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2021 年湖北省荆门市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10 小题,每小题3 分,共30 分.在每小题中均给出了四个答案,其中有且
只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上)
1．2021 的相反数的倒数是（ ）
A．﹣2021
B．2021
C．﹣
D．
2．“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累
计投资1.102×108元资金．数据1.012×108用科学记数法可表示为（ ）
A．10.12 亿
B．1.012 亿
C．101.2 亿
D．1012 亿
3．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的
字是（ ）
A．传
B．国
C．承
D．基
5．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5
B．
＝x
C．（﹣x）2+x＝x3
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四
尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳
子还剩余4.5 尺；将绳子对折再量，木条还剩余1 尺；问长木多少尺？如果设木条长为x
尺，绳子长为y 尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD 中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（
）
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
8．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）
A．30°
B．35°
C．45°
D．55°
9．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k 与y＝
（k≠0）的大致图象是（ ）
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A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2
＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方
程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论
的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题(本大题共6 小题,每小题3 分,共18 分,请将结果填写在答题卡相应位置)
11．计算：|1﹣
|+（
）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝ ．
12．把多项式x3+2x2﹣3x 因式分解，结果为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB 绕
原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A 的对应点C 恰好在函数y＝
（k≠0）的图象
上，若在y ＝
的图象上另有一点M 使得∠MOC ＝30° ，则点M 的坐标为
．
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14．如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相
交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
15．关于x 的不等式组
恰有2 个整数解，则a 的取值范围是 ．
16．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021 是表中第 行第 列．
三、解答题(本大题共8 小题,共72 分,请在答题卡相应区域作答)
17．（8 分）先化简，再求值：
•（
﹣
），其中x＝3﹣
．
18．（8 分）为庆祝中国共产党建党100 周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知
识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为
A、B、C、D 四个等级，其等级对应的分值分别为100 分、90 分、80 分、70 分，将这
两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．
（1）这次预赛中，二班成绩在B 等及以上的人数是多少？
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（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；
（3）已知一班成绩A 等的4 人中有两个男生和2 个女生，二班成绩A 等的都是女生，
年级要求从这两个班A 等的学生中随机选2 人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能
性相等，求抽取的2 人中至少有1 个男生的概率．
19．（8 分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，
FH⊥BH．
（1）求证：BE＝CH；
（2）若AB＝3，BE＝x，用x 表示DF 的长．
20．（8 分）某海域有一小岛P，在以P 为圆心，半径r 为10（3+
）海里的圆形海域内
有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A 处测得小岛P 位于北偏东60°的方向上，当海
监船行驶20
海里后到达B 处，此时观测小岛P 位于B 处北偏东45°方向上．
（1）求A，P 之间的距离AP；
（2）若海监船由B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，
那么海监船由B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
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21．（8 分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0 有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m 的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝
？若存在，求出实数m 的值；若
不存在，请说明理由．
22．（10 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，点E 在BC 边上，过A，C，E 三点的⊙O
交AB 边于另一点F，且F 是
的中点，AD 是⊙O 的一条直径，连接DE 并延长交AB
边于M 点．
（1）求证：四边形CDMF 为平行四边形；
（2）当CD＝
AB 时，求sin∠ACF 的值．
23．（10 分）某公司电商平台，在2021 年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经
市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表
仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x 为多少时，周销售利润W 最大？并求出此时的
最大利润；
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（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定
该商品售价x 不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满
足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050 元，求m 的值．
24．（12 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 交x 轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y 轴
于点C（0，﹣3），点Q 为线段BC 上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求|QO|+|QA|的最小值；
（3）过点Q 作PQ∥AC 交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ 与
△PBQ 面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P 坐标，使得S 最大，并求此最大值．
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2021 年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10 小题,每小题3 分,共30 分.在每小题中均给出了四个答案,其中有且
只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上)
1．2021 的相反数的倒数是（ ）
A．﹣2021
B．2021
C．﹣
D．
【分析】先求出2021 的相反数，再求这个数的倒数即可．
【解答】解：2021 的相反数是﹣2021，
﹣2021 的倒数是﹣
，
故选：C．
2．“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累
计投资1.102×108元资金．数据1.012×108用科学记数法可表示为（ ）
A．10.12 亿
B．1.012 亿
C．101.2 亿
D．1012 亿
【分析】确定出原数中整数位数，然后再确定其中0 的个数即可．
【解答】解：数据1.102×108用科学记数法可表示为：1.102×108＝110200000＝1.012 亿，
故选：B．
3．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
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C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
4．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的
字是（ ）
A．传
B．国
C．承
D．基
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“传”与“因”是相对面，
“承”与“色”是相对面，
“红”与“基”是相对面．
故选：D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5
B．
＝x
C．（﹣x）2+x＝x3
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
【分析】根据有理数乘方，二次根式化简及整式乘法分别计算求解．
【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，错误，不满足题意．
B.
