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(二)客观题满分限时练
限时练1(时间:45 分钟,分值:73 分)
学生用书
P213
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.已知平面向量a=(1,2),b=(-1,λ),若a⊥b,则实数λ=( )
A. 1
2
B.-1
2
C.-2
D.2
答案A
解析平面向量a=(1,2),b=(-1,λ),由a⊥b,得a·b=-1+2λ=0,所以λ=1
2 .
2.(2024·山东德州三模)已知复数z 满足:z-i(2+z)=0,则z=( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1+i
D.1-i
答案B
解析由z-i(2+z)=0,可得(1-i)z=2i,所以z= 2i
1-i =
2i(1+i)
(1-i)(1+i)
=-1+i.
3.(2024·山东潍坊一模)已知集合A={x|log3(2x+1)=2},集合B={2,a},其中a∈R.若A∪B=B,则a=(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案D
解析由log3(2x+1)=2,则2x+1=32,解得x=4,所以A={x|log3(2x+1)=2}={4}.又B={2,a},A∪B=B,即
A⊆B,所以a=4.
4.(2024·福建厦门模拟)已知抛物线C:y2=4√3x 的焦点为F,点P 为抛物线C 上一点,过点P 作抛物线
的准线的垂线,垂足为M,且∠MPF=2π
3
,则|PF|=( )
A.2
B.4
C.4√3
D. 4√3
3
答案D
解析由抛物线定义可知|PF|=|PM|,所以△PMF 为等腰三角形.记原点为O,因为∠MPF=2π
3
,所以
∠PFM=∠PMF=π
6
,所以∠MFO=π
6
,则|MF|=
2√3
cos30°
=4,所以|PF|=4√3
3
.
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5.某校高三年级一共有1 200 名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的第80 百分位数是103,则数
学成绩不小于103 分的人数至少为( )
A.220
B.240
C.250
D.300
答案B
解析因为所有学生成绩的第80 百分位数是103,所以数学成绩不小于103 分的人数至少为1
200-1 200×80%=240.
6.(2024·江苏苏锡常镇二模)羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为:每局两
人比赛,另一人担任裁判.每局比赛结束时,负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1 局甲担任裁判,则
第3 局甲还担任裁判的概率为( )
A. 1
4
B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
答案C
解析由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当,所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是1
2 .第二局若是乙
当裁判,则第三局甲或丙担任裁判的概率都是1
2
,第二局若是丙当裁判,则第三局甲或乙担任裁判的概
率都是1
2
,由全概率公式可知,如果第1 局甲担任裁判,则第3 局甲还担任裁判的概率为P=
1
2 × 1
2 + 1
2 × 1
2 = 1
2 .
7.若数列{cn}满足cn+1=cn
2,则称{cn}为“平方递推数列”.已知数列{an}是“平方递推数列”,且
a1>0,a1≠1,则下列选项正确的是( )
A.{lg an}是等差数列
B.{lg an+1-lg an}是等差数列
C.{anan+1}是“平方递推数列”
D.{an+1+an}是“平方递推数列”
答案C
解析因为{an}是“平方递推数列”,所以an+1=an
2.又a1>0,所以an>0,则lg an+1-lg an=lgan+1
an
=lg an,(lg
an+2-lg an+1)-(lg an+1-lg an)=lg an+1-lg an=lg an,所以{lg an},{lg an+1-lg an}不是等差数列,所以A,B 不正确;
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因为an+2an+1=an+1
2
an
2=(an+1an)2,所以{anan+1}是“平方递推数列”,所以C 正确;因为an+2+an+1=
an+1
2
+an
2≠(an+1+an)2,所以{an+1+an}不是“平方递推数列”,所以D 不正确.
8.(2024·山东聊城二模)已知圆柱OO1的下底面在半球O 的底面上,上底面圆周在半球O 的球面上,记
半球O 的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S,S1,半球O 与圆柱OO1的体积分别为V,V1,则当S
S1
的值最小时, V
V 1
的值为( )
A. 4√2
3
B.√3
C. 3√3
4
D.√2
答案A
解析设圆柱底面半径为r,高为h,球的半径为R,则R2=h2+r2,S=πR2,S1=2πrh,V=1
2 · 4
3 πR3=2
3 π
R3,V1=πr2h,所以S
S1
= π R
2
2π rh = h
2+r
2
2rh = h
2r + r
2h ≥2√
h
2r · r
2h
=1,当且仅当r=h 时,等号成立,此时R=
√2r,所以V
V 1
=
2
3 π R
3
π r
2h
=
2
3 π (√2r )
3
π r
2·r
= 4√2
3
.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·浙江台州二模)某同学最近6 次考试的数学成绩为107,114,136,128,122,143,则下列说法正确
的有( )
A.成绩的第60 百分位数为122
B.成绩的极差为36
C.成绩的平均数为125
D.若增加一个成绩125,则成绩的方差变小
答案BCD
解析将成绩从低到高排序为107,114,122,128,136,143,且0.6×6=3.6,所以成绩的第60 百分位数为第四
个数,即为128,故A 错误;极差为143-107=36,故B 正确;平均数为1
6 ×
(107+114+122+128+136+143)=125,故C 正确;未增加成绩之前的方差为1
6
[(107-125)2+(114-
125)2+(122-125)2+(128-125)2+(136-125)2+(143-125)2]=1
6
(182+112+32+32+112+182)=908
6 .若增加一个
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成绩125,则成绩的平均数为1
7
(107+114+122+128+136+143+125)=125,其方差为1
7
[(107-125)2+(114-
125)2+(122-125)2+(128-125)2+(136-125)2+(143-125)2+(125-125)2]=908
7
,即成绩的方差变小,故D 正确.
