 轴方向的分速度大小为
设
末喷头速度方向与x 轴正方向的夹角为
，则
解得
故C 正确；末喷头沿x 轴的位移大小为
在y 轴方向的位移大小为
所以，
末喷头离打印平台中心的距离为
，故D 正确。
【变式1-2】（2025·天津和平·二模）建筑工地常用如图所示装置将建材搬运到高处，光滑杆竖直固定在地
面上，斜面体固定在水平面上，配重P 和建材Q 用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，配重P 穿过光滑竖直杆，
建材Q 放在斜面体上，且轻绳与斜面平行，开始时建材静止在斜面上，之后增加配重质量，建材沿斜面上
滑，下列分析正确的是（ ）
A．当P、Q 滑动时，则P、Q 速度大小一定相等
B．当P、Q 滑动时，P 减小的机械能一定等于Q 增加的机械能
C．当P、Q 静止时，细线上的拉力一定大于竖直杆对P 的弹力
D．当P、Q 静止时，斜面对Q 的摩擦力可能斜向下
【答案】CD
【详解】A．根据题意可知，当P、Q 滑动时，
沿绳方向的分速度大小与
的速度大小相等，故A 错误；
B．
与斜面之间有摩擦力，当P、Q 滑动时，P 减小的机械能等于Q 增加的机械能和因
与斜面之间摩
擦产生的热之和，则P 减小的机械能一定大于Q 增加的机械能，故B 错误；
C．由于竖直杆光滑，则当P 静止时，绳子一定不能与杆垂直，则绳子拉力沿水平的分力等于竖直杆对P 的
弹力，即细线上的拉力一定大于竖直杆对P 的弹力，故C 正确；
D．当P、Q 静止时，若绳子的拉力大于
重力沿斜面向下的分力，则
有向上的运动趋势，斜面对Q 的
摩擦力沿斜面向下，故D 正确。
故选CD。
考向02 平抛运动规律及应用
【例2-1】（2025·云南高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O 点水平抛出，两只小鸟分别在空中
的M 点和N 点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（ ）
A. 两颗鸟食同时抛出
B. 在N 点接到的鸟食后抛出
C. 两颗鸟食平抛的初速度相同
D. 在M 点接到的鸟食平抛的初速度较大
【答案】D
【解析】鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有
由于hM < hN，则tM < tN，要同时接到鸟食，则在N 点接到的鸟食先抛出，A、B 项错误；在水平方向有x
= v0t，如图
过M 点作一水平面，可看出在相同高度处M 点的水平位移大，则M 点接到的鸟食平抛的初速度较大，C
项错误、D 项正确。
【例2-2】（2024·安徽·高考真题）在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模
型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距
离约为l。假设抽水过程中H 保持不变，水泵输出能量的
倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已
知水的密度为
，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设水从出水口射出的初速度为
，取时间内的水为研究对象，该部分水的质量为
根据平抛运动规律
解得
根据功能关系得
联立解得水泵的输出功率为
故选B。
1. 平抛运动的分解方法与注意问题
（1）求解平抛运动关键是将速度或位移分解，具体讲，如果已知速度或其夹角则分解速度，若已知位移
或其夹角则分解位移，
（2）在斜面、竖直面、弧面上平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，
应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。
（3）要特别注意区题中速度的偏转角和位移的偏转角。
2.两物体平抛运动的几个结论
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水
平分运动。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平
分运动和竖直高度差决定。
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运
动和竖直分运动。
(4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。
3.斜面上的平抛运动两种方法建坐标系
【变式2-1】 (2025·四川省成都市高三二诊）如图（a）所示，一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。
打开花洒后，如图（b）所示，水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度大小相同，从花洒
中喷出的水落于水平地面（
分别为最左、最右端两落点），不计空气阻力。落点区域俯视图的形状
最可能的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】.C
【解析】设水龙头最低点离地面的高度为h，水龙头的半径为R，水滴距离地面的高度为
，初速度
为
，则有
，
解得
，其中
由于y 均匀增加时，x 不是均匀增加，且x 增加得越来越慢，所以俯视的形状为C 图。
故选C。
【变式2-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，磁极和铁芯之间存在辐向磁场，圆弧ABC 和
位
于以O 点为圆心的竖直圆周上，圆的半径为
，A、C 等高，
，圆面处的磁感强度为
。
质量为
，长度为1m 的导体棒P 始终通以垂直纸面向外的大小为1A 的恒定电流，导体棒由A 点静止
释放，经C 点时以速度v 离开磁场区域，落在倾角为
斜面上的E 点。不计一切摩擦和空气阻力，重力
加速度大小g 取
，则（ ）
A．导体棒离开C 点的速度大小为
B．导体棒从C 点到E 点时间为
C．CE 距离为
D．导体棒在E 点的速度方向与斜面的夹角为
【答案】C
【详解】A．导体棒从A 运动到C 过程，由动能定理可得
解得
，故A 错误；
B．由几何关系可知，v 与斜面垂直，以斜面方向建立x 轴，v 方向建立y 轴，如下图所示。则有
，故B 错误；
C．导体棒可看成沿斜面方向做初速度为零的匀加速直线运动，则
故C 正确；
D．如下图所示，导体棒可看成沿斜面方向做初速度为零的匀加速直线运动，则导体棒在E 点时，沿x 轴、