＝|x|，错误，不满足题意．
C．（﹣x）2+x＝x2+x，错误，不满足题意．
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正确，满足题意．
故选：D．
6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四
尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳
子还剩余4.5 尺；将绳子对折再量，木条还剩余1 尺；问长木多少尺？如果设木条长为x
尺，绳子长为y 尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；
绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．
【解答】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为：
．
故选：A．
7．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD 中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（
）
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根
据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平
行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，带哦求出答案即可．
【解答】解：延长EH 交AB 于N，
∵△EFH 是等腰直角三角形，
∴∠FHE＝45°，
∴∠NHB＝∠FHE＝45°，
∵∠1＝30°，
∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，
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∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2+∠HNB＝180°，
∴∠2＝75°，
故选：C．
8．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）
A．30°
B．35°
C．45°
D．55°
【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠PBO＝∠PAO＝90°，根据四边形的内角和等
于360°得到∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，根据等腰三角形的性质即可得
到结论．
【解答】解：连接OA，
∵PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是切点，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝
（180°﹣∠BOA）＝
（180°﹣110°）＝35°，
故选：B．
9．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k 与y＝
（k≠0）的大致图象是（ ）
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A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【分析】根据k 的取值范围，分别讨论k＞0 和k＜0 时的情况，然后根据一次函数和反
比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：当k＞0 时，
一次函数y＝kx﹣k 经过一、三、四象限，
函数的y＝
（k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0 时，
一次函数y＝kx﹣k 经过一、二、四象限，
函数的y＝
（k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2
＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方
程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论
的个数是（ ）
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12
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】根据题意得出x＝﹣2 时函数值的符号和x＝1 时函数的值，以及顶点的坐标公
即可得出答案．
【解答】解：根据题意得a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
当x＝﹣2 时，有4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，
∴2a+c＜0，
∴②正确，
由2a+c＜0，得﹣2a﹣c＞0，
∴2（﹣a﹣c）+c＞0，
∴2b+c＞0，
∴①正确，
由a（m+1）﹣b+c＞0 得a﹣b+c＞﹣am，
当x＝﹣1 时，a﹣b+c＞0，而a＜0，m＜0，
∴﹣am＜0＜a﹣b+c，
∴③正确，
若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0 有两个不相等的实数根，
即a（x﹣m）（x﹣1）＝1 有两个不相等的实数根，
∴顶点的纵坐标
，
∴4ac﹣b2＜4a，
∴④正确，
故选：A．
二、填空题(本大题共6 小题,每小题3 分,共18 分,请将结果填写在答题卡相应位置)
11．计算：|1﹣
|+（
）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝
2
+2
．
【分析】根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝
﹣1+2+2×
+1
＝
﹣1+2+
+1
＝2
+2．
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12．把多项式x3+2x2﹣3x 因式分解，结果为
x （
x +3
）（
x ﹣
1 ）
．
【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：原式＝x（x2+2x﹣3）＝x（x+3）（x﹣1），
故答案为：x（x+3）（x﹣1）．
13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB 绕
原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A 的对应点C 恰好在函数y＝
（k≠0）的图象
上，若在y＝
