专题01 两个计数原理+排列组合压轴题
知识点1：分类加法计数原理
（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1 类方案中有m 种不同的方法,在第2 类方案中有n 种不同的
方法,那么完成这件事共有N
m
n
种不同的方法.
（2）推广：如果完成一件事情有n 类不同方案,在第1 类方案中有
1
m 种不同的方法,在第2 类方案中有
2
m 种
不同的方法,……在第n 类方案中有
n
m 种不同的方法,那么完成这件事共有
1
2
n
N
m
m
m
种不同的
方法.
知识点2：分步乘法计数原理
（1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1 步有m 种不同的方法,做第2 步有n 种不同的方法,那么完成
这件事共有N
m n
种不同的方法.
（2）推广：完成一件事需要n 个步骤,做第1 步有
1
m 种不同的方法,做第2 步有
2
m 种不同的方法,……做第
n 步有
n
m 种不同的方法,则完成这件事共有
1
2
n
N
m m
m
种不同的方法.
知识点3：排列
（1）定义：一般地,从n 个不同元素中取出m ( m
n
)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不
同元素中取出m 个元素的一个排列.
（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.
知识点4：排列数与排列数公式
（1）定义：从n 个不同元素中取出m (m
n
)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m
个元素的排列数,用符号
m
n
A 表示.
（2）排列数公式
①（连乘形式）：
(
1)(
2)(
3)
(
1)
m
n
A
n n
n
n
n
m
，,n m
N
，m
n
②（阶乘形式）
!
(
)!
m
n
n
A
n
m
，,n m
N
，m
n
（3）全排列：把n 个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n 个元素的一个全排列,用符号
n
n
A 表示.
!
(
1)(
2)
2 1
n
n
A
n
n n
n
（4）阶乘：正整数1 到n 的连乘积,叫做n 的阶乘,用符号!
n 表示.
知识点5：组合
（1）定义：一般地：从n 个不同的元素中取出m ( m
n
)个元素作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m
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个元素的一个组合.
（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
（3）组合与排列的异同
相同点:组合与排列都是“从n 个不同的元素中取出m ( m
n
)个元素”.
不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区
分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结
果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.
知识点6：组合数与组合数公式
（1）组合数的定义：从n 个不同元素中取出m ( m
n
)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元
素中取出m 个元素的组合数,用符号
m
n
C
表示.
（2）组合数公式
(
1)(
2)
(
1)
!
m
m
n
n
m
m
A
n n
n
n
m
C
A
m
或：
!
!(
)!
m
n
n
C
m n
m
（,n m
N
，m
n
）.
规定：
0
1
n
C
知识点7：组合数的性质
（1）性质1：
m
n m
n
n
C
C
（2）性质2：
1
1
m
m
m
n
n
n
C
C
C
题型一两个计数原理与数列
例题1．（多选）（2023 下·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）历史上著名的伯努利错排问题指的是：
一个人有
2
n n
封不同的信，投入n 个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为
n
a .
例如两封信都投错有
2
1
a 种方法，三封信都投错有
3
2
a
种方法，通过推理可得：
1
1
n
n
n
a
n a
a
.高等
数学给出了泰勒公式：
2
3
1
2!
3!
!
x
n
x
x
x
x
n
e
，则下列说法正确的是（
）
A．
4
9
a
B．
1
1
n
n
a
n
a
为等比数列
C．
2
3
1
1
1
!
2!
3!
!
n
na
n
n
D．信封均被投错的概率大于1
e
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例题2．（2021 上·福建泉州·高三晋江市第一中学校考阶段练习）某班级在一次植树种花活动中负责对一片
圆环区域花圃栽植鲜花，该圆环区域被等分为n 个部分（
4
n
），每个部分从m 种不同颜色（
4
m
）的
鲜花中选取一种进行栽植，要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花．将总的栽植方案数用
,
m n
a
表示，则：
①
4,4
a
等于二项式
9
1
x
x
的展开式中第
项的系数；
②
,
m n
a
．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）把圆分成10个不相等的扇形，并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色，
但不允许相邻的扇形有相同的颜色，问共有多少种染色法？
练一练
1．（多选）（2017·北京·高三强基计划）正整数1，2，3，…n 的全排列
1
2
,
,
,
n
a a
a
满足
(
1,2,
, )
ia
i i
n
称为n 项更列，记n 项更列的个数为
nx ，则下列命题中正确的是（
）
A．
1
2
(
1)
(
3)
n
n
n
x
n
x
x
n
B．
0
1
2
0
1
2
0
1
! C
C
C
3,
1,
0
n
n
n
n
n
n
x
n
x
x
x
n
x
x
C．
2
( 1)
!
