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八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，共40 分）
1．（4 分）下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．5，12，13 B．5，7，12 C．5，7，7 D．4，6，9
2．（4 分）一个正多边形的内角和是1080°，则它是（ ）边形．
A．六
B．七
C．八
D．九
3．（4 分）如图，已知△ABC≌△DEF，则∠C 的对应角为（ ）
A．∠F B．∠AGE
C．∠AEF
D．∠D
4．（4 分）下列四副图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4 分）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（4 分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a8÷a2=a4 B．（﹣m）2•（﹣m3）=
m
﹣
5 C．x3+x3=x6 D．（a3）3=a6
7．（4 分）若a
b=3
﹣
，则a2
2ab
﹣
+b2
6
﹣的值是（ ）
A．12
B．6C．3D．0
8．（4 分）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（ ）
A．（a+1）（a
1
﹣）=a2
1
﹣B．﹣18x4y3=
6x
﹣
2y2•3x2y
C．x2+2x+1=x（x+2x）+1 D．a2
6a
﹣
+9=（a
3
﹣）2
9．（4 分）使代数式
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
10．（4 分）一艘轮船在静水中的最大航速是30km/h，它以最大航速沿江顺流航行
90km 所用时间，与它以最大航速逆流航行60km 所用时间相等．如果设江水的流
速为x km/h，所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共10 小题，共30 分）
11．（3 分）盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根
木条，这是利用了三角形具有 的原理．
12．（3 分）一个多边形的内角和是外角和的2 倍，则这个多边形的边数为 ．
13．（3 分）82016×0.1252015= ．
14．（3 分）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为 ．
15．（3 分）当x= 时，分式
的值为0．
16．（3 分）如图，在△ABC 中，∠A=75°，∠B=30°，则∠ACD= ．
17．（3 分）如图，△ABC 的周长为19cm，AC 的垂直平分线DE 交AC 于点E，E 为垂
足，AE=3cm，则△ABD 的周长为 ．
18．（3 分）如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°，若利用“HL”证明
△ABC≌△ABD，则需要加条件 或 ．
19．（3 分）如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B 的距离，在AB 的垂线BF 上
取两点C、D，使BC=CD，过D 作BF 的垂线DE，与AC 的延长线交于点E，则
∠ABC=∠CDE=90°，BC=DC，∠1= ，△ABC≌ ，若测得DE 的长为25 米，则
河宽AB 长为 ．
20．（3 分）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法
产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4
y
﹣4，因式分解的结果是（x
y
﹣）
（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9 时，则各个因式的值是：（x
y
﹣）=0，（x+y）=18，
（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣
xy2，取x=10，y=10 时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）．
三、解答题（本大题共7 小题，共80 分）
21．（10 分）（1）计算：1122
113
﹣
×111．
（2）解方程：
=
．
22．（10 分）先化简，再求值：（2x+y）（2x
y
﹣）﹣3（2x
y
﹣）2，其中x=1，y=
2
﹣．
23．（10 分）如图，在△ABC 中，∠B=42°，∠C=78°，AD 平分∠BAC．
（1）求∠ADC 的度数；
（2）在图中画出BC 边上的高AE，并求∠DAE 的度数．
24．（10 分）如图，已知AD⊥AB，BC⊥AB，AC 与BD 交于点O，AD=BC．求证：
（1）△ABC≌△BAD．
（2）OA=OB．
25．（12 分）在正方形网格中，△ABC 各顶点都在格点上，点A、C 的坐标分别为
（﹣5，1）、（﹣1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC 关于x 轴对称的△A2B2C2；
（3）点C1的坐标是 ；点C2的坐标是 ．
26．（14 分）计算并观察下列各式：
（x
1
﹣）（x+1）= ；
（x
1
﹣）（x2+x+1）= ；
（x
1
﹣）（x3+x2+x+1）= ；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面
的空格．
（x
1
﹣）（ ）=x6
1
﹣；
（3）利用你发现的规律计算：
（x
1
﹣）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
（4）利用该规律计算1+4+42+43+…+42013= ．
27．
（14 分）某文化用品商店用2000 元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，
商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3 倍，但单价贵了
4 元，结果第二批用了6300 元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120 元，全部售出后，商店共盈利多
少元？
八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，共40 分）
1．（4 分）（2016 秋•望谟县期末）下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（
）
A．5，12，13 B．5，7，12 C．5，7，7 D．4，6，9
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和小于最大的边即可．
【解答】解：A、5+12＞13，能构成三角形；
B、5+7=12，不能构成三角形；
C、5+7＞7，能构成三角形；
D、4+6＞9，能构成三角形．
故选B．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要
满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