y 轴的速度分别为
，
则导体棒在E 点的速度方向与斜面的夹角满足
则
，故D 错误
故选C。
考向03 平抛运动临界与极值问题
【例3-1】（2023·全国·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远
方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角
不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h 处水平抛出，抛出速度的最小值为
多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【答案】
【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有
可得落到水面上时的竖直速度
由题意可知
即
石子抛出速度的最小值为
。
【例3-2】（2026.·安徽省合肥市合肥皖智高级中学高三第二次阶段性检测）如图1 为一个网球场的示意图，
一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网
高1m。图2 为对应的俯视图，其中
，
。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区
域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为
（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如图所示
网球从A 点发出后落在C 点。网球从A 点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有
，解得
若网球恰不触网，则有
解得
网球在水平方向上做匀速直线运动，即
因
与
为相似三角形，则有
因
、
，可得
则发球机有效发球时发出网球的最小速率为
故选项A 正确。
【变式3-1】（2025.·山东省济南市高三一模）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的
支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同
方向发射相对发射器速度大小为v2（v2>v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为
x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法
正确的是（ ）
A. x 的最小值为
B. x 的最小值为
C. y 的最小值为
D. y 的最小值为
【答案】C
【解析】 弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当v2垂直竖直墙壁射出时，弹珠运
动时间最短
y 的最小值为
，C 项正确，D 项错误；由于
则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁，合速度大小为
此时x 的最小值为L，A、B 项错误。
【变式3-2】（2025·广东深圳·二模）如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m 高空悬停着上万只无人
机形成无人机群（可视为质点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以
初速度
抛出炸弹，在距离地面2000m 处设置面积为
的拦截炸弹区，不计空气阻力，以面
积比为拦截炸弹比，取
，
，则拦截炸弹比约为（ ）
A．0.5
B．0.25
C．0.05
D．0.025
【答案】D
【解析】平抛的炸弹水平运动最远，到达拦截区，根据平抛运动规律可知
，
，以面积比为拦截炸弹比，拦截炸弹比约为
，故选项D 正确。
考向04 斜抛运动问题
【例4-1】（2025·湖北高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高
度分别为
、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为
θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】两网球水平方向上做匀速直线运动，分解速度v0 x = v0cosθ
根据匀速直线运动规律，x = v0 xt 有
设球网高度为h，根据匀变速直线运动规律
则对A 点发出的球，有
对B 点发出的球，有
联立以上各式，可得
，C 项正确。
【例4-2】（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，
与水平方向的夹角为30°，抛出点P 和落点Q 的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽
略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动时间为
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ 连线的最远距离为10m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45m
【答案】BD
【详解】AC．将初速度分解为沿
方向分速度
和垂直
分速度
，则有
，
将重力加速度分解为沿
方向分速度
和垂直
分速度
，则有
，
垂直
方向根据对称性可得重物运动时间为
重物离PQ 连线的最远距离为
故AC 错误；
B．重物落地时竖直分速度大小为
则落地速度与水平方向夹角正切值为
可得
故B 正确；
D．从抛出到最高点所用时间为
则从最高点到落地所用时间为
轨迹最高点与落点的高度差为
故D 正确。故选BD。
1.斜上抛运动研究方法
（1）采用运动的分解法研究斜上抛运动，根据斜上抛运动过程中加速度不变是分析问题的基础题。
（2）不计空气阻力，在空中做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，根据水平方向的运动规律求解。
（3）斜上抛运动到最高点时只有水平速度，竖直速度为零。因此对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运
动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。