的图象上另有一点M 使得∠MOC＝30°，则点M 的坐标为 （
，
1 ）
．
【分析】作AE⊥OB 于E，MF⊥x 轴于F，则AE＝1，解直角三角形求得OE＝
，即
可求得C 的坐标，根据待定系数法求的反比例函数的解析式，进一步表示出M（
n，
n），代入解析式即可求得结果．
【解答】解：作AE⊥OB 于E，MF⊥x 轴于F，则AE＝1，
∵∠AOB＝30°，
∴OE＝
AE＝
，
将Rt△OAB 绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A 的对应点C 为（1，
），
∵点C 在函数y＝
（k≠0）的图象上，
∴k＝1×
＝
，
∴y＝
，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
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14
∴OF＝
MF，
设MF＝n，则OF＝
n，
∴M（
n，n），
∵点M 在函数y＝
的图象上，
∴n＝
，
∴n＝1（负数舍去），
∴M（
，1），
故答案为（
，1）．
14．如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相
交于点P，那么图中阴影部分的面积为
2
﹣
．
【分析】连接PB、PC，作PF⊥BC 于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解
直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC 于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC 为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
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15
∴BF＝PB•cos60°＝
PB＝1，PF＝PB•sin60°＝
，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP 的面积﹣（扇形BPC 的面积﹣△BPC 的面积）]×2
＝[
﹣（
﹣
×2×
）]×2＝2
﹣
，
故答案为：2
﹣
．
15．关于x 的不等式组
恰有2 个整数解，则a 的取值范围是
5 ≤
a ＜
6
．
【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于a 的不等式，解
之可得答案．
【解答】解：解不等式﹣（x+a）＜3，得：x＞a﹣3，
解不等式
≥x﹣1，得：x≤4，
∵不等式组有2 个整数解，
∴2＜a﹣3≤3，
解得5≤a＜6．
故答案为：5≤a＜6．
16．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021 是表中第
64
行第
5
列．
【分析】根据表格中的数据，可以写出前几行的数字个数，然后即可写出前n 行的数字
个数，从而可以得到2021 在图中的位置．
【解答】解：由图可知，
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第一行1 个数字，
第二行2 个数字，
第三行3 个数字，
…，
则第n 行n 个数字，
前n 行一共有
个数字，
∵
＜2021＜
，2021﹣
＝2021﹣2016＝5，
∴2021 是表中第64 行第5 个列，
故答案为：64，5．
三、解答题(本大题共8 小题,共72 分,请在答题卡相应区域作答)
17．（8 分）先化简，再求值：
•（
﹣
），其中x＝3﹣
．
【分析】先将括号内通分化简，然后约分代入x 的值求解．
【解答】解：
（
﹣
）
＝
[
﹣
]
＝
[
﹣
]
＝
•
＝
，
把x＝3﹣
代入原式得：
＝
＝
＝3+2
．
18．（8 分）为庆祝中国共产党建党100 周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知
识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为
A、B、C、D 四个等级，其等级对应的分值分别为100 分、90 分、80 分、70 分，将这
两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．
（1）这次预赛中，二班成绩在B 等及以上的人数是多少？
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17
（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；
（3）已知一班成绩A 等的4 人中有两个男生和2 个女生，二班成绩A 等的都是女生，
年级要求从这两个班A 等的学生中随机选2 人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能
性相等，求抽取的2 人中至少有1 个男生的概率．
【分析】（1）由条形图得出一班比赛的人数为20 人，则二班参赛人数为20 人，即可
解决问题；
（2）由加权平均数定义和中位数定义分别求解即可；
（3）画树状图，共有30 种等可能的结果，抽取的2 人中至少有1 个男生的结果有18 种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由条形图可知，一班比赛的人数为：4+9+5+2＝20（人），
∵两个班参加比赛的人数相同，
∴二班参赛人数为20 人，
∴这次预赛中，二班成绩在B 等及以上的人数为：20×10%+20×35%＝9（人）；
（2）一班成绩的平均数为：
（100×4+90×9+80×5+70×2）＝87.5（分），
由题意得：二班成绩的中位数为80 分；
（3）∵二班成绩A 等的都是女生，
∴二班成绩A 等的人数为：20×10%＝2（人），
把一班成绩A 等的2 个男生分别记为A、B，其他成绩A 等的4 个女生分别记为C、D、
E、F，
画树状图如图：
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共有30 种等可能的结果，抽取的2 人中至少有1 个男生的结果有18 种，
∴抽取的2 人中至少有1 个男生的概率为
＝
．
19．（8 分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，
FH⊥BH．
（1）求证：BE＝CH；
（2）若AB＝3，BE＝x，用x 表示DF 的长．
【分析】（1）由正方形ABCD，∠AEF＝90°，FH⊥BH，可得∠H＝∠B，∠AEB＝
∠F，从而△ABE≌△EHF，可得EH＝AB＝BC，即可证明CH＝BE；
（2）连接DF，过F 作FP⊥CD 于P，证明四边形PCHF 是正方形，可得PF＝CP＝BE
＝x，DP＝DC﹣CP＝3﹣x，即可在Rt△DPF 中，得DF＝
