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限时练2(时间:45 分钟,分值:73 分)
学生用书
P215
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·全国甲,文1)设z=√2i,则z· z=( )
A.4
B.√2
C.-2
D.2
答案D
解析因为z=√2i,所以z=-√2i,所以zz=-(√2)2·i2=2.
2.(2024·山东威海二模)在研究集合时,用card(A)来表示有限集合A 中元素的个数.集合
M={1,2,3,4},N={x|x>m},若card(M∩N)=2,则实数m 的取值范围为( )
A.[2,3)
B.[2,3]
C.(2,3)
D.(2,+∞)
答案A
解析由题意知M∩N={3,4},所以2≤m<3,所以实数m 的取值范围为[2,3).
3.已知中心在坐标原点,焦点在y 轴上的双曲线离心率为√5,则其渐近线方程为( )
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±√5x
D.y=±1
2
x
答案D
解析因为e=c
a =√5,c=√a
2+b
2,所以√a
2+b
2
a
=√1+( b
a )
2=√5,所以b
a
=2.又焦点在y 轴上,所以渐近
线方程为y=±a
b
x=±1
2
x.
4.已知{an}为正项等比数列,若lg a2,lg a2 023是函数f(x)=3x2-12x+9 的两个零点,则a1a2 024=( )
A.10
B.104
C.108
D.1012
答案B
解析因为lg a2,lg a2 023是f(x)=3x2-12x+9 的两个零点,所以lg a2+lg a2 023=4,所以lg(a2a2 023)=4,所以a2a2
023=104,故a1a2 024=104.
5.(2023·全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共6 个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作
文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A. 5
6
B. 2
3
C. 1
2
D. 1
3
答案A
解析甲有6 种选择,乙也有6 种选择,故总数共有6×6=36 种,若甲、乙抽到的主题不同,则共有A6
2=30
种,则其概率为30
36 = 5
6 .
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6.(2024·山东临沂二模)若实数a,b,c 满足a=2sin π
12
,b3=7,3c=10,则下列选项正确的是( )
A.a<b<c
B.b<c<a
C.a<c<b
D.b<a<c
答案A
解析因为a=2sin π
12
<2sinπ
6
=1.又b3=7,则b=3√7,且1<3√7<
3√8=2,即1<b<2.因为3c=10,所以
c=log310>log39=2.所以c>b>a.
7.(2024·山东潍坊一模)如图所示,在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P 为截面A1C1B 上的动
点,若DP⊥A1C,则点P 的轨迹长度是( )
A. √2
2
B.√2
C. 1
2
D.1
答案B
解析在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接DC1,BD,AC,由AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
得BD⊥AA1.又BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面AA1C,则BD⊥平面AA1C.又A1C⊂平面AA1C,于是
BD⊥A1C.同理BC1⊥A1C,而BC1∩BD=B,BC1,BD⊂平面BC1D,因此A1C⊥平面BC1D.因为DP⊥A1C,则
DP⊂平面BC1D,而点P 为截面A1C1B 上的动点,平面A1C1B∩平面BC1D=BC1,所以点P 的轨迹是线段
BC1,长度为√2.
8.(2024·广东深圳二模)P 是椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上一点,F1,F2是C 的两个焦点,⃗P F1·⃗P F2=0,点
Q 在∠F1PF2的平分线上,O 为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=b,则C 的离心率为( )
A. 1
2
B. √3
3
C. √6
3
D. √3
2
答案C
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解析设|PF1|=m,|PF2|=n,延长OQ 交PF2于点A(图略),由题意知OQ∥PF1,O 为F1F2的中点,故A 为
PF2中点.又⃗P F1·⃗P F2=0,即PF1⊥PF2,则∠QAP=π
2 .又由∠QPA=π
4
,则△AQP 是等腰直角三角形,故
有{
m+n=2a,
m
2+n
2= 4 c
2,
b+ 1
2 n= 1
2 m,
化简得{
m-n=2b,
m+n=2a, 即{
m=a+b,
n=a-b,
代入m2+n2=4c2得(a+b)2+(a-b)2=4c2,即
a2+b2=2c2.由b2=a2-c2,所以2a2=3c2,所以e2=2
3
,所以e=√6
3 .
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.从某小区抽取100 户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在50~350 kW·h 之间,进行
适当分组后(每组为左闭右开区间),画出频率分布直方图如图所示,记直方图中六个小矩形的面积从
左到右依次为Si(i=1,2,…,6),则下列说法正确的有( )
A.x 的值为0.004 4
B.这100 户居民该月用电量的中位数为175
C.用电量落在区间[150,350)内的户数为75
D.这100 户居民该月的平均用电量为∑
i=1
6 (50i+25)Si
答案AD
解析由频率分布直方图的性质可知,(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001 2)×50=1,解得
x=0.004 4,故A 正确;因为(0.002 4+0.003 6)×50=0.3<0.5,(0.002 4+0.003 6+0.006 0)×50=0.6>0.5,所以
中位数落在区间[150,200)内,设其为m,则0.3+(m-150)×0.006 0=0.5,解得m≈183,故B 错误;用电量落在
区间[150,350)内的户数为(0.006 0+0.004 4+0.002 4+0.001 2)×50×100=70,故C 错误;这100 户居民该
月的平均用电量为(50+25)S1+(50×2+25)S2+…+(50×6+25)S6=∑
i=1
6 (50i+25)Si,故D 正确.故选AD.