2．斜上抛运动的极值
（1）物体的射高ym＝＝
（2）上升时间t＝，物体运动的总时间t 总＝
（3）物体的射程xm＝，对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。
【变式4-1】 （2025.·广东省肇庆市高三一模）如图甲为一种名为“喊泉”的游乐设施，游客对着池边的话
筒大声呼喊时，水池中的喷口就会有水倾斜喷出（可认为水恰好从水面喷出）。如图乙，某次呼喊时，水
柱在空中的射高为11.25 m，已知喷口与水面的夹角为45°，重力加速度取10 m/s2，不计空气阻力。下列说
法正确的是（ ）
A. 在最高点的水的速率不为零
B. 在最高点的水的重力的瞬时功率不为零
C. 水在空中运动时先超重后失重
D. 水柱的水平射程为22.5 m
【答案】A
【详解】水喷出后做的是斜抛运动，竖直方向上做竖直上抛运动，由
可求得从射出到最高点的过程用时1.5 s，射出时水在竖直方向的分速度大小
水在水平方向做匀速直线运动，在水平方向的分速度大小
水在最高点时竖直方向的分速度变为0，只有水平方向的分速度15 m/s，A 正确；
在最高点时速度沿水平方向，与重力方向垂直，其重力的瞬时功率为零，B 错误；
水在空中的加速度一直向下，所以一直处于失重状态，C 错误；根据斜抛运动的对称性可知，水柱在空中
的运动时间为3 s，所以水平射程为
，D 错误。
【变式4-2】（2026·黑龙江辽宁·一模）滑雪跳台场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台
滑雪雪道示意图，
段为助滑道和起跳区，
段为倾角
的着陆坡。运动员从助滑道的起点
由
静止开始下滑，到达起跳点
时，借助设备和技巧，以与水平方向成
角起跳角的方向起跳，最
后落在着陆坡面上的
点。已知运动员在
点以
的速率起跳，轨迹如图，不计一切阻力，
取
。求：
(1)运动员在空中运动的最高点到起跳点
的距离；
(2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小；
【答案】(1)
；(2)
【详解】（1）从O 点起跳后运动员做斜抛运动，水平速度分量为
竖直方向分量为
运动员到达最高点时竖直速度减为零，所用时间为
水平位移
竖直位移
运动员在空中运动的最高点到起跳点
的距离
（2）运动员离着陆坡面的距离最大时速度的方向应与斜面平行，即
此时的速度为
考向05 圆周运动的运动学问题
【例5-1】（2025·山东·高考真题）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面
上以O 点为圆心，半径R1=5m 的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m 的空中绕O′点、
平行地面做半径R2=3m 的匀速圆周运动，A、B 为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初
速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿
圆周运动经过A 点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质
点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．无人机运动到B 点时，在A 点释放的物品已经落地
D．无人机运动到B 点时，在A 点释放的物品尚未落地
【答案】BC
【详解】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向
可得
要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足
最大角速度等于
联立可得
故A 错误，B 正确；
CD．无人机从A 到B 的时间
由于t′>t
可知无人机运动到B 点时，在A 点释放的物品已经落地，故C 正确，D 错误。
故选BC。
【例5-2】（2025·福建·高考真题）春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q 两点，圆心为O，
，手绢做匀速圆周运动，则（ ）
A．P、Q 线速度之比为
B．P、Q 角速度之比为
C．P、Q 向心加速度之比为
D．P 点所受合外力总是指向O
【答案】AD
【详解】B．手绢做匀速圆周运动，由图可知
、
属于同轴传动模型，故角速度相等，即角速度之
比为
，B 错误；
A．由
可知，
、
线速度之比
得A 正确；
C．由
可知，
、
向心加速度之比
得C 错误；
D．做匀速圆周运动的物体，其合外力等于向心力，故合力总是指向圆心
，D 正确。
故选AD。
1．圆周运动各物理量间的关系
2.求解传动问题的思路：
(1)分清传动特点：若属于皮带传动、齿轮传动或摩擦传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同
轴转动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系。
(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析；若角速度大小相等，则根据v∝r 分析。
【变式5-1】（2025·陕西渭南·二模）如图所示，半径为R 的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。
一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且
相距为h，则下列说法正确的是（ ）
A．子弹在圆筒中的水平速度为
B．子弹在圆筒中的水平速度为
C．圆筒转动的角速度可能为
D．圆筒转动的角速度可能为
【答案】AC
【详解】AB．子弹做平抛运动，在竖直方向上
可得子弹在圆筒中运动的时间
水平方向子弹做匀速运动，因此水平速度
A 正确，B 错误；
CD．因子弹从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，则圆筒转过的角度为
（n 取
1、2、3……）
则角速度为
故角速度可能为
，不可能为
，C 正确，D 错误。
故选AC。
【变式5-2】（2026·湖南邵阳·一模）中国已经是汽车大国，2022 年中国汽车总销量为2750 万辆。如图甲
是汽车发动机的结构图，其中正时系统对发动机的正常运行起到至关重要的作用。图乙是其简化图，
、
是皮带轮边缘上的点，
和
同轴，且
，当系统匀速转动时，以下说法正确的是（ ）
A.