．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∵FH⊥BH，
∴∠H＝90°＝∠B，∠F＝90°﹣∠FEH，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠FEH，
∴∠AEB＝∠F，
在△ABE 和△EHF 中，
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，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴EH＝AB＝BC，BE＝FH，
∴EH﹣EC＝BC﹣EC，即CH＝BE；
（2）连接DF，过F 作FP⊥CD 于P，如图：
∵∠H＝∠DCH＝∠FPC＝90°，
∴四边形PCHF 是矩形，
由（1）知：BE＝FH＝CH，
∴四边形PCHF 是正方形，
∴PF＝CP＝CH＝BE＝x，
∵DC＝AB＝3，
∴DP＝DC﹣CP＝3﹣x，
Rt△DPF 中，DF＝
，
∴DF＝
＝
．
20．（8 分）某海域有一小岛P，在以P 为圆心，半径r 为10（3+
）海里的圆形海域内
有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A 处测得小岛P 位于北偏东60°的方向上，当海
监船行驶20
海里后到达B 处，此时观测小岛P 位于B 处北偏东45°方向上．
（1）求A，P 之间的距离AP；
（2）若海监船由B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，
那么海监船由B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
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20
【分析】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P 到航线AB 的最低距离PC，与
暗礁的半径比较即可得出答案；
（2）规划新航线BD，使小岛P 到新航线的距离PE 等于暗礁的半径，进而求出
∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角．
【解答】解：（1）过点P 作PC⊥AB，交AB 的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20
，
设PC＝x，则BC＝x，
在Rt△PAC 中，
∵tan30°＝
＝
＝
，
∴x＝10
+10
，
∴PA＝2x＝20
+20
，
答：A，P 之间的距离AP 为（20
+20
）海里；
（2）因为PC﹣10（3+
）＝10
+10
﹣30﹣10
＝10（
+1）（
﹣
）＜
0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P 到BD 的距离PE＝10（3+
）海里时，
有sin∠PBE＝
＝
＝
，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°
即海监船由B 处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．
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21．（8 分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0 有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m 的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝
？若存在，求出实数m 的值；若
不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用判别式的意义得到m≤5，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝6，
x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1 可求出x2和m 的值；
（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝
得到2m﹣1﹣6＝
，整理得m2﹣8m+12＝0，解
得m1＝2，m2＝6，然后利用m 的范围确定m 的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝
，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝
，
即2m﹣1﹣6＝
，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∵m≤5 且m≠5，
∴m＝2．
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22
22．（10 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，点E 在BC 边上，过A，C，E 三点的⊙O
交AB 边于另一点F，且F 是
的中点，AD 是⊙O 的一条直径，连接DE 并延长交AB
边于M 点．
（1）求证：四边形CDMF 为平行四边形；
（2）当CD＝
AB 时，求sin∠ACF 的值．
【分析】（1）连接DF、EF，根据圆周角定理得到∠ADF＝∠EDF，进而证明∠OFD＝
∠EDF，根据平行线的判定定理得到FC∥DM，根据矩形的性质得到AF∥CD，根据平
行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据题意得到CD＝2BM，证明△BEM∽△CED，根据相似三角形的性质得到EC
＝2BE，根据勾股定理、正弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC 是⊙O 的直径，
∵F 是
的中点，
∴
＝
，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，
∴四边形AFDC 为矩形，
∴AF∥CD，
∴四边形CDMF 为平行四边形；
（2）解：∵四边形AFDC 为矩形，四边形CDMF 为平行四边形，
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∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CD＝
AB，
∴CD＝
（2CD+BM），
∴CD＝2BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴
＝
＝
，
∴EC＝2BE，
设BM＝a，则CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，
在Rt△BEF 中，BE＝
＝