!
i
n
n
i
x
n
i
D．
1
2
( 1)
!
!
i
n
n
i
x
n
i
2．（2021 下·山东济南·高三校联考阶段练习）数列
na
共12项，且
1
1
a ，
4
2
a
，关于x 的函数
3
2
2
1
1
3
n
n
n
x
f
a x
a
x
x
，
N
n
，若
1 1
11
n
x
a
n
是函数的极值点，且曲线的
4
y
f
x
在点
12
4
12
,
a
f
a
处的切线的斜率为3，则满足条件的数列
na
的个数为
．
3．（2023·全国·高三专题练习）小学生甲玩耍上楼梯的游戏：建筑物有10级台阶的楼梯，一步可以迈一级
或两级台阶，问这位小学生有多少种不同的爬楼方法？
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题型二两个计数原理与立体图形
例题1．（2022 下·甘肃·高二校考期末）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条
棱上的两端异色，如果只有5 种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是(
)
A．420
B．210
C．70
D．35
例题2．（多选）（2023 下·山西运城·高二统考期末）商场某区域的行走路线图可以抽象为一个2
2
的正方
体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从A ，B 两点出发，随机地选择一条最
短路径，以相同的速度同时出发，直到到达B ，A 为止，下列说法正确的是（
）
A．甲从A 必须经过
1
C 到达B 的方法数共有9 种
B．甲从A 到B 的方法数共有180 种
C．甲、乙两人在
2
C 处相遇的概率为4
25
D．甲、乙两人相遇的概率为11
50
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC
A B C
的六个顶点涂色，要
求每个点涂一种颜色．
(1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？
(2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
练一练
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1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的
两个端点异色，如果只有5 种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（
）
A．192
B．420
C．210
D．72
2．（2024·全国·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1 所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种
屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2 所示的五面体EF
ABCD
.现装修工人准备用四种不同
形状的风铃装饰五脊殿EF
ABCD
的六个顶点，要求E，F 处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶
点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有
种.
题型三两个计数原理与平面图形
例题1．（2023·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学
说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之
间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5 种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种
颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同
一种颜色），则不同的涂色方法种数有（
）
A．3125
B．1000
C．1040
D．1020
例题2．（2021 上·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）如图，在某城市中，M ､N 两地之
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间有整齐的方格形道路网，其中
1A ､
2
A ､
3
A ､
4
A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M ､
N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，
直到到达N ､M 处为止．则下列说法正确的是（
）
A．甲从M 到达N 处的方法有120种
B．甲从M 必须经过
2
A 到达N 处的方法有64 种
C．甲､乙两人在
2
A 处相遇的概率为81
400
D．甲､乙两人相遇的概率为
1
2
例题3．（2023 下·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）陈经纶中学高二年级近日于北京日坛公园组织社
会实践活动. 日坛公园的西门位于东西中轴线上，公园内部的主要路径及主要景点如下图所示. 某活动小组
计划从“烈士墓”出发，经“东西中轴线及其以北”的主要路径前往“祭日拜台”进行实践活动，活动结束后经“东
西中轴线及其以南”的主要路径由南门离开. 已知小组成员的行动路线中没有重复的主要路径. 则该小组在
前往“祭日拜台”的途中最多可以路过
个主要景点；该小组全程共有
条行动路线可供选择.
例题4．（2022·浙江金华·统考三模）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H 八个点
涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有
种.
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练一练
1．（2023 上·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，
每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位，记
na 为第n次跳跃后对应数轴上的数字（
1,2,
,14
n
，
*
n N ），
则满足
2
8
16
a
，
14
2
a
的跳跃方法有多少种（
）
A．336
B．448
C．315
D．420
2．（2022 下·浙江·高二校联考期中）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E 六个点涂色（五
种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法
种数是（
）
A．480
B．720
C．1080
D．1200
3．（2023 下·重庆·高二校联考期中）如图，某景区共有
, ,
,
,
A B C D E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个
检票口供出入，共有7 个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进
行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有
种不同的检测顺序.