点的线速度是
点的两倍
B.
点的角速度是
点的两倍
C.
点的转速是
点的两倍
D.
点的向心加速度是
点的四倍
【答案】D
【解析】
【详解】AB．
、
是皮带轮边缘上的点，则有
，根据
，可得
和
同轴，则有
，根据
，可得
联立可得
，
故AB 错误；
C．根据
，可得
故C 错误；
D．根据
可得
故D 正确。
考向06 圆周运动的动力学问题
【例6-1】．（2025·山东·高考真题）某同学用不可伸长的细线系一个质量为
的发光小球，让小球在
竖直面内绕一固定点做半径为
的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时
间为
。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径
的圆弧形径迹。根据以上数据估算小
球在最低点时细线的拉力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意可知在曝光时间内小球运动的长度为
近似认为在曝光时间内小球做匀速直线运动，故有
在最低点根据牛顿第二定律有
代入数据解得T=7N 故选C。
【例6-2】．（2023·福建·高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转
轴
上的O 点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O 点，另一端与套在杆上的
圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。
已知细杆长度
，杆与竖直转轴的夹角a 始终为
，弹簧原长
，弹簧劲度系数
，圆环质量
；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取
，摩擦力可忽略不计
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O 点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P 时，细杆匀速转动的角速度大小。
【答案】（1）0.05m；（2）
；（3）
【详解】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得
根据胡克定律
得
弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O 点的距离
（2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛
顿第二定律得
由几何关系得圆环此时转动的半径为
联立解得
（3）圆环处于细杆末端P 时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得
对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有
，
由几何关系得
联立解得
“一、二、三、四”求解圆周运动动力学问题
【变式6-1】（2025·广东深圳·一模）如图所示，分别用长度相等的细线将质量相同的1、2 两个小球悬挂
起来，给两个小球提供不同的水平初速度后，两个小球均在水平面内做匀速圆周运动，形成具有相同摆长
和不同摆角的圆锥摆，两小球均可视为质点且不计空气阻力。则（ ）
A. 球1 的角速度小于球2 的角速度
B. 细线对球1 的拉力大于细线对球2 的拉力
C. 两个小球的向心力大小相等
D. 球1 的线速度大于球2 的线速度
【答案】A
【解析】设圆锥摆的摆长为，与竖直方向的夹角为
，小球的质量均为
，根据牛顿第二定律可得
，其中
，解得
，由图可知，
，所以
，故A 正确；
小球在竖直方向合力为零，根据平衡条件
解得细线对球的拉力大小为
因为
，所以
，故B 错误；小球所受细线拉力与小球重力的合力提供向心力，则向心力大小为
因为
，所以
，故C 错误；小球的线速度为
，因为
，且
，所以
故D 错误
【变式6-2】（2025·广东省佛山市顺德区二模）如图为自行车车轮的气嘴灯原理图，气嘴灯由接触式开关
控制。其结构为弹簧一端固定在顶部A，另一端与重物连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，重物拉
伸弹簧后使点M、N 接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点N 与车轮圆心距离为R，车轮静止且B 端在
车轮最低点时触点M、N 距离为0.05R。已知A 靠近车轮圆心、B 固定在车轮内臂，重物与触点M 的总质
量为m。弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g。不计接触式开关中的一切摩擦，重物和触点M、N 均视
为质点，则有（ ）
A. 相同转速下，重物质量大小对能否接通LED 灯没影响
B. 转速越大，重物质量越大，LED 灯越容易发光
C. 使得LED 灯发光的最小角速度为
D. 若气嘴灯在最低点能发光，同一转速下在最高点也一定能发光
【答案】BC
【解析】当气嘴灯在最低点时，根据牛顿第二定律可得
可知，角速度相同时，m 越大，弹簧伸长x 越大，灯越容易接通，同时角速度越大，x 越大，灯越容易接
通，故A 错误，B 正确；在最低点静止时有
当M、N 刚接触时有
解得
故C 正确；在最高点，有
由此可知，弹簧
伸长量应小于最低点的伸长量，则气嘴灯不一定能发光，故D 错误。
误
考向07 圆周运动的临界问题
【例7-1】（2024·江苏·高考真题）陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎混炼、成型和煅烧
制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶磁的简化工作台，当陶磁匀速转动时，台面面上掉有陶屑，
陶屑与桌面间的动摩因数处处相同（台面够大），则（ ）
A．离轴OO´越远的陶屑质量越大
B． 离轴OO´越近的陶屑质量越小
C． 只有平台边缘有陶屑
D．离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
【答案】D
【详解】ABC．与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦
力时，根据牛顿第二定律可得
解得
因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO′的距离与陶屑质
量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。故ABC 错误；
D．离轴最远的陶屑其受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由前述分析可知最大的运动半径为
μ 与ω 均一定，故R 为定值，即离轴最远的陶屑距离不超过某一值R。故D 正确。
故选D。
