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§7.6 空间向量的概念与运算
课标要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐
标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量
积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面
位置关系的一些简单定理.
1.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有 和 的量
相等向量
方向 且模 的向量
相反向量
长度 而方向 的向量
共线向量(或平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 的向量
共面向量
平行于 的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使 .
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线，那么向量p 与向量a，b 共面的充要条件是存在
的有序实数对(x，y)，使p= .
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=
.{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b 的数量积
a·b= .
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
共线
a=λb(b≠0，λ∈R)
垂直
a·b=0(a≠0，b≠0)
模
|a|
夹角余弦值
cos〈a，b〉=
a·b
|a||b| (a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉=
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，那么称此向量a
为直线l 的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l 的方向向量a，则称向量a 为平面α 的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2=0
直线l 的方向向量为n，平面α 的法向量为
m，l⊄α
l∥α
n⊥m⇔n·m=0
l⊥α
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
平面α，β 的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m=0
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b 共面.( )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.( )
(3)若A，B，C，D 是空间中任意四点，则有⃗AB+⃗BC+⃗CD+⃗DA=0.( )
(4)若直线a 的方向向量和平面α 的法向量平行，则a∥α.( )
2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC 与BD 的交点为点M，设⃗AB=a，⃗AD=b，⃗A A1=c，则下列
向量中与⃗C1 M相等的向量是( )
A.-1
2a+1
2b+c
B.1
2a+1
2b+c
C.-1
2a-1
2b-c
D.-1
2a-1
2b+c
3.若平面α 外的直线l 的方向向量为a=(1，0，-2)，平面α 的法向量为m=(8，-1，4)，则( )
A.l⊥α
B.l∥α
C.a∥m
D.l 与α 斜交
4.已知空间向量a=(λ，1，2)，b=(2，λ+1，λ)，若a∥b，则实数λ= .
1.牢记空间中三点共线、四点共面的充要条件
(1)在平面中A，B，C 三点共线的充要条件是：⃗OA=x⃗OB+y⃗OC(其中x+y=1)，O 为平面内任意一点.
(2)在空间中P，A，B，C 四点共面的充要条件是：⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC(其中x+y+z=1)，O 为空间任意一
点.
2.解题时防范以下几个易误点
(1)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c 成立，但不满足结合律，即
(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
(2)由于0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0 不能作为基向量.
(3)直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)已知向量⃗AB=(1，a，-2)，⃗AC=(-3，6，b)，若A，B，C 三点共线，则a-b 等于( )
A.-8
B.-2
C.2
D.8
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E 是BC 的中点，⃗AG=2⃗GE，则⃗GC1等于( )
A.1
3⃗AB-2
3⃗AC+⃗A A1
B.1
3⃗AB+2
3⃗AC+⃗A A1
C.-1
3⃗AB+2
3⃗AC+⃗A A1
D.-1
3⃗AB+2
3⃗AC-⃗A A1
思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
跟踪训练1 在正四面体ABCD 中，F 是AC 的中点，E 是DF 的中点，若⃗DA=a，⃗DB=b，⃗DC=c，则⃗
BE等于( )
A.1
4 a-b+1
4 c
B.1
2a-b+1
2c
C.1
4 a+b+1
4 c
D.1
2a-b+c
题型二 空间向量基本定理及其应用
例2 (多选)下列说法正确的是( )
A.若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线
B.若G 是四面体OABC 的底面△ABC 的重心，则⃗OG=1
3 (⃗OA+⃗OB+⃗OC)
C.若⃗OG=2
5⃗OA-3
5⃗OB+4
5⃗OC，则A，B，C，G 四点共面
D.若向量p=mx+ny+kz(其中x，y，z 是三个不共面的向量，m，n，k∈R)，则称p 在基底{x，y，z}下的
坐标为(m，n，k).若p 在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则p 在基底{a-b，a+b，c}下的
坐标为(- 1
2 ，3
2 ，3)
思维升华 应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面⃗
PA=λ⃗PB⃗
MP=x⃗MA+y⃗MB
对空间任一点O，⃗OP=⃗OA+t⃗AB
对空间任一点O，⃗OP=⃗OM+x⃗MA+y⃗MB
对空间任一点O，⃗OP=x⃗OA+(1-x)⃗OB
对空间任一点O，⃗OP=x⃗OM+y⃗OA+(1-x-y)⃗OB
跟踪训练2 O 为空间任意一点，若⃗AP=-1
4⃗OA+1
8⃗OB+t⃗OC，若A，B，C，P 四点共面，则实数t 等于(
)
A.1
B.9
8
C.1
8
D.1
4
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 (1)(多选)已知空间中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)三点，则( )
A.⃗AB与⃗AC是共线向量
B.与向量⃗AB方向相同的单位向量是(
2√5
5
，- √5
5 ，0)
C.⃗AB与⃗BC夹角的余弦值是-√55
11
D.平面ABC 的一个法向量是(1，-2，5)
(2)已知圆锥SO 的底面半径为2，点P 为底面圆周上任意一点，点Q 为侧面(异于顶点和底面圆周)上任
意一点，则⃗OP·⃗OQ的取值范围为( )
A.(-4，4)
B.[-4，4]
C.(-2，2)
D.[-2，2]
思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利
用坐标运算.