a，
∴EC＝2
a，
在Rt△CEF 中，FC＝
＝2
a，
在Rt△FAC 中，sin∠ACF＝
＝
＝
．
23．（10 分）某公司电商平台，在2021 年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经
市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表
仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x 为多少时，周销售利润W 最大？并求出此时的
最大利润；
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（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定
该商品售价x 不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满
足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050 元，求m 的值．
【分析】（1）设y＝kx+b，把x＝40，y＝180 和x＝70，y＝90，代入可得解析式．
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝（﹣3x+300）（x﹣a），把x＝40，W
＝3600，代入上式可得关系式W＝﹣3（x﹣60）2+4800，顶点的纵坐标是有最大值．
（3）根据根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）
（x≤55），其对称轴x＝60+
＞60，0＜x≤55 时，函数单调递增，只有x＝55 时周销
售利润最大，即可得m＝5．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意有：
，
解得
，
所以y 关于x 的函数解析式为y＝﹣3x+300；
（2）由（1）W＝（﹣3x+300）（x﹣a），
又由表知，把x＝40，W＝3600，代入上式可得关系式
得：3600＝（﹣3×40+300）（40﹣a），
∴a＝20，
∴W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）2+4800，
所以售价x＝60 时，周销售利润W 最大，最大利润为4800；
（3）由题意W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），
其对称轴x＝60+
＞60，
∴0＜x≤55 时，函数单调递增，
∴只有x＝55 时周销售利润最大，
∴4050＝﹣3（55﹣100）（55﹣20﹣m），
∴m＝5．
24．（12 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 交x 轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y 轴
于点C（0，﹣3），点Q 为线段BC 上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
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（2）求|QO|+|QA|的最小值；
（3）过点Q 作PQ∥AC 交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ 与
△PBQ 面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P 坐标，使得S 最大，并求此最大值．
【分析】（1）运用待定系数法设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入，即可求
得答案；
（2）如图1，作点O 关于直线BC 的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，
由O、O′关于直线BC 对称，得出四边形BOCO′是正方形，根据|QA|+|QO′|≥|
AO′|，|QO′|＝|QO|，得出答案；
（3）运用待定系数法求出直线BC、AC、PQ 的解析式，设P（m，m2﹣2m﹣3），联立
方程组，得：
，求得Q（
，
），再运用三角形面积
公式求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线交x 轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入，
得：﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，作点O 关于直线BC 的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
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∴∠BCO＝45°，
∵O、O′关于直线BC 对称，
∴BC 垂直平分OO′，
∴OO′垂直平分BC，
∴四边形BOCO′是正方形，
∴O′（3，﹣3），
在Rt△ABO′中，|AO′|＝
＝
＝5，
∵|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|＝|QO|，
∴|QO|+|QA|＝|QA|+|QO′|≥|AO′|＝5，即点Q 位于直线AD 与直线BC 交点时，|QO|+|
QA|有最小值5；
（3）设直线BC 的解析式为y＝kx+d，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴
，
解得：
，
∴直线BC 的解析式为y＝x﹣3，
设直线AC 的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴
，
解得：
，
∴直线AC 的解析式为y＝﹣3x﹣3，
∵PQ∥AC，
∴直线PQ 的解析式可设为y＝﹣3x+b，
由（1）可设P（m，m2﹣2m﹣3），代入直线PQ 的解析式，
得：m2﹣2m﹣3＝﹣3m+b，
解得：b＝m2+m﹣3，
∴直线PQ 的解析式为y＝﹣3x+m2+m﹣3，
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联立方程组，得：
，
解得：
，
∴Q（
，
），
由题意：S＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PAB﹣S△QAB，
∵P，Q 都在第四象限，
∴P，Q 的纵坐标均为负数，
∴S＝
|AB|•（﹣m2+2m+3）﹣
|AB|•（﹣
）＝﹣
m2+
m＝﹣
（m﹣
）
2+
，
由题意，得0＜m＜3，
∴m＝
时，S 最大，
即P（
，﹣
）时，S 有最大值
．
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