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§7.5 空间直线、平面的垂直
分值：90 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·邯郸模拟)已知α，β 是不重合的两个平面，m，n 是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”
是“m⊥β”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知m，l 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β 的是( )
A.m⊥l，m⊂β，l⊥α
B.m⊥l，α∩β=l，m⊂α
C.m∥l，m⊥α，l⊥β
D.l⊥α，m∥l，m∥β
3.若某圆锥的侧面积为底面积的√5倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为( )
A.2
B.3
C.√2
D.√5
4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC 上的射影H 必在( )
A.直线AB 上
B.直线BC 上
C.直线AC 上
D.△ABC 内部
5.(2024·北京模拟)在正四棱锥P-ABCD 中，AB=2，二面角P-CD-A 的大小为π
4 ，则该四棱锥的体积为( )
A.4
B.2
C.4
3
D.2
3
6. 如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AD⊥SC
C.平面SAC⊥平面SBD
D.BD⊥SA
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·广州模拟)已知α，β，γ 是三个不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则下列命题不正确的是(
)
A.若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m
B.若l∥m，则α∥β
C.若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m
D.若l⊥m，则α⊥β
8.在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A.异面直线AB1与CD 所成角的大小为45°
B.异面直线A1B1与AC1所成角的大小为45°
C.直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为√3
3
D.二面角C1-AD-B 的大小为45°
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m 为两条不同的直线，则l，m 的位置
关系是 .
10.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，M 是BD 的中点，MA=1 且MC=2，若二面角A-
BD-C 的大小为120°，则点A 到点C 的距离为 .
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°.将△ABD 沿对角线BD
折起，记折起后点A 的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.
求证：(1)CD⊥平面PBD；(6 分)
(2)平面PBC⊥平面PCD.(7 分)
12.(14 分)如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°，点M，N 分别为A'B 和
B'C'的中点.
(1)证明：MN∥平面AA'C'C；(7 分)
(2)设AB=λAA'，当λ 为何值时，CN⊥平面A'MN？试证明你的结论.(7 分)
13 题5 分，14 题6 分，共11 分
13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为52
3 ，AB=6，A1B1=2，则A1A 与平面ABC 所成角
的正切值为( )
A.1
2
B.1
C.2
D.3
14.(多选)(2025·河池模拟)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，AC1⊥平面A1B1C1，AB⊥BC，AD⊥BC1，D，E
分别是BC1，AC1的中点，则下列说法正确的是( )
A.DE∥平面ABB1A1
B.AD⊥平面BCC1
C.直线AD 与直线DE 的夹角为π
3
D.若∠BAC=π
6 ，则二面角B-A1B1-C1的平面角的大小为π
3
答案精析
1.A 2.D
3.A [设该圆锥的底面圆半径和母线长分别为r，l，母线与底面所成的角为θ，由题意可得πrl=√5πr2⇒l=
√5r，
由勾股定理可得圆锥的高h=√5r
2-r
2=2r，
所以圆锥的母线与底面所成角的正切值tan θ=h
r =2.]
4.A [由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.
因为AC⊂平面ABC，
所以平面ABC1⊥平面ABC.
所以C1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上.]
5.C [连接AC，BD 相交于点H，则H 为正方形ABCD 的中心，
故PH⊥底面ABCD，
取CD 的中点Q，连接HQ，PQ，
则HQ⊥CD，PQ⊥CD，HQ=1
2AD=1，
故∠PQH 为二面角P-CD-A 的平面角，
所以∠PQH=π
4 ，
故PH=HQ=1，
所以该四棱锥的体积为
1
3×AB2·PH=4
3 .]