【例7-2】（2025·辽宁·三模）如图所示，有一质量为m 的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略
大于小球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C 为管道的最高点和最低点，B 为管道上与圆心
等高的点，D 为管道上的一点，且D 与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的
是（ ）
A．若小球在A 点的速度大小为
，则外侧管壁对小球有作用力
B．若小球在B 点的速度大小为
，则内侧管壁对小球有作用力
C．若小球在C 点的速度大小为
，则小球对管道的内外壁均无作用力
D．若小球在D 点的速度大小为
，则外侧管壁对小球有作用力
【答案】D
【解析】若小球在A 点的速度大小为
，则小球在A 点只受重力，管壁对小球无作用力，故A 错
误；在B 点，外侧管壁对小球的作用力提供小球做圆周运动的向心力，且有
,故B
错误；在C 点，小球受向下的重力和竖直向上的弹力，该弹力为外壁对小球的作用力，且有
,解得
,故C 错误；在D 点时，若只受重力，则
,解
得
,由于
，故外侧管壁对小球有指向圆心的作用力，故D 正确。
1.水平平面内圆周运动临界问题的分析方法
2.竖直平面内圆周运动临界问题的分析方法
【变式7-1】（20256·山东省烟台市一模）如图所示，一表面粗糙的圆锥形漏斗，其内表面与水平方向之间
的倾角
，有一质量为
的小物块（可视为质点）被放在漏斗内表面上，物块与漏斗竖直轴线的距
离为
，与漏斗倾斜内表面间的动摩擦因数为0.5，现使该漏斗绕竖直方向的转轴匀速转动，要使物块相对
漏斗保持静止，已知重力加速度为
，最大静摩擦等于滑动摩擦力，
，则漏斗转动的角速度
取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【详解】对物体受力分析，当转速较小时，物体有下滑趋势，物体受力情况如图所示，并建立如图所示的
坐标系，则有
联立解得
同理，当转速较大时，物体有上滑趋势，摩擦力沿斜面向下，则有
解得
所以漏斗转动的角速度
取值范围是
【变式7-2】（2025.·河北省保定市十县一中联考） 某趣味运动会中，有一项比赛，规则如下：如图所示，
运动员站在一个固定的大圆筒内，用合适的力度踢一下静止在圆筒最底端的小足球，使小足球在竖直面内
先由最低点沿圆筒向上滚动，然后从某一位置脱离圆筒，如果小足球在下落过程中，恰好落入运动员背后
的小背篓中，即为得分。若圆筒半径为R，小足球质量为m，小足球飞离圆筒位置与圆筒圆心连线和竖直
方向之间的夹角为θ，圆筒内壁不计摩擦，小足球可视为质点，忽略空气阻力，不考虑人对小足球的阻挡，
重力加速度为g，则（ ）
A. 若足球能飞离圆筒，则足球在最低点的初速度的范围应为
B. 若足球在最低点的初速度
，则足球不会飞离圆筒
C. 若希望足球飞离点θ=37°，则足球在最低点的初速度为
D.若θ=45°，则运动员将背篓置于圆心正上方
处，可以接到球
【答案】D
【解析】足球自圆筒最低点向上滚动，根据机械能守恒定律，不脱离轨道，若恰好运动到圆心等高处，设
此时初速度为
，则有
，得
若恰好上到圆筒最高点，设此时初速度为
，球到最高点速度为
有
且在最高点有
，得
故足球可以飞离轨道的初速度应该
A 错误；由上述分析可知，若足球在最低点的初速度
，则足球会飞离圆筒，B 错误；
若足球飞离时，θ=37°，设此时最低点初速度为
，分离时的速度为
，由机械能守恒有
且在分离时刻有
，联立可得
，C 错误；若足球飞离的位置θ=45°，设此时
飞离的速度为
，则有
之后足球做斜上抛运动，其中竖直分速度大小为
，回到飞离等高位置所用的时间为
此过程中水平位移为
，解得
此时足球恰好在圆心正上方
处，D 正确
1．（2023·辽宁·高考真题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮
球所受合力F 的示意图可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧。
故选A。
2．（2023·全国乙卷·高考真题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如
果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】AB．小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，故AB 错误；
CD．小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合外力与运动方向夹角为锐角，C 错误，D
正确。
故选D。
3．（2024·福建·高考真题）先后两次从高为
高处斜向上抛出质量为
同一物体落于
，测得
，两轨迹交于P 点，两条轨迹最高点等高且距水平地面高为
，
下列说法正确的是（ ）
A．第一次抛出上升时间，下降时间比值为
B．第一次过P 点比第二次机械能少
C．落地瞬间，第一次，第二次动能之比为
D．第二次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第一次大
【答案】B
【详解】A．第一次抛出上升的高度为
故上升时间为
最高点距水平地面高为
，故下降的时间为
故一次抛出上升时间，下降时间比值为
，故A 错误；
B．两条轨迹最高点等高，故可知两次从抛出到落地的时间相等为
故可得第一次，第二次抛出时水平方向的分速度分别为
由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度相等为
由于物体在空中机械能守恒，故第一次过P 点比第二次机械能少
故B 正确；
C．从抛出到落地瞬间根据动能定理
故落地瞬间，第一次，第二次动能之比为
，故C 错误；
D．根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同，
由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，故可知第一次抛出时速度与水平方向的夹角较
大，第一次落地时速度与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角
比第二次大，故D 错误。
故选B。
4．（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s 的速度水平冲出平台，恰好跨越长
的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取
，则两平台的高度
差h 为（ ）
A．0.5m
B．5m
C．10m
D．20m
【答案】B
【详解】车做平抛运动，设运动时间为，竖直方向
水平方向
其中
、
解得
故选B。
5．（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。