2．（4 分）（2016 秋•望谟县期末）一个正多边形的内角和是1080°，则它是（ ）
边形．
A．六
B．七
C．八
D．九
【分析】根据多边形内角和公式结合该多边形内角和为1080°，即可算出该多边形
的边数，由此即可得出结论．
【解答】解：（1080°+360°）÷180°=8，
∴该正多边形为正八边形．
故选C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是牢牢掌握多边形内角和公
式．
3．（4 分）（2016 秋•望谟县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，则∠C 的对应角为（
）
A．∠F B．∠AGE
C．∠AEF
D．∠D
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠C 的对应角为∠F，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三
角形的对应角相等是解题的关键．
4．（4 分）（2016 秋•望谟县期末）下列四副图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用轴对称图形的概念求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择
题中的应用．
【解答】解：轴对称图形的是B，C，D；不是轴对称图形的是A．
故选A．
【点评】此题考查了轴对称图形的定义．注意准确理解轴对称图形的定义是解此
题的关键．
5．（4 分）（2014•盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为
=70°．
故选：D．
【点评】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知
道等腰三角形的两个底角相等．
6．（4 分）（2016 秋•望谟县期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．a8÷a2=a4 B．（﹣m）2•（﹣m3）=
m
﹣
5 C．x3+x3=x6 D．（a3）3=a6
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可得到哪个选项是正确的．
【解答】解：∵a8÷a2=a6，故选项A 错误；
∵（﹣m）2•（﹣m3）=
m
﹣
5，故选项B 正确；
∵x3+x3=2x3，故选项C 错误；
∵（a3）3=a9，故选项D 错误；
故选B．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方
法．
7．（4 分）（2016 秋•望谟县期末）若a
b=3
﹣
，则a2
2ab
﹣
+b2
6
﹣的值是（ ）
A．12
B．6C．3D．0
【分析】由完全平方公式，可得a2
2ab
﹣
+b2
6=
﹣
（a
b
﹣）2
6
﹣，继而求得答案．
【解答】解：∵a
b=3
﹣
，
∴a2
2ab
﹣
+b2
6=
﹣
（a
b
﹣）2
6=3
﹣
2
6=3
﹣
．
故选C．
【点评】此题考查了完全平方公式的应用．注意利用完全平方公式将原式变形为
（a
b
﹣）2
6
﹣是解此题的关键．
8．（4 分）（2016 秋•望谟县期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（
）
A．（a+1）（a
1
﹣）=a2
1
﹣B．﹣18x4y3=
6x
﹣
2y2•3x2y
C．x2+2x+1=x（x+2x）+1 D．a2
6a
﹣
+9=（a
3
﹣）2
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左
到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、左边是单项式，不是因式分解，错误；
C、右边不是积的形式，错误；
D、是因式分解，正确．
故选D．
【点评】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的
积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．
9．（4 分）（2016•瓯海区一模）使代数式
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0，据此即可解不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x
3
﹣≠0，
解得：x≠3．
故选D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分母不等于0，理解有意义的条件是关键．
10．（4 分）（2015•湛江二模）一艘轮船在静水中的最大航速是30km/h，它以最大
航速沿江顺流航行90km 所用时间，与它以最大航速逆流航行60km 所用时间相
等．如果设江水的流速为x km/h，所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设江水的流速为x km/h，则逆流的速度为（30
x
﹣）km/h，顺流的速度为
（30+x）km/h，根据顺流航行90km 所用时间，与逆流航行60km 所用时间相等，列
方程即可．
【解答】解：设江水的流速为x km/h，则逆流的速度为（30
x
﹣）km/h，顺流的速度
为（30+x）km/h，
由题意得，
=
．
故选C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
二、填空题（本大题共10 小题，共30 分）
11．
（3 分）
（2016 秋•望谟县期末）盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先
在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有 稳定性 的原理．
【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根
木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着
广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形
而获得．
12．（3 分）（2016•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是外角和的2 倍，则这个多边
形的边数为
6
．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360 度，多边形的内角和是外角和的2 倍，
则内角和是720 度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解
题的关键．
13．（3 分）（2016 秋•望谟县期末）82016×0.1252015=
8
．
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案．
【解答】解：原式=（8×0.125）2015×8
=8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算和有理数的乘法运算，正确应用积的乘方
运算法则是解题关键．
14．（3 分）（2016 秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为