题型四相邻问题与不相邻问题
例题1．在某班进行的歌唱比赛中，共有5 位选手参加，其中3 位女生，2 位男生．如果2 位男生不能连着
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出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A．30
B．36
C．60
D．72
例题2．（多选）现将9 把椅子排成一排，5 位同学随机就座，则下列说法中正确的是（
）
A．4 个空位全都相邻的坐法有720 种
B．4 个空位中只有3 个相邻的坐法有1800 种
C．4 个空位均不相邻的坐法有1800 种
D．4 个空位中至多有2 个相邻的坐法有9000 种
例题3．有5 对夫妇和A ，B 共12 人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12 个座位的圆桌上就餐（旋转之
后算相同坐法）．
（1）若5 对夫妇都相邻而坐，A ，B 相邻而坐，共有多少种坐法？
（2）5 对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A ，B 不相邻，共有多少种坐法？
练一练
1．（多选）(多选)把5 件不同产品A，B，C，D，E 摆成一排，则（
）
A．A 与B 相邻有48 种摆法
B．A 与C 相邻有48 种摆法
C．A，B 相邻又A，C 相邻，有12 种摆法
D．A 与B 相邻，且A 与C 不相邻有24 种摆法
2．某兴趣小组有10 名学生，若从10 名学生中选取3 人，则选取的3 人中恰有1 名女生的概率为3
10 ，且女
生人数超过1 人，现在将10 名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有
种
不同的站队方法.
3．5 个女孩与6 个男孩围成一圈，任意2 个女孩中间至少站1 个男孩，则不同排法有
种（填数字）．
题型五元素（位置）有限制问题
例题1．（2022·新疆·统考一模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向
右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7 就是一条移动路线，则从
数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
例题2．（多选）（2023 上·辽宁·高三校联考期末）将1，2，3，4，5，6，7 这七个数随机地排成一个数列，
记第i 项为
1,2,
,7
ia i
，则下列说法正确的是（
）
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A．若
4
1
2
3
5
6
7
7,
a
a
a
a
a
a
a
，则这样的数列共有360 个
B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288 个
C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50 个
D．若
1
2
3
3
4
5
5
6
7
,
a
a
a a
a
a a
a
a
，则这样的数列共有71 个
例题3．（2022 下·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）现安排甲、乙、丙、丁、戊5 名学生分别
担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，若丙当
物理科代表则丁必须当化学科代表，则不同的选法共有
种
例题4．（2022 下·河北石家庄·高二统考阶段练习）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传
统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．
(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙
和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
(3)计划安排A、B、C、D、E 五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，教师A 不任教“围棋”
课程，教师B 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．
练一练
1．（2022 上·上海嘉定·高三校考阶段练习）中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要
指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社
团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相
邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）
A．408 种
B．240 种
C．1092 种.
D．120 种
2．（2022·北京·高三强基计划）已知甲校8 人，乙校4 人，丙校4 人，共16 人排队，同校不相邻的排法有
种．
3．（2023 上·高二课时练习）从7 名男生和5 名女生中选取3 人依次进行面试．
(1)若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？
(2)若参加面试的人中，恰好有1 名女生，则有多少种不同的面试方法？
4．（2022 下·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A、B、
C 三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加.分别求在下列情况下的不同报名方法的种数.
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(1)甲、乙报同一项目，丙不报A 项目；
(2)甲不报A 项目，且B、C 项目报名的人数相同.