设低处荷叶a、b、c、d 和青蛙在同一竖直平面内，a、b 高度相同，c、d 高度相同，a、b 分别在c、d 正上
方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（ ）
A．荷叶a
B．荷叶b
C．荷叶c
D．荷叶d
【答案】C
【详解】青蛙做平抛运动，水平方向匀速直线，竖直方向自由落体则有
可得
因此水平位移越小，竖直高度越大初速度越小，因此跳到荷叶c 上面。
故选C。
6．（2024·全国·高考真题）福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹
射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。调整弹射装置，使小车水平离开甲
板时的动能变为调整前的4 倍。忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整
前的（ ）
A．0.25 倍
B．0.5 倍
C．2 倍
D．4 倍
【答案】C
【详解】动能表达式为
由题意可知小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4 倍，则离开甲板时速度变为调整前的2 倍；小车离
开甲板后做平抛运动，从离开甲板到到达海面上时间不变，根据
可知小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的2 倍。
故选C。
7．（2024·江苏·高考真题）喷泉a、b 形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b 的（ ）
A．加速度相同
B．初速度相同
C．最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
【答案】A
【详解】A．不计空气阻力，在喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A 正确；
D．设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为
，水平方向速度为
，竖直方向，根据对称性可知在空中运动
的时间
可知
D 错误；
BC．最高点的速度等于水平方向的分速度
由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速
度的大小，BC 错误；
故选A。
8．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，
在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出
水口的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设出水孔到水桶中心距离为x，则
落到桶底A 点时
解得
故选C。
9．（2023·浙江·高考真题）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时
的加速度大小a、速度大小v、动能Ek 和机械能E 随运动时间t 的变化关系中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A．由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改
变，故A 错误；
B．铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有
则抛出后速度大小为
可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B 错误；
C．铅球抛出后的动能
可知动能与时间不是一次函数关系，故C 错误；
D．铅球水平抛出后由于忽略空气阻力，所以抛出后铅球机械能守恒，故D 正确。
故选D。
10．（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的
谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为
，且轨迹交于
点，
抛出时谷粒1 和谷粒2 的初速度分别为
和
，其中
方向水平，
方向斜向上。忽略空气阻力，关于两
谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．谷粒1 的加速度小于谷粒2 的加速度
B．谷粒2 在最高点的速度小于
C．两谷粒从
到
的运动时间相等
D．两谷粒从
到
的平均速度相等
【答案】B
【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1 的加速度等于谷粒2
的加速度，A 错误；
C．谷粒2 做斜向上抛运动，谷粒1 做平抛运动，均从O 点运动到P 点，故位移相同。在竖直方向上谷粒2
做竖直上抛运动，谷粒1 做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2 运动时间较长，C 错误；
B．谷粒2 做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。
与谷粒1 比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2 水平方向上的速度较小即最高点的速度小于
，B
正确；
D．两谷粒从O 点运动到P 点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1 的平均速度大于谷
粒2 的平均速度，D 错误。
故选B。
11．（2023·全国·高考真题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程
中（ ）
A．机械能一直增加
B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变D．被推出后瞬间动能最大
【答案】B
【详解】A．铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A 错误；
B．铅球的加速度恒为重力加速度保持不变，B 正确；
CD．铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度变
大，则动能越来越大，CD 错误。
故选B。
12．（2023·浙江·高考真题）如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O 点抛出沿轨迹
运动，
其中P 是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小
（ ）
A．O 点最大
B．P 点最大
C．Q 点最大
D．整个运动过程保持不变
【答案】A