6.D [由题意知SD⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，故SD⊥AC，
又四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，
即AC⊥BD，而SD∩BD=D，
SD，BD⊂平面SBD，
故AC⊥平面SBD，SB⊂平面SBD，故AC⊥SB，A 正确；
SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
故SD⊥AD，又四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，
即AD⊥CD，而SD∩CD=D，
SD，CD⊂平面SCD，
故AD⊥平面SCD，SC⊂平面SCD，
故AD⊥SC，B 正确；
由于AC⊥平面SBD，
AC⊂平面SAC，
故平面SAC⊥平面SBD，C 正确；
SD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
故SD⊥BD，
若BD⊥SA，
而SD∩SA=S，
SD，SA⊂平面SAD，
故BD⊥平面SAD，
又AD⊂平面SAD，
故BD⊥AD，即∠BDA=90°，
这与正方形ABCD 中∠BDA=45°矛盾，D 错误.]
7.ABD [若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m 或l 与m 相交，故A 错误；
若l∥m，则α∥β 或α 与β 相交，故B 错误；
若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m，故C 正确；
若l⊥m，则α 与β 相交，不一定是垂直，故D 错误.]
8.ACD [如图所示，
对于A，因为CD∥AB，则AB1与CD 所成的角为∠BAB1=45°，A 正确；
对于B，因为AB∥A1B1，
所以AC1与A1B1所成的角为∠BAC1或其补角，
因为AB=2，BC1=√2BC=2√2，AC1=√3AB=2√3，
所以AB2+BC1
2=AC1
2，
则AB⊥BC1，所以tan∠BAC1=BC1
AB =√2，故∠BAC1≠45°，B 错误；
对于C，因为B1C1⊥平面ABB1A1，故直线AC1与平面ABB1A1所成的角为∠B1AC1，
因为AB1⊂平面ABB1A1，
则B1C1⊥AB1，
所以sin∠B1AC1=
B1C1
A C1
=√3
3 ，
因此，直线AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为√3
3 ，C 正确；
对于D，因为AD⊥平面CC1D1D，CD，C1D⊂平面CC1D1D，
则AD⊥CD，AD⊥C1D，
所以二面角C1-AD-B 的平面角为∠CDC1=45°，D 正确.]
9.平行
解析 依题意知l⊥AB，l⊥AC，
AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，
故l⊥平面ABC，
又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC=C，
BC，AC⊂平面ABC，
故m⊥平面ABC，∴l∥m.
10.√7
解析 如图所示，连接AC，
因为AB=AD，CB=CD 且M 为BD 的中点，所以MA⊥BD，MC⊥BD，
所以∠AMC 为二面角A-BD-C 的平面角，可得∠AMC=120°，
在△AMC 中，因为MA=1，MC=2 且∠AMC=120°，可得AC2=MA2+MC2-2MA·MCcos 120°=1+4-2×1×2×
(- 1
2)=7，
所以AC=√7.
11.证明 (1)因为AD=AB，∠BAD=90°，
所以∠ABD=∠ADB=45°.
又因为AD∥BC，所以∠DBC=45°.
又∠BCD=45°，所以∠BDC=90°，即BD⊥CD.
因为平面PBD⊥平面BCD，
平面PBD∩平面BCD=BD，
CD⊂平面BCD，
所以CD⊥平面PBD.
(2)由CD⊥平面PBD，BP⊂平面PBD，
得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，
所以BP⊥平面PCD.
又BP⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD.
12.(1)证明 取AB 的中点D，BC 的中点E，连接MD，DE，NE，
则有MD∥AA'，DE∥AC，NE∥CC'∥AA'，所以NE∥MD，
则NE 与MD 共面，
又DE⊄平面AA'C'C，
AC⊂平面AA'C'C，
所以DE∥平面AA'C'C，
又MD⊄平面AA'C'C，
AA'⊂平面AA'C'C，
所以MD∥平面AA'C'C，
又MD∩DE=D，
MD，DE⊂平面DMNE，
所以平面DMNE∥平面AA'C'C，
又MN⊂平面DMNE，
所以MN∥平面AA'C'C.