160
．
【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵x+y=10，xy=16，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．
故答案为：160．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
15．（3 分）（2013•阜宁县校级模拟）当x= ﹣
1
时，分式
的值为0．
【分析】分式的值为0 的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，
缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得x+1=0 且x
1
﹣≠0，
解得x=
1
﹣．
故答案为﹣1．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0 这个条件，所以常以这个知识点来命
题．
16．
（3 分）
（2016 秋•望谟县期末）如图，在△ABC 中，∠A=75°，∠B=30°，则∠ACD=
105°
．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得
解．
【解答】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠B=75°+30°=105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，
是基础题，熟记性质是解题的关键．
17．（3 分）（2016 秋•望谟县期末）如图，△ABC 的周长为19cm，AC 的垂直平分线
DE 交AC 于点E，E 为垂足，AE=3cm，则△ABD 的周长为
13cm
．
【分析】根据垂直平分线的性质计算．△ABD 的周长
=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC．
【解答】解：∵AC 的垂直平分线DE 交BC 于D，E 为垂足
∴AD=DC，AC=2AE=6cm，
∵△ABC 的周长为19cm，
∴AB+BC=13cm
∴△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm．
故答案为：13cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；解决本题的关键是利用线段的垂直
平分线性质得到相应线段相等．
18．（3 分）（2016 秋•望谟县期末）如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°，若利
用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件
BC=BD
或
AC=AD
．
【分析】本题要判定△ABC≌△ABD，已知∠C=∠D=90°，AB=AB，具备了一组边、一
组角相等，故添加∠CAB=∠DAB 或∠CBA=∠DBA，BD=BC 或AD=AC 后可分别根据
AAS、HL 判定三角形全等．
【解答】解：添加∠CAB=∠DAB 或∠CBA=∠DBA，BD=BC 或AD=AC．
∵∠C=∠D，∠CAB=∠DAB（∠CBA=∠DBA），AB=AB
∴△ABC≌△ABD（AAS）；
∵∠C=∠D=90°，AB=AB（AD=AC），BD=BC
∴△ABC≌△ABD（HL）．
故答案为BC=BD 或AC=AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角
形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．（3 分）（2016 秋•望谟县期末）如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B 的距
离，在AB 的垂线BF 上取两点C、D，使BC=CD，过D 作BF 的垂线DE，与AC 的延长
线交于点E，则∠ABC=∠CDE=90°，BC=DC，∠1=
∠
2
，△ABC≌
△
EDC
，若
测得DE 的长为25 米，则河宽AB 长为
25
米
．
【分析】已知直角三角形中，一锐角相等，又有一直角边相等，所以可得到其全等，
然后由全等的性质得到何宽AB 的长度．
【解答】解：∵CD=BD，∠1=∠2，∠ABC=∠CDE=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC，
∴AB=DE，
∴AB=25 米
故填∠2，△EDC，25 米．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；认真观察图形，找出已知条件，把实际问
题转化为数学问题解决是正确解答本题的关键．
20．（3 分）（2005•浙江）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因
式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4
y
﹣4，因式分解的结
果是（x
y
﹣）
（x+y）
（x2+y2），若取x=9，y=9 时，则各个因式的值是：
（x
y
﹣）=0，
（x+y）
=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式
4x3
xy
﹣
2，取x=10，y=10 时，用上述方法产生的密码是：
101030
或
103010
或
301010
（写出一个即可）．
【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后
整体代入即可．
【解答】解：4x3
xy
﹣
2=x（4x2
y
﹣2）=x（2x+y）（2x
y
﹣），
当x=10，y=10 时，x=10；2x+y=30；2x
y=10
﹣
，
用上述方法产生的密码是：101030 或103010 或301010．
故答案为：101030 或103010 或301010．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式
分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想
和正确运算的能力．
三、解答题（本大题共7 小题，共80 分）
21．（10 分）（2016 秋•望谟县期末）（1）计算：1122
113
﹣
×111．
（2）解方程：
=
．
【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
（2）通过去分母，移项、合并同类项以及化系数为1 进行解答；
【解答】解：（1）原式=1122﹣（112+1）×（112
1
﹣）=1122﹣（1122
1
﹣）=1122﹣
1122+1=1．
（2）分式方程两边乘以（x+2）（x
2
﹣）得，
3（x+2）=x
2
﹣，
x=
4
﹣．
检验，当x=
4
﹣时，（x+2）（x
2
﹣）≠0
所以原分式方程的解是x=
4
﹣．
【点评】此题考查了解分式方程、平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关
键．
22．
（10 分）
（2016 秋•望谟县期末）先化简，再求值：
（2x+y）
（2x
y
﹣）﹣3（2x
y
﹣）2，
其中x=1，y=
2
﹣．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，