题型六分组与分配问题
例题1．（2024 上·辽宁·高二校联考期末）某校高三年级有8 名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个
景点旅游.已知8 名同学中有4 名男生，4 名女生.每个景点至少有2 名同学前往，每名同学仅选一处景点游
玩，其中男生甲与女生A 不去同一处景点游玩，女生B 与女生C 去同一处景点游玩，则这8 名同学游玩行
程的方法数为（
）
A．564
B．484
C．386
D．640
例题2．（多选）（2022 下·重庆长寿·高二校联考期末）某校共有东门、西门、北门三道校门.由于疫情防控
需要，学校安排甲、乙、丙、丁4 名教师志愿者分别去三道校门协助保安值守，下列选项正确的是（
）
A．若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，则共有81 种不同的安排方法
B．若恰有一道门没有教师志愿者去，则共有42 种不同的安排方法
C．若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，则共有44 种不同的安排方法
D．若学校新购入20 把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，每道校门至少3 把，则共有
78 种分配方法
例题3．（多选）（2022 下·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考阶段练习）为了提高教学质量，省教育局
派5 位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有3 所重点高中，则下列说法正确的有（
）
A．每个教研员只能去1 所学校调研，则不同的调研方案有243 种
B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有150 种
C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有300 种
D．若每所重点高中至少去一位教研员，且甲､乙两位教研员不去同一所高中则不同的调研安排方案有有
114 种
例题4．（2022 下·重庆万州·高二校考期中）（1）把6 个相同的小球放入4 个相同的箱子中，每个箱子都
不空，共有多少种放法？
（2）把6 个相同的小球放入4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6 个不同的小球放入4 个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6 个不同的小球放入4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
练一练
1．（2022 下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）某医院分配3 名医生6 名护士紧急前往三个小区协助
社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（
）
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A．3180
B．3240
C．3600
D．3660
2．（2023 下·吉林四平·高一四平市实验中学校考期中）2021 年7 月24 日，中共中央办公厅、国务院办公
厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．要求各地区各部门结合实
际认真贯彻落实．同年8 月，国务院教育督导委员会办公室印发专门通知，拟对各省“双减”工作落实进度每
半月通报一次．2021 年10 月，全国人大表示：“双减”拟明确入法，避免加重义务教育阶段学生负担．11
月3 日，市场监管总局等八部门发布《关于做好校外培训广告管控的通知》．坚决杜绝地铁、公交站台等
所属广告牌、广告位刊发校外培训广告．在“双减”政策的推动下，四平市教育局提出了教师轮岗制度，让更
多的学生享受到更好更优质的教师师资，充分体现了教育的公平性．现从四平市某中学调8 名不同科目的
教师到另一所中学的4 个不同班级．要求每个班级至少分配1 名教师．至多分配3 名老师，则（
）
A．将8 名教师平均分配到4 个不同班级，有
2
2
2
2
8
6
4
4
C C C C 种分配方法
B．有两个班级分配一名教师，另两个班级分配三名教师，有
1
1
3
3
8
7
6
3
C C C C 种分配方法
C．根据班级实际情况，现（1）班需要1 名教师，（2）班和（3）班均需要2 名教师，（4）班需要3
名教师，有
1
2
2
3
8
7
5
3
C C C C 种分配方法
D．根据教学经验分析，甲、乙、丙三名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化，
3
1
2
2
1
3
4
5
4
2
5
4
4
2
2
1
C C C
C C C
A
A
种分配方法
3．（2023 上·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）现将6 本不同的书籍分发给甲乙丙3 人，
每人至少分得1 本，已知书籍A 分发给了甲，则不同的分发方式种数是
.（用数字作答）
4．（2023 上·高二课时练习）有6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？
(1)甲分1 本、乙分2 本、丙分3 本；
(2)一人分4 本，另两人各分1 本.
题型七与组合数有关的计算
例题1．（2024 上·辽宁·高二校联考期末）已知
2
1
1
2
*
C
1
C
C
N
k
n
n
n
n
f n
k
n
n
，则
100
f
（
）
A．
98
11000 2
B．
98
10100 2
C．
99
10100 2
D．
99
1100 2
例题2．（多选）（2023 下·山东菏泽·高二统考期末）对于1，2，…，n ，的全部排列，定义Euler 数
n
k （其
中
N
n
，
0,1,
,
k
n
）表示其中恰有k 次升高的排列的个数（注：k 次升高是指在排列
1
2
n
a a
a
中有k 处
1
i
i
a
a
，
1,
,
1
i
n
）.例如：1，2，3 的排列共有：123，132，213，231，312，321 六个，恰有1 处升
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高的排列有如下四个：132，213，231，312，因此：
3
4
1
.则下列结论正确的有（
）
A．
4
3
3
B．
4
11
2
C．
1
n
n
k
n
k
D．
1
1
1
n
n
n
k
n
k
k
k
例题3．
（2023 下·上海普陀·高二校考期末）规定
1
1
C
!