跟踪训练3 已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，则下列结论正确的是( )
A.(a+b)∥a
B.a 与b 夹角的余弦值为√3
6
C.2a⊥(5a+6b)
D.4|a|=√3|b|
题型四 向量法证明平行、垂直
例4 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且
PA=PD=√2
2 AD，设E，F 分别为PC，BD 的中点.求证：
(1)EF∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PDC.
思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写
出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
跟踪训练4 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2√5，AA1=√7，BB1=2√7，点E
和F 分别为BC 和A1C 的中点.求证：
(1)EF∥平面A1B1BA；
(2)平面AEA1⊥平面BCB1.
答案精析
落实主干知识
1.大小 方向 相同 相等 相等
相反 平行 重合 同一个平面
2.(1)a=λb (2)唯一 xa+yb
(3)xa+yb+zc
3.(1)|a||b|cos〈a，b〉 (2)a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0 √a1
2+a2
2+a3
2
a1b1+a2b2+a3b3
√a1
2+a2
2+a3
2√b1
2+b2
2+b3
2
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.C 3.B 4.-2
探究核心题型
例1 (1)A [因为A，B，C 三点共线，所以⃗AB与⃗AC共线，
又向量⃗AB=(1，a，-2)，⃗
AC=(-3，6，b)，
所以-3
1 =6
a= b
-2 ，
所以a=-2，b=6，所以a-b=-8.]
(2)C [因为⃗AG=2⃗GE，
所以⃗GE=1
3⃗AE，
所以⃗GC1=⃗GE+⃗EC+⃗C C1=1
3⃗AE+1
2⃗BC+⃗A A1
=1
3 × 1
2 (⃗AB+⃗AC)+1
2 (⃗AC-⃗AB)+⃗A A1
=2
3⃗AC-1
3⃗AB+⃗A A1.]
跟踪训练1 A [根据题意可得⃗
DF=1
2 (⃗DA+⃗DC)=1
2(a+c)，⃗
DE=1
2⃗DF=1
4 (a+c)，
所以⃗BE=⃗BD+⃗DE=-⃗DB+⃗DE=-b+1
4 (a+c)=1
4 a-b+1
4 c.]
例2 BD [对于A，若b=0，则满足a 与b 共线，b 与c 共线，但是a 与c 不一定共线，故A 错误；
对于B，由于G 为四面体OABC 的底面△ABC 的重心，设D 为BC 的中点，故⃗AG=2⃗GD，
整理得⃗OG-⃗OA=2⃗OD-2⃗OG，故3⃗OG=⃗OB+⃗OC+⃗OA ，
故⃗OG=1
3 (⃗OA+⃗OB+⃗OC)，故B 正确；
对于C，由于2
5-3
5+4
5 ≠1，对于⃗OG=2
5⃗OA-3
5⃗OB+4
5⃗OC ，
故A，B，C，G 四点不共面，故C 错误；
对于D，p 在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，即p=a+2b+3c，设p 在基底{a-b，a+b，c}下的
坐标为(x，y，z)，则满足p=x(a-b)+y(a+b)+zc=(x+y)a+(y-x)b+zc=a+2b+3c，
故{
x + y =1,
y - x =2,
z =3,
解得{
x =- 1
2 ,
y = 3
2 ,
z =3,
则p 在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为(- 1
2 ，3
2 ，3)，故D 正确.]
跟踪训练2 C [因为⃗AP=⃗OP-⃗OA ，所以⃗AP=-1
4⃗OA+1
8⃗OB+t⃗OC可化简为
⃗
OP-⃗OA=-1
4⃗OA+1
8⃗OB+t⃗OC ，
即⃗OP=3
4⃗OA+1
8⃗OB+t⃗OC ，
由于A，B，C，P 四点共面，
则3
4 +1
8+t=1，
解得t=1
8.]
