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20.2 数据的波动程度
知识点1：极差
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差。
极差＝最大值－最小值。
知识点2：方差
用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果
叫方差。
方差公式为：s2=
［(x1-
)2+(x2-
)2+…+(x ｎ-
)2］，方差越小，数据越稳定.
【例题1】（2020•辽阳）某校九年级进行了3 次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4 名同学3 次数学成绩的
平均分都是129 分，方差分别是s 甲
2＝3.6，s 乙
2＝4.6，s 丙
2＝6.3，s 丁
2＝7.3，则这4 名同学3 次数学成
绩最稳定的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】A
【解析】根据方差的意义求解可得．
∵s 甲
2＝3.6，s 乙
2＝4.6，s 丙
2＝6.3，s 丁
2＝7.3，且平均数相等，
∴s 甲
2＜s 乙
2＜s 丙
2＜s 丁
2，
∴这4 名同学3 次数学成绩最稳定的是甲
【例题2】（2020•潍坊）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随
机抽取了10 名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
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一分钟跳绳个数
（个）
141
144
145
146
学生人数（名）
5
2
1
2
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．平均数是144
B．众数是141
C．中位数是144.5
D．方差是5.4
【答案】B
【解析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．
根据题目给出的数据，可得：
平均数为：x = 141×5+144×2+145×1+146×2
5+2+1+2
=143，故A 选项错误；
众数是：141，故B 选项正确；
中位数是：141+144
2
=142.5，故C 选项错误；
方差是：S
2= 1
10 [(141−143)
2×5+(144−143)
2×2+(145−143)
2×1+(146−143)
2×2]=4.4，故D 选
项错误.
一、选择题
1．（2020•安徽）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，
11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11
B．平均数是12
C．方差是18
7
D．中位数是13
【答案】D
【解析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，
最后做出选择．
数据11，10，11，13，11，13，15 中，11 出现的次数最多是3 次，因此众数是11，于是A 选项不符合题
意；
将这7 个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D 符合题意；
x =（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B 不符合题意；
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S2= 1
7 [（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]= 18
7 ，因此方差为18
7 ，于是选项C 不
符合题意.
2.（2020•临沂）如图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图．比较甲、乙的成绩，下列说法正确的
是（ ）
A．甲平均分高，成绩稳定
B．甲平均分高，成绩不稳定
C．乙平均分高，成绩稳定
D．乙平均分高，成绩不稳定
【答案】D
【解析】分别求出甲、乙的平均数、方差，比较得出答案．
x乙= 100+85+90+80+95
5
=90，x甲= 85+90+80+85+80
5
=80，因此甲的平均数较高；
S2
乙= 1
5[（100﹣90）2+（85﹣90）2+（80﹣90）2+（95﹣90）2]＝50，
S2
甲= 1
5[（85﹣80）2+（90﹣80）2+（85﹣80）2]＝30，
∵50＞30，
∴乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定.
3．（2020•连云港）“红色小讲解员”演讲比赛中，7 位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手
成绩时，从7 个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5 个有效评分．5 个有效评分与7 个原始评
分相比，这两组数据一定不变的是（ ）
A．中位数
B．众数
C．平均数
D．方差
【答案】A
【解析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义即可求解．
根据题意，从7 个原始评分中去掉1 个最高分和1 个最低分，得到5 个有效评分．5 个有效评分与7 个原始
评分相比，不变的是中位数．
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4.（2019•四川自贡）在5 轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90 分，甲的
成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
【答案】B
【解析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度
越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
根据方差的意义求解可得．
∵乙的成绩方差＜甲成绩的方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定。
5.（2019•攀枝花）比较A 组、B 组中两组数据的平均数及方差，以下说法正确的是（ ）
A．A 组、B 组平均数及方差分别相等
B．A 组、B 组平均数相等，B 组方差大
C．A 组比B 组的平均数、方差都大
D．A 组、B 组平均数相等，A 组方差大
【答案】D．
【解析】由图象可看出A 组的数据为：3，3，3，3，3，2，2，2，2，
B 组的数据为：2，2，2，2，3，0，0，0，0
则A 组的平均数为
A＝
×（3+3+3+3+3+2+2+2+2）＝
B 组的平均数为
B＝
×（2+2+2+2+3+0+0+0+0）＝
∴
A＝
B
A 组的方差S2
A＝
×[（3﹣
）2+（3﹣
）2+（3﹣
）2+（3﹣
）2+（3﹣
）2+（﹣1﹣
）2+
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（﹣1﹣
）2+（﹣1﹣
）2+（﹣1﹣
）2]＝
B 组的方差S2
B＝
×[（2﹣
）2+（2﹣
）2+（2﹣
）2+（2﹣
）2+（3﹣
）2+（0﹣
）2+（0
﹣
）2+（0﹣
）2+（0﹣
）2]＝
∴S2
A＞S2
B
综上，A 组、B 组的平均数相等，A 组的方差大于B 组的方差。
6.教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛．两人在形同条件下各
打了5 发子弹，命中环数如下：甲：9、8、7、7、9；乙：10、8、9、7、6．应
该选（ ）参加．
A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．无法确定
【答案】A
【解析】根据题意分别求出甲、乙的平均数和方差，根据方差越小越稳定，可以解答本题．由题
意可得，
甲的平均数为：
，
方差为：
=0.8，
乙的平均数为：
，
方差为：
=2，
∵0.8＜2，
∴选择甲射击运动员.