故选BCD.
10.(2024·江苏扬州模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点π
3 ,0 中心对称,则下列说法
正确的有( )
A.f(x)在区间
π
12 , 5 π
12
上单调递减
B.f(x)在区间-π
6 , 11π
12
有两个极值点
C.直线x=5 π
6
是曲线y=f(x)的对称轴
D.直线y=x+√3
2
是曲线y=f(x)在x=0 处的切线
答案ABD
解析由题意可得sin 2π
3 +φ =0,则2π
3 +φ=kπ,k∈Z.因为0<φ<π,则φ=π
3 ,于是f(x)=sin 2x+π
3
.令
z=2x+π
3 ,因为x∈
π
12 , 5 π
12
,则z∈π
2 , 7 π
6
.因为y=sin z 在区间π
2 , 7 π
6
上单调递减,故f(x)在区
间
π
12 , 5 π
12
上单调递减,故A 正确;令z=2x+π
3 ,因为x∈-π
6 , 11π
12
,则z∈0,13 π
6
,因为y=sin z
在0,13 π
6
上有两个极值点,故B 正确;令z=2x+π
3 ,当x=5 π
6 时,z=2x+π
3 =2π,则sin z=sin 2π=0,故直
线x=5 π
6 不是曲线y=f(x)的对称轴,故C 错误;对f(x)=sin 2x+π
3
求导,得f'(x)=2cos 2x+π
3
.设曲线
y=f(x)在x=0 处的切线的斜率为k 切,则k 切=f'(0)=1.又f(0)=sinπ
3 = √3
2
,故曲线y=f(x)在x=0 处的切线
方程为y-√3
2
=x-0,即y=x+√3
2
,故D 正确.故选ABD.
11.已知函数f(x)的导函数为f'(x),f(x)与f'(x)的定义域都是R,且满足f'(2x)+f'(-2x)=0,f(2-x)-f'(x)=1,则下
列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于(2,1)中心对称
B.f'(x)为周期函数
C. ∑
i=1
8 095f(
i
2 024
)=8 095
2
D.y=f'(2-x)是偶函数
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答案ABD
解析∵f'(2x)+f'(-2x)=0,∴f'(x)为奇函数,∴f(x)为偶函数.∵f(2-x)-f'(x)=1,∴f'(x)=f(2-x)-1,故f'(-
x)=f(2+x)-1,∴f(2-x)+f(2+x)=2,∴f(x)关于(2,1)中心对称,且f(x)+f(4-x)=2.又f(x)为偶函数,故f(x)=f(-
x),f(-x)+f(4-x)=2,∴f(4-x)+f(8-x)=2,故f(x)=f(8-x),∴f(x)的周期为T=8,故f'(x)的周期为T=8,∴选项A,B
正确.对f(2-x)+f(2+x)=2 两边同时求导,得-f'(2-x)+f'(2+x)=0,即f'(2+x)=f'(2-x),∴f'(x)的对称轴为直线
x=2,故y=f'(2-x)为偶函数,故D 正确.∵f(x)关于(2,1)中心对称,所以f(
1
2 024
)+f(8 095
2 024
)=f(
2
2 024
)
+f(8 094
2 024
)=…=2,∴f(
1
2 024
)+…+f(8 095
2 024
)=2×4 047+1=8 095,∴C 错误.故选ABD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·河北保定二模)在等比数列{an}中,a1a3a5=a2a6,a4a13=-27,则a6= .
答案-3
解析设等比数列{an}的公比为q,由a3a5=a2a6,
a1a3a5=a2a6,得a1=1.由a4a13=-27,得q3·q12=q15=-27,所以q5=-3,所以a6=q5=-3.
13.(2024·山东聊城三模)两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友,每人至少一本,
且两本图画书不分给同一个小朋友,则不同的分法共有 种.
答案15
解析不妨记两本相同的图书为元素1,1,两本不同的音乐书为元素3,4,根据题意,分类讨论:若分组情
况为13,1,4 时,此时分配给三个小朋友的方法有A3
3=6 种情况;若分组情况为14,1,3 时,此时分配给三
个小朋友的方法有A3
3=6 种情况;若分组情况为34,1,1 时,此时分配给三个小朋友的方法有C3
1=3 种情
况.综上,不同的分法共有6+6+3=15 种.
14.(2024·陕西西安模拟)如图,已知F1,F2是双曲线C: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P,Q 为双曲线
C 上两点,满足F1P∥F2Q,且|F2Q|=|F2P|=3|F1P|,则双曲线C 的离心率为
.
答案√10
2
解析延长QF2与双曲线交于点P',因为F1P∥F2P',根据对称性可知|F1P|=|F2P'|.设|F2P'|=|F1P|=t,则|
F2P|=|F2Q|=3t,可得|F2P|-|F1P|=2t=2a,即t=a,所以|P'Q|=4t=4a,则|QF1|=|QF2|+2a=5a,|F1P'|=|F2P|
=3a,
即|P'Q|2+| F1 P'|
2=|Q F1|
2,
所以∠F1P'Q=90°.
在△P'F1F2中,由勾股定理得| F2 P'|
2+| F1 P'|
2=| F1 F2|
2,即a2+(3a)2=4c2,解得e=c
a = √10
2 .
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