例3 (1)CD [因为A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)，
所以⃗AB=(2，1，0)，⃗AC=(-1，2，1)，
因为不存在实数λ，使得⃗AB=λ⃗AC ，
所以⃗AB与⃗AC不共线，故A 错误；
因为|⃗AB|=√2
2+1
2=√5，
所以与向量⃗AB方向相同的单位向量是⃗AB
|⃗AB|
=(
2√5
5
，√5
5 ，0)，故B 错误；
又⃗BC=(-3，1，1)，所以⃗AB与⃗BC夹角的余弦值是⃗
AB·⃗BC
|⃗AB||⃗BC |
=-5
√5×√11=-√55
11 ，故C 正确；
不妨令n=(1，-2，5)，则⃗AB·n=1×2+(-2)×1+5×0=0，⃗
AC·n=1×(-1)+(-2)×2+5×1=0，
即⃗AB⊥n 且⃗AC⊥n，
所以n=(1，-2，5)是平面ABC 的法向量，故D 正确.]
(2)A [如图所示，延长SQ 交底面圆周于点B，过点Q 作QG⊥底面圆于点G，
显然⃗OP·⃗OQ=⃗OP·(⃗OG+⃗GQ)=⃗OP·⃗OG=2cos〈⃗OP，⃗OG〉·|⃗OG|，
由题意可知cos〈⃗OP，⃗OG〉∈[-1，1]，0<|⃗OG|<2，
所以⃗OP·⃗OQ的取值范围为(-4，4).]
跟踪训练3 C [对于A，a+b=(1，3，6)，因为-2
1 ≠-1
3 ≠1
6 ，所以a+b 与a 不平行，故A 错误；
对于B，a 与b 夹角的余弦值为
a·b
|a||b| =-6- 4+5
√6×√50 =-√3
6 ，故B 错误；
对于C，2a=(-4，-2，2)，5a+6b=(8，19，35)，则2a·(5a+6b)=-32-38+70=0，即2a⊥(5a+6b)，故C 正确；
对于D，4|a|=4√6，√3|b|=√3×√50=5√6，故D 错误.]
例4 证明 (1)如图，取AD 的中点O，连接OP，OF.
因为PA=PD，
所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
又O，F 分别为AD，BD 的中点，
所以OF∥AB.
又四边形ABCD 是正方形，
所以OF⊥AD.
因为PA=PD=√2
2 AD，
所以PA⊥PD，OP=OA=a
2.
如图，以O 为坐标原点，OA，OF，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则A(
a
2 ，0，0)，F(0，a
2 ，0)，
D(- a
2 ，0，0)，P(0，0，a
2)，
C(- a
2 ，a，0).
因为E 为PC 的中点，
所以E(- a
4 ，a
2 ，a
4).
易知平面PAD 的一个法向量为⃗OF=(0，a
2 ，0)，
因为⃗EF=(
a
4 ，0，- a
4)，⃗
OF·⃗EF=(0，a
2 ，0)·(
a
4 ，0，- a
4)=0.
且EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
(2)因为⃗PA=(
a
2 ，0，- a
2)，⃗
CD=(0，-a，0)，
所以⃗PA·⃗CD
=(
a
2 ，0，- a
2)·(0，-a，0)=0，
所以⃗PA⊥⃗CD，
所以PA⊥CD.
又PA⊥PD，PD∩CD=D，
PD，CD⊂平面PDC，
所以PA⊥平面PDC.
又PA⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PDC.
跟踪训练4 证明 因为AB=AC，E 为BC 的中点，
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，
所以过E 作平行于BB1的垂线为z 轴，EC，EA 所在直线分别为x 轴、y 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=3，BE=√5，
所以AE=2，
所以E(0，0，0)，
C(√5，0，0)，
A(0，2，0)，B(-√5，0，0)，A1(0，2，√7)，则F(
√5
2 ，1，√7
2 ).
(1)⃗EF=(
√5
2 ，1，√7
2 )，⃗AB=(-√5，-2，0)，⃗A A1=(0，0，√7).
设平面A1B1BA 的一个法向量为n=(x，y，z)，
则¿
所以{
-√5 x -2 y =0,
√7 z =0,
取{
x =-2,
y =√5,
z =0,
所以n=(-2，√5，0).
因为⃗EF·n=√5
2 ×(-2)+1×√5+√7
2 ×0=0，
所以⃗EF⊥n.
又EF⊄平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)易证EC⊥平面AEA1，
所以⃗EC=(√5，0，0)为平面AEA1的一个法向量.
同理易证EA⊥平面BCB1，
所以⃗EA=(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量.
因为⃗EC·⃗EA=0，所以⃗EC⊥⃗EA ，
故平面AEA1⊥平面BCB1.