m
x
x x
x
m
m
，其中xR ，m 是正整数，且
0
C
1
x ，
这是组合数Cm
n （n、m 是正整数，且m
n
）的一种推广．
(1)求
3
15
C的值．
(2)组合数的两个性质：①C
C
m
n m
n
n
；②
1
1
C
C
C
m
m
m
n
n
n
是否都能推广到Cm
x （xR ，m 是正整数）的情
形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数Cm
n 是正整数，证明：当xZ ，m 是正整数时，Cm
x Z ．
练一练
1．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知
N
m
，
2
m
，1a ，2a ，，
0,1,2,
,9
m
a
，记
1
1
10
10
m
m
i
i
i
M
a
．当
1a ，
2a ，，
m
a ，中含
N,
k k
k
m
个6 时，所有M 不同值的个数记为
G k ．下列说法正确的有（
）
A．若
2
m
，则
0
81
G
B．若
19
m
，则
1
18
G k
G k
k
k
N，
C．对于任意奇数
1
1
3
5 10 m
m
G
G
G m
，
D．对于任意整数
1
1
2
2
9
10 m
m
G
G
mG m
m
，
2．（2023 下·河北沧州·高二统考期末）产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N 件产品中有M 件
不合格品，在产品中随机抽n 件做检查，发现k 件不合格品的概率为
C C
,
,
1,
,
C
k
n k
M
N M
n
N
P X
k
k
t t
s
，
其中s 是M 与n 中的较小者，t 在n 不大于合格品数（即n
N
M
）时取0，否则t 取n 与合格品数之差，
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即
(
)
t
n
N
M
.根据以上定义及分布列性质，请计算当N=16，M=8 时，
0
1
3
2
2
3
1
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
4
4
0
C C
C C
C C
C
+
C C
C
；若
2
N
n
，M
n
，请计算
0
1
1
2
2
3
C C
C C
C C
n
n
n
n
n
n
2
1
1
C
C
C
C
n
n
n
n
n
n
n
n
．（用组合数表示）
3．（2024·全国·高三专题练习）已知数列
na
满足
1
2n
na
n
n
N ，是否存在等差数列
nb
，使得
1
2
3
4
1
2
3
4
C
C
C
C
Cn
n
n
n
n
n
n
n
a
b
b
b
b
b
对一切自然数n 恒成立？
一、单选题
1．（2024 上·全国·高三期末）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线
的对数为（
）
A．18
B．30
C．36
D．54
2．（2023 下·湖北·高二武汉市第六中学校联考期中）现有天平及重量为1，2 ，4 ，10的砝码各一个，每一
步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过
程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的放法共有（
）种.
A．105
B．72
C．60
D．48
3．（2022 下·河北保定·高二统考期末）在如图所示的5 个区域内种植花卉，每个区域种植1 种花卉，且相
邻区域种植的花卉不同，若有6 种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（
）
A．1440
B．720
C．1920
D．960
4．（2021 下·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数
f
x 满足：
（1）
1
1
f
；（2）
1
1
f
x
f
x
（
1,2,3,...,11
x
）；（3）
1
f
、
6
f
、
12
f
成等比数列；
这样的不同函数
f
x 的个数为（
）
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A．155
B．156
C．157
D．158
5．
（2022·山东临沂·统考一模）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π 的范围是：3.1415926
3.1415927
，
为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学
们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7 位数字1，4，1，5，9，2，6 进行随机排列，整数部分3 不变，那
么可以得到大于3.14 的不同数字的个数为（
）
A．720
B．1440
C．2280
D．4080
6．（2020·上海·高三专题练习）如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q，R，S，计划建立三座独立大桥，
将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（
）.