(2)解 连接BN，不妨设AA'=1，
则AB=AC=λAA'=λ，
所以BC=√A B
2+ A C
2=√2λ，
因为三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面，
所以平面A'B'C'⊥平面BB'C'C，
因为AB=AC，所以A'B'=A'C'，
又点N 是B'C'的中点，
所以A'N⊥B'C'，
又平面A'B'C'∩平面BB'C'C=B'C'，
A'N⊂平面A'B'C'，
所以A'N⊥平面BB'C'C，
又CN⊂平面BB'C'C，所以CN⊥A'N，
要使CN⊥平面A'MN，
只需CN⊥BN 即可，
又因为CN=BN=√
1
2+(
√2
2 λ)
2
，
所以CN2+BN2=BC2，
即2[1
2+(
√2
2 λ)
2
]=(√2 λ)
2，
所以λ=√2(负值舍去)，
即当λ=√2时，CN⊥平面A'MN.
13.B [方法一 分别取BC，B1C1的中点D，D1，
则AD=3√3，A1D1=√3，
可知S△ABC=1
2×6×3√3=9√3，
S△A1B1C1=1
2×2×√3=√3，
设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，
则V 三棱台ABC - A1B1C1=1
3×(9√3+√3+√9√3×√3)h=52
3 ，
解得h=4√3
3
，
如图，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，
设AM=x，则AA1=√A M
2+ A1 M
2=√x
2+ 16
3 ，
DN=AD-AM-MN=2√3-x，
可得DD1=√D N
2+ D1 N
2
=√(2√3- x)
2+ 16
3 ，
结合等腰梯形BCC1B1可得
BB1
2=(
6-2
2 )
2
+DD1
2，
即x2+16
3 =(2√3-x)2+16
3 +4，
解得x=4√3
3
，
所以A1A 与平面ABC 所成角的正切值为tan∠A1AD= A1 M
AM =1.
方法二 将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，
则A1A 与平面ABC 所成的角即为PA 与平面ABC 所成的角，
因为P A1
PA = A1B1
AB =1
3 ，
则
V 三棱锥P - A1B1C1
V 三棱锥P - ABC
= 1
27 ，
可知V 三棱台ABC - A1B1C1
=26
27V 三棱锥P-ABC=52
3 ，
则V 三棱锥P-ABC=18，
设正三棱锥P-ABC 的高为d，
则V 三棱锥P-ABC=1
3d×1
2×6×6×√3
2 =18，
解得d=2√3，
取△ABC 的中心为O，
则PO⊥底面ABC，
且AO=2√3，
所以PA 与平面ABC 所成角的正切值tan∠PAO= PO
AO =1.]
14.ABD [因为D，E 分别是BC1，AC1的中点，所以DE∥AB，
又DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1，故A 正确；
因为AC1⊥平面A1B1C1，
所以AC1⊥平面ABC，
又BC⊂平面ABC，所以AC1⊥BC，
因为AB⊥BC，AB∩AC1=A，AB，AC1⊂平面ABC1，
所以BC⊥平面ABC1，
又AD⊂平面ABC1，所以BC⊥AD，
因为AD⊥BC1，BC∩BC1=B，BC，BC1⊂平面BCC1，则AD⊥平面BCC1，故B 正确；
由于D 为BC1的中点，且AD⊥BC1，AC1⊥AB，因此△ABC1是等腰直角三角形.
E 是AC1的中点，则∠ADE=π
4 ，故直线AD 与直线DE 的夹角为π
4 ，故C 错误；
连接AB1，如图所示，由于AC1⊥A1B1，B1C1⊥A1B1，AC1∩B1C1=C1，AC1，B1C1⊂平面AB1C1，
所以A1B1⊥平面AB1C1，
又AB1⊂平面AB1C1，则A1B1⊥AB1，因此二面角B-A1B1-C1的平面角为∠AB1C1，
由于∠BAC=π
6 ，因此AB=√3BC，由C 项分析知AB=AC1，则AC1=√3B1C1，因此∠AB1C1=π
3 ，故D 正确.]