把x 与y 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=4x2
y
﹣2
3
﹣（4x2
4xy
﹣
+y2）=4x2
y
﹣2
12x
﹣
2+12xy
3y
﹣
2=
8x
﹣
2+12xy
4y
﹣
2，
当x=1，y=
2
﹣时，原式=
8
24
16=
48
﹣﹣
﹣
﹣
．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
23．（10 分）（2016 秋•望谟县期末）如图，在△ABC 中，∠B=42°，∠C=78°，AD 平分
∠BAC．
（1）求∠ADC 的度数；
（2）在图中画出BC 边上的高AE，并求∠DAE 的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，由角平分线
的性质得到∠BAD=
∠BAC=30°，根据三角形的外角的想自己看得到结论；
（2）过A 作AE⊥BC 于E，根据垂直的定义得到∠AEB=90°，根据三角形的外角的性
质即可得到结论．
【解答】（1）∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=
∠BAC=30°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=42°+30°=72°；
（2）如图所示，过A 作AE⊥BC 于E，
∴∠AEB=90°，
∴∠DAE=180°﹣∠AED﹣∠ADE=180°
90°
72°=18°
﹣
﹣
．
【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟记三角形的内角和是解
题的关键．
24．（10 分）（2016•瓯海区一模）如图，已知AD⊥AB，BC⊥AB，AC 与BD 交于点O，
AD=BC．求证：
（1）△ABC≌△BAD．
（2）OA=OB．
【分析】（1）根据垂直得：∠DAB=∠ABC=90°，所以根据SAS 证明△ABC≌△BAD；
（2）由（1）中的全等得：∠OAB=∠OBA，根据等角对等边可得结论．
【解答】证明：（1）∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∵AD=BC，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）；
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，比较简单，属于基础题；熟练掌握
全等的判定方法是解题的关键：①SSS，②SAS，③AAS，④ASA；还要知道全等判
定中的隐含条件：公共边、公共角和对顶角等．
25．（12 分）（2016 秋•望谟县期末）在正方形网格中，△ABC 各顶点都在格点上，
点A、C 的坐标分别为（﹣5，1）、（﹣1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列
问题：
（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC 关于x 轴对称的△A2B2C2；
（3）点C1的坐标是 （
1 ，
4 ）
；点C2的坐标是 （﹣
1 ，﹣
4 ）
．
【分析】（1）找出对称点A1、B1、C1，连点成线即可得出结论；
（2）找出对称点A2、B2、C2，连点成线即可得出结论；
（3）根据点C 的坐标，结合对称点的特点即可找出点C1、C2的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1，如图1 所示．
（2）画出△ABC 关于x 轴对称的△A2B2C2，如图2 所示．
（3）∵点C 的坐标为（﹣1，4），
∴点C1的坐标是（1，4）；点C2的坐标是（﹣1，﹣4）．
故答案为：（1，4）；（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了作图中的轴对称变换，熟练掌握图形关于某直线对称图形的
画法是解题的关键．
26．（14 分）（2016 秋•望谟县期末）计算并观察下列各式：
（x
1
﹣）（x+1）=
x 2 1
﹣
；
（x
1
﹣）（x2+x+1）=
x 3
1
﹣
；
（x
1
﹣）（x3+x2+x+1）=
x 4 1
﹣
；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面
的空格．
（x
1
﹣）（
x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
）=x6
1
﹣；
（3）利用你发现的规律计算：
（x
1
﹣）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=
x 7
1
﹣
；
（4）利用该规律计算1+4+42+43+…+42013=
（
4 2014
1
﹣
）
．
【分析】（1）利用平方差公式，依此类推得到结果即可；
（2）利用发现的规律填写即可；
（3）利用得出的规律计算得到结果；
（4）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【解答】解：（1）（x
1
﹣）（x+1）=x2
1
﹣；
（x
1
﹣）（x2+x+1）=x3
1
﹣；
（x
1
﹣）（x3+x2+x+1）=x4
1
﹣；
（2）（x
1
﹣）（x5+x4+x3+x2+x+1）=x6
1
﹣；
（3）利用你发现的规律计算：
（x
1
﹣）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7
1
﹣；
（4）1+4+42+43+…+42013=
×（4
1
﹣）×（1+4+42+43+…+42013）=
（42014
1
﹣）．
故答案为：（1）x2
1
﹣；x3
1
﹣；x4
1
﹣；（2）x5+x4+x3+x2+x+1；（3）x7
1
﹣；（4）（42014﹣
1）．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
27．（14 分）（2011•营口）某文化用品商店用2000 元购进一批学生书包，面市后
发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3
倍，但单价贵了4 元，结果第二批用了6300 元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120 元，全部售出后，商店共盈利多
少元？
【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键
描述语是：“数量是第一批购进数量的3 倍”；等量关系为：6300 元购买的数量
=2000 元购买的数量×3．
（2）盈利=总售价﹣总进价．
【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价是x 元．
则：
×3=
．
解得：x=80．
经检验：x=80 是原方程的根．
答：第一批购进书包的单价是80 元．
（2）
×（120
80
﹣
）+
×（120
84
﹣
）=3700（元）．
答：商店共盈利3700 元．
【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量
来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合
适的等量关系是解决问题的关键．