10.(2024·山西晋中模拟)在△ABC 中,D 为边AC 上一点且满足⃗AD = 1
2⃗DC,若P 为边BD 上一点,且满
足⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC,λ,μ 为正实数,则下列结论正确的是( )
A.λμ 的最小值为1
B.λμ 的最大值为1
12
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C. 1
λ + 1
3 μ
的最大值为12
D. 1
λ + 1
3 μ
的最小值为4
答案BD
解析因为⃗AD = 1
2⃗DC,所以⃗AC=3⃗AD.又⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC=λ⃗AB+3μ⃗AD,且P,B,D 三点共线,所以
λ+3μ=1.又λ,μ 为正实数,所以λμ=1
3 λ×3μ≤1
3 ×( λ+3 μ
2
)2= 1
12
,当且仅当λ=3μ,即λ=1
2
,μ=1
6
时,等号成
立,故A 错误,B 正确;1
λ + 1
3 μ
=(1
λ + 1
3 μ
)(λ+3μ)=2+3 μ
λ + λ
3 μ ≥2+2√
3 μ
λ · λ
3 μ
=4,当且仅当3 μ
λ = λ
3 μ
,
即λ=1
2
,μ=1
6
时,等号成立,故C 错误,D 正确.故选BD.
11.在信息时代,信号处理是非常关键的技术.函数f(x)=∑
i=1
4 sin[(2i-1) x]
2i-1
的图象可以近似模拟某种
信号的波形,则下列说法正确的有( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的图象关于点(2π,0)对称
C.f(x)的图象关于直线x=π
2
对称
D.π 是f(x)的一个周期
答案BC
解析由题意得f(x)=sin x+1
3
sin 3x+1
5
sin 5x+1
7
sin 7x.∵x∈R,f(-x)=sin(-x)+1
3
sin(-3x)+1
5
sin(-5x)+1
7
sin(-7x)=-sin x-1
3
sin 3x-1
5
sin 5x-1
7
sin 7x=-f(x),∴函数f(x)是奇函数,故A 错误;∵f(4π-x)=sin(4π-x)+1
3 ·
sin[3(4π-x)]+1
5
sin[5(4π-x)]+1
7
sin[7(4π-x)]=-sin x-1
3
sin 3x-1
5
sin 5x-1
7
sin 7x=-f(x),∴f(x)的图象关于点
(2π,0)对称,故B 正确;∵f(π-x)=sin(π-x)+1
3
sin[3(π-x)]+1
5
sin[5(π-x)]+1
7
sin[7(π-x)]=sin x+1
3
sin 3x+1
5
sin
5x+1
7
sin 7x=f(x),∴f(x)的图象关于直线x=π
2
对称,故C 正确;∵f(x+π)=sin(x+π)+1
3
sin[3(x+π)]+1
5
sin[5(x+π)]+1
7
sin[7(x+π)]=-sin x-1
3
sin 3x-1
5
sin 5x-1
7
sin 7x=-f(x),∴π 不是f(x)的周期,故D 错误.故选
BC.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·上海,6)若二项式(x+1)n的展开式中,各项系数和为32,则x2项的系数为 .
答案10
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解析令x=1 即可得各项系数之和是(1+1)n=2n=32,可知n=5,则该二项式的通项为Tr+1=C5
rx5-r·1r.令5-
r=2,可得r=3.∵C5
3=10,∴x2项的系数是10.
13.(2024·河南郑州模拟)平面几何中有一个著名的定理:三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高
的交点)的距离等于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2 倍.若点A,B,C 都在圆E 上,直线BC 方程
为x+y-2=0,且|BC|=2√10,△ABC 的垂心G(2,2)在△ABC 内,点E 在线段AG 上,则圆E 的标准方程为
.
答案(x-3)2+(y-3)2=18
解析△ABC 的垂心G(2,2)到直线BC 的距离d=|2+2-2|
√2
=√2.设圆E 的半径为r,由题意得r+|EG|
=2(|EG|+√2),由圆的几何性质可得(|EG|+√2)2+(√10)2=r2,联立解得|EG|=√2,r=3√2.因为直线BC 的
方程为x+y-2=0,EG⊥BC,且点G 的坐标为(2,2),所以直线EG 的方程为y=x.设E(a,a),则点E 到直线
BC 的距离d'=|2a-2|
√2
=2√2,解得a=-1(舍去)或a=3,所以圆E 的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=18.
14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3 的球面上,当该圆锥的侧面积最大时,它的体积为
.
答案32π
3
解析如图,圆锥顶点为P,底面圆心为C,底面圆周与顶点均在球心为O 的球面上,所以OA=OP=3.设
PA=l,CA=r,则圆锥侧面积为S=1
2 ×l×2π×r=πlr.由截面圆的对称性知,圆锥侧面积最大时,P,C 两点位
于球心O 两侧或C 点与球心O 重合,此时l2=r2+(3+OC)2,r2+OC2=9,r≤3,0≤OC<3,∴OC=l
2
6
-3,∴r2+(l
2
6
-3)2=9,∴r2=l2- l
4
36
,且3>l
2
6
-3≥0,∴3√2≤l<6,故l2r2=l2(l2- l
4
36
)(3√2≤l<6).令t=l2∈[18,36),f(t)=t2- 1
36
t3,f'(t)=2t- 1
12
t2,令f'(t)=0,则t=24.当18<t<24 时,f'(t)>0,f(t)单调递增;当24<t<36 时,f'(t)<0,f(t)单调递减,
故当t=24 时,f(t)最大,圆锥侧面积最大,此时l=2√6,r=2√2,此时圆锥体积V=1
3 ·π·r2·√l
2-r
2= 1
3 ×π×(2
√2)2×√24 -8= 32π
3
.