【详解】由于空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，小石子在O 点时速度斜向上方，此时速度最大，空气
阻力斜向下方最大，上升过程与竖直方向夹角最小，故此时空气阻力分解在竖直方向最大，根据牛顿第二
定律可知此时竖直方向分运动的加速度最大。
故选A。
13．（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，
以小鱼跃出水面处为坐标原点，x 轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为
，末速度v 沿x 轴正方向．
在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度
和
竖直方向分速度
与时间t 的关系，下列图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】AC．小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即
为定值，则有
水平位移
故A 正确，C 错误；
BD．小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则
，
且最高点时竖直方向的速度为0，故B 错误，D 正确。
故选AD。
14.（2024·安徽·高考真题）一倾角为
足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy 直角坐
标系，如图（1）所示。从
开始，将一可视为质点的物块从O 点由静止释放，同时对物块施加沿x 轴
正方向的力
和
，其大小与时间t 的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g 取
，不计空气阻力。则（ ）
A．物块始终做匀变速曲线运动
B．
时，物块的y 坐标值为2.5m
C．
时，物块的加速度大小为
D．
时，物块的速度大小为
【答案】BD
【详解】A．根据图像可得
，
，故两力的合力为
物块在y 轴方向受到的力不变为
，x 轴方向的力在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速
曲线运动，故A 错误；
B．在y 轴方向的加速度为
故
时，物块的y 坐标值为
故B 正确；
C．
时，
，故此时加速度大小为
故C 错误；
D．对x 轴正方向，对物块根据动量定理
由于F 与时间t 成线性关系故可得
解得
此时y 轴方向速度为
故此时物块的速度大小为
故D 正确。
故选BD。
15．（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀
加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间
内水平方向增加量
，竖直方向做在自
由落体运动，在时间
增加
；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的
倾角就是一定的。
故选D。
16．（2024·广西·高考真题）如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球M 和N。M 水平向右运动，速度
大小为v。M 与静置于平台边缘的N 发生正碰，碰撞过程中总机械能守恒。若不计空气阻力，则碰撞后，N
在（ ）
A．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B．竖直增面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C．水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v
D．水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v
【答案】BC
【详解】由于两小球碰撞过程中机械能守恒，可知两小球碰撞过程是弹性碰撞，由于两小球质量相等，故
碰撞后两小球交换速度，即
，
碰后小球N 做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，即水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v；
在竖直方向上做自由落体运动，即竖直地面上的垂直投影的运动是匀加速运动。
故选BC。
17．（2025·江苏·高考真题）游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以
、
为转轴，在水平面内沿顺
时针方向匀速转动。
固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A 点与
、
恰好在同一
条直线上。则（ ）
A．A 点做匀速圆周运动
B．
点做匀速圆周运动
C．此时A 点的速度小于
点
D．此时A 点的速度等于
点
【答案】B
【详解】A．A 点运动为A 点绕
的圆周运动和
相对于O 的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，
故不做匀速圆周运动，故A 错误；
B．根据题意
固定在底盘上，故可知
围绕O 点做匀速圆周运动，故B 正确；
CD．杯上A 点与
、
恰好在同一条直线上时且
在
延长线上，
点和
点运动运动方向相
同，又A 点相对
点做圆周运动，故此时A 的速度大于
的速度，故CD 错误。
故选B。
18．（2025·广东·高考真题）可视为质点的小球，沿光滑的冰坑内壁滑出，使小球在水平面内做匀速圆周
运动，如图所示。已知圆周运动的轨道半径
，小球所在位置切面与水平面夹角
，
小球质量为
，重力加速度取
。关于小球，以下说法正确的是（ ）
A．角速度为
B．线速度大小为
C．向心加速度大小为
D．所受支持力大小为
【答案】AC
【详解】A．对小球受力分析可知
解得
故A 正确；
B．线速度大小为
故B 错误；
C．向心加速度大小为
故C 正确；
D．所受支持力大小为
故D 错误。
故选AC。
19.（2023·湖南·高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC 由直线段AB 和圆弧段BC 组成，两段
相切于B 点，AB 段与水平面夹角为θ，BC 段圆心为O，最高点为C、A 与C 的高度差等于圆弧轨道的直径
2R。小球从A 点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C 点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A 到C 的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B 点脱离轨道
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C 点，则小球在C 点的速度为
vC = 0