A．24 种
B．20 种
C．16 种
D．12 种
7．（2021·浙江宁波·效实中学校考模拟预测）定义数列
na
如下：存在k
N ，满足
1
k
k
a
a
，且存在s
N
，
满足
1
s
s
a
a
，已知数列
na
共4 项，若
1,2,3,
,
4
,
,
ia
t x y z
i
且t
x
y
z
，则数列
na
共有（
）
A．190 个
B．214 个
C．228 个
D．252 个
8．（2018 下·江西抚州·高二临川一中校考期末）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图
所示正方形ABCD（边长为2 个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方
向行走的单位，如果掷出的点数为(
1,2,
,6)
i i
，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某
人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有
A．22 种
B．24 种
C．25 种
D．27 种
9．（2023 下·江苏徐州·高二统考期中）已知空间直角坐标系中，
(0,0,0),
(8,0,0),
(0,8,0),
(0,0,8)
O
A
B
C
，三棱
锥O
ABC
内部整数点（所有坐标均为整数的点，不包括边界）的个数为（
）
A．
2
7
C
B．
3
7
C
C．
2
8
C
D．
3
8
C
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10．（2023·浙江·校联考三模）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根23cm 长的尺子，要能
够量出长度为1cm到23cm 且边长为整数的物体，至少需要6 个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根8cm 的
尺子，要能够一次量出长度为1cm到8cm 且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（
）个刻度
A．3
B．4
C．5
D．6
11．（2022·浙江杭州·学军中学模拟预测）设A 是任意一个n 元实数集合，令集合
,
,
B
uv u v
A u
v
，
记集合B 中的元素个数为B ，则（
）
A．若
6
n
，则
max
min
|
|
|
|
24
B
B
B．若
7
n
，则
min
|
|
9
B
C．若
8
n ，则
max
min
|
|
2 |
|
B
B
D．若
9
n
，则
max
|
|
9
B
二、多选题
12．（2022·高二课时练习）四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随
机进行传递，游戏规定：每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就完成了一
次传递．若游戏开始时幸运星在甲手上，记完成
2,
n n
n
N
次传递后幸运星仍在甲手上的所有可能传递
方案种数为
na ，则（
）
A．
3
9
a
B．
4
21
a
C．
5
69
a
D．
6
183
a
13．
（2023 下·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（
）
A．
3
3
3
3
3
4
5
10
C
C
C
C
330
B．设
90
90
3
4
5
90
3
4
5
90
2
3
4
89
A
A
A
A
A
x
，则x 的个位数字是6
C．已知n
m
，则等式
1
1
C
C
1
1
m
m
n
n
m
n
对任意正整数n ，m 都成立
D．等式
2
2
2
2
0
1
2
2
C
C
C
C
C
n
n
n
n
n
n
n
对任意正整数n 都成立
三、填空题
14．（2024 上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）设
1
2
23
,
,...,
a a
a 为1,2,...,23的一个排列，满足
22
23
21
23
20
23
...
a
a
a
a
a
a
1
23
a
a
，则这样的排列的个数为
个.
15．
（2023 上·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）我们称
*
N
n n
元有序实数组
1
2
,
,
,
n
x x
x
为n维向量，1
2
n
x
x
x
为该向量的范数.已知n 维向量
1
2
,
,
,
n
a
x x
x
，其中
1,0,1
1,2,
ix
i
n
，
记范数为奇数的a
的个数为
n
A ，则
3A
；
2n
A
（用含n 的式子表示，n
N ）.
16．（2022 下·山东菏泽·高二统考期末）类比排列数公式
A
1
2
1
r
n
n n
n
n
r
，定义
B
1
2
1
n
x
x x
x
x
n
（其中
*
N
n
，xR ），将右边展开并用符号
,
S n k 表示
kx（1
k
n
，
*
N
k
）
的系数，得
1
B
,
,
1
,1
n
n
n
x
S n n x
S n n
x
S n
x
，则：
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（1）
,1
S n
；
（2）若
,
S n r
a
，
,
1
S n r
b
（
*
N
r
，
1
r
n
），则
1,
1
S n
r
.
17．（2023·上海杨浦·统考一模）我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的
几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的
四面体中“鳖臑”的个数是
.
18．（2022 上·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知非空集合
R
A
，设集合
,
,
,
S
x
y x
A y
A
x
y
T
x
y x
A y
A
x
y
且
且
．分别用|
| |
| |
|
A
S
T
、
、
表示集合A、S、T 中元素
的个数，则下列说法正确的是
．
①若|
|
4
A
，则|
|
|
| 8
S
T
；
②若|
| 4
A
，则|
|
|
| 12
S
T
；
③若|
| 5
A
，则|
|
|
|
S
T
可能为18；
④若|
| 5
A
，则|
|
|
|
S
T
不可能为19．
19．（2022 上·浙江·高二校联考阶段练习）我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：
从装有编号为1,2,3,
,
1
n
的+1
n
个球的口袋中取出m 个球
0
, ,
N
m
n m n
，共有
+1
Cm
n
种取法.在
+1
Cm
n
种
取法中，不取1号球有Cm
n 种取法；取1号球有
1
Cm
n
种取法.所以
1
1
C
C
C
m
m
m
n
n
n
.试运用此方法，写出如下等式
的结果：
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
4
2
2
4
1
C
C
C
C
C
C
C
C
n
n
n
n
n
.
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