7.一组数据2，x，4，3，3 的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是（ ）
A．3，3，0.4 B．2，3，2 C．3，2，0.4 D．3，3，2
【答案】A
【解析】先根据平均数的定义求出x 的值，再根据众数、中位数的定义和方差公式分别进行解答
即可．
根据题意，
=3，解得：x=3，
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∴这组数据从小到大排列为：2，3，3，3，4；
则这组数据的中位数为3，
这组数据3 出现的次数最多，出现了3 次，故众数为3；
其方差是：
×[（2﹣3）2+3×（3﹣3）2+（4﹣3）2]=0.4
8.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
∵
=
＞
=
，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵
=
＜
＜
，
∴选择甲参赛.
9. 毕节市某地盛产天麻，为了解今年这个地方天麻的收成情况，特调查了20 户农户，数据如下：（单位：
千克）则这组数据的（ ）
300 200 150 100 500 100 350 500 300 400
150 400 200 350 300 200 150 100 450 500
Ａ．平均数是290 Ｂ．众数是300 Ｃ．中位数是325 Ｄ．极差是500
【答案】B。
【解析】根据平均数、中位数、极差和众数的定义分别进行计算即可
平均数是（300×3+200×3+150×3+100×3+500×3+400×2+350×2+450×1）÷20=285。
∵300，200，150，100，500 出现了三次，次数最多，
∴这组数据的众数是300，200，150，100，500。所以300 也是其中的一位众数。
中位数是（300+300）÷2=300。
极差是：500－100=400。故选B。
二、填空题
10．（2020•绥化）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90 分，方差分别为S 甲
2＝0.70，S
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乙
2＝0.73，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 同学．
【答案】甲．
【解析】根据方差的意义：方差越小，它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此求解可得．
∵S 甲
2＝0.70，S 乙
2＝0.73，
∴S 甲
2＜S 乙
2，
∴甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学.
11．某鸡腿生产公司的质检人员从两批鸡腿中各随机抽取了6 个，记录相应的质量（g）如表，若甲、乙两
个样本数据的方差分别为S 甲
2、S 乙
2，则S 甲
2 S 乙
2（填“＞“、“＝”、“＜”）
质量
70
71
72
73
甲
1
4
1
0
乙
3
2
0
1
【答案】＜．
【解析】分别计算甲、乙的方差，比较得出答案．
∵x甲= 70+71×4+72
6
=71，x乙= 70×3+71×2+73
6
= 425
6
，
∴S甲
2 = 1
6 [（70﹣71）2+（72﹣71）2]= 1
3，
S乙
2 = 1
6
[（70−425
6
）2×3+（71−425
6
）2×2+（73−425
6
）2]= 1421
6
，
∵1421
6
＞1
3
，
∴S甲
2 ＜S乙
2
12．（2020•牡丹江）若一组数据21，14，x，y，9 的众数和中位数分别是21 和15，则这组数据的平均数
为 ．
【答案】16
【解析】一组数据21，14，x，y，9 的中位数是15，可知x、y 中有一个数是15，又知这组数的众数是
21，因此x、y 中有一个是21，所以x、y 的值为21 和15，可求出平均数．
∵一组数据21，14，x，y，9 的中位数是15，
∴x、y 中必有一个数是15，
又∵一组数据21，14，x，y，9 的众数是21，
∴x、y 中必有一个数是21，
∴x、y 所表示的数为15 和21，
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∴x = 21+14+15+21+9
5
=16
13.（2019•贵州省安顺市）已知一组数据x1，x2，x3，…，xn 的方差为2，则另一组数据3x1，3x2，
3x3，…，3xn的方差为 ．
【答案】18
【解析】∵一组数据x1，x2，x3…，xn的方差为2，
∴另一组数据3x1，3x2，3x3…，3xn的方差为32×2＝18．
三、解答题
14. 广州市努力改善空气质量，近年来空气质量明显好转，根据广州市环境保护局公布的2006﹣2010 这五
年各年的全年空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息回答：
（1）这五年的全年空气质量优良天数的中位数是______，极差是_____．
（2）这五年的全年空气质量优良天数与它前一年相比，增加最多的是______年（填写年份）．
（3）求这五年的全年空气质量优良天数的平均数．
【答案】（1）345；24。（2）2008．（3）343.2（天）。
【解析】本题考点有折线统计图，中位数，极差，算术平均数。
（1）把这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答：这五年的全年空气
质量优良天数按照从小到大排列如下：333、334、345、347、357，所以中位数是345。根据极差的定义，
用最大的数减去最小的数即可：极差是：357﹣333=24。
（2）分别求出相邻两年下一年比前一年多的优良天数，即可得解：
2007 年与2006 年相比，333﹣334=﹣1，2008 年与2007 年相比，345﹣333=12，
2009 年与2008 年相比，347﹣345=2，2010 年与2009 年相比，357﹣347=10，
所以增加最多的是2008 年。
（3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解。
这五年的全年空气质量优良天数的平均数
(334+333+345+347+357)/5=343.2 天.