则小球从C 到B 的过程中，有
联立有
FN= 3mgcosα－2mg
则从C 到B 的过程中α 由0 增大到θ，则cosα 逐渐减小，故FN逐渐减小，而小球从B 到C 的过程中，对轨
道的压力逐渐增大，A 正确；
B．由于A 到B 的过程中小球的速度逐渐减小，则A 到B 的过程中重力的功率为
P = －mgvsinθ
则A 到B 的过程中小球重力的功率始终减小，则B 错误；
C．从A 到C 的过程中有
解得
C 错误；
D．小球在B 点恰好脱离轨道有
则
则若小球初速度v0增大，小球在B 点的速度有可能为
，故小球有可能从B 点脱离轨道，D 正确。
故选AD。
20．（2023·北京·高考真题）在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸长
的轻绳一端固定于O 点，另一端系一待测小球，使其绕O 做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力为
F，用停表测得小球转过n 圈所用的时间为t，用刻度尺测得O 点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列
说法正确的是（ ）
A．圆周运动轨道可处于任意平面内
B．小球的质量为
C．若误将
圈记作n 圈，则所得质量偏大
D．若测R 时未计入小球半径，则所得质量偏小
【答案】A
【详解】A．空间站内的物体都处于完全失重状态，可知圆周运动的轨道可处于任意平面内，故A 正确；
B．根据
解得小球质量
故B 错误；
C．若误将n-1 圈记作n 圈，则得到的质量偏小，故C 错误；
D．若测R 时未计入小球的半径，则R 偏小，所测质量偏大，故D 错误。
故选A。
21．（2023·全国·高考真题）一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n 次方成正比，
运动周期与轨道半径成反比，则n 等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】质点做匀速圆周运动，根据题意设周期
合外力等于向心力，根据
联立可得
其中
为常数，的指数为3，故题中
故选C。
22．（2022·北京·高考真题）我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验，提高了青少年科学探
索的兴趣。某同学设计了如下实验：细绳一端固定，另一端系一小球，给小球一初速度使其在竖直平面内
做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验（ ）
A．小球的速度大小均发生变化
B．小球的向心加速度大小均发生变化
C．细绳的拉力对小球均不做功
D．细绳的拉力大小均发生变化
【答案】C
【详解】AC．在地面上做此实验，忽略空气阻力，小球受到重力和绳子拉力的作用，拉力始终和小球的
速度垂直，不做功，重力会改变小球速度的大小；在“天宫”上，小球处于完全失重的状态，小球仅在绳
子拉力作用下做匀速圆周运动，绳子拉力仍然不做功，A 错误，C 正确；
BD．在地面上小球运动的速度大小改变，根据
和
（重力不变）可知小球的向心加速度和拉
力的大小发生改变，在“天宫”上小球的向心加速度和拉力的大小不发生改变，BD 错误。
故选C。
23．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水
面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为
g，h 远大于管口内径。求：
（1）水从管口到水面的运动时间t；
（2）水从管口排出时的速度大小
；
（3）管口单位时间内流出水的体积Q。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向
解得水从管口到水面的运动时间
（2）由平抛运动规律得，水平方向
解得水从管口排出时的速度大小
（3）管口单位时间内流出水的体积
24．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图
（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O 点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘
A 处固定连接一轻绳，轻绳另一端B 连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相
等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度
匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O 点做半
径为
的匀速圆周运动。求
与
之间夹角
的正切值。
（2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕
点做半径为
的匀
速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为
，绳子在水平雪地上的投影
与
的夹角为
。求此时圆盘
的角速度
。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线
方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得
联立解得
（2）设此时轻绳拉力为
，沿
和垂直
竖直向上的分力分别为
，
对转椅根据牛顿第二定律得
沿切线方向
竖直方向
联立解得
25．（2022·福建·高考真题）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的
动作要领。
短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前
用时
。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加
速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为
的匀速圆周运动，速度大小为
。已知武大靖的
质量为
，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，
如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角
的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小
取
，
、
、
、
）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设武大靖运动过程的加速度大小为
，根据
解得
（2）根据
解得过弯时所需的向心力大小为
（3）设场地对武大靖的作用力大小为
，受力如图所示
根据牛顿第二定律可得
解得
可得
