文档文本内容
新性质为导向的压轴题
1.已知Am＝(m≥2)是m2 个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i<s≤m，
1≤j<t≤m 时，记d(ai，j，as，t)＝|ai，j－as，j|＋|as，j－as，t|.设n∈N*，若Am满足如下
两个性质：
①ai，j∈{1，2，3，…，n}(i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，m)；
②对任意k∈{1，2，3，…，n}，存在i∈{1，2，…，m}，j∈{1，2，…，m}，
使得ai，j＝k，则称Am为Γn数表.
(1)判断A3＝是否为Γ3数表，并求d(a1，1，a2，2)＋d(a2，2，a3，3)的值；
(2)若Γ2数表A4满足d(ai，j，ai＋1，j＋1)＝1(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，求A4中各数
之和的最小值；
(3)证明：对任意Γ4数表A10，存在1≤i<s≤10，1≤j＜t≤10，使得d(ai，j，as，t)＝
0.
(1)解 A3＝是Γ3数表，d(a1，1，a2，2)＋d(a2，2，a3，3)＝2＋3＝5.
(2)解 由题可知d(ai，j，as，t)＝|ai，j－as，j|＋|as，j－as，t|＝1(i＝1，2，3；j＝1，2，
3).
当ai＋1，j＝1 时，有d(ai，j，ai＋1，j＋1)＝(ai，j－1)＋(ai＋1，j＋1－1)＝1，所以ai，j＋ai＋
1，j＋1＝3.
当ai＋1，j＝2 时，有d(ai，j，ai＋1，j＋1)＝(2－ai，j)＋(2－ai＋1，j＋1)＝1，所以ai，j＋ai＋
1，j＋1＝3.
所以ai，j＋ai＋1，j＋1＝3(i＝1，2，3；j＝1，2，3).
所以a1，1＋a2，2＋a3，3＋a4，4＝3＋3＝6，a1，3＋a2，4＝3，a3，1＋a4，2＝3.
a1，2＋a2，3＋a3，4＝3＋1＝4 或者a1，2＋a2，3＋a3，4＝3＋2＝5，a2，1＋a3，2＋a4，3＝3
＋1＝4 或者a2，1＋a3，2＋a4，3＝3＋2＝5，a1，4＝1 或a1，4＝2，a4，1＝1 或a4，1＝2
，故各数之和≥6＋3＋3＋4＋4＋1＋1＝22，当A4＝时，各数之和取得最小值
22.
(3)证明 由于Γ4数表A10中共100 个数字，必然存在k∈{1，2，3，4}，使得数
表中k 的个数满足T≥25.
设第i 行中k 的个数为ri(i＝1，2，…，10).
当ri≥2 时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有ri1 条有向
线段，所以横向有向线段的起点总数R＝∑(ri－1)≥∑ (ri－1)＝T－10.
设第j 列中k 的个数为cj(j＝1，2，…，10).
当cj≥2 时，将纵向相邻两个k 用从上到下的有向线段连接，则该列有cj－1 条有
向线段，所以纵向有向线段的起点总数C＝∑(cj－1)≥∑ (cj－1)＝T－10，所以R
＋C≥2T－20.
因为T≥25，所以R＋C－T≥2T－20－T＝T－20>0.
所以必存在某个k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在
1<u<v≤10，1<p<q≤10，使得au，p＝av，p＝av，q＝k，
所以d(au，p，av，q)＝|au，p－av，p|＋|av，p－av，q|＝0，则命题得证.
2.已知数列{an}为有穷数列，且an∈N*，若数列{an}满足如下两个性质，则称数
列{an}为m 的k 增数列：
①a1＋a2＋a3＋…＋an＝m；
②对于1≤i<j≤n，使得ai<aj的正整数对(i，j)有k 个.
(1)写出所有4 的1 增数列；
(2)当n＝5 时，若存在m 的6 增数列，求m 的最小值；
(3)若存在100 的k 增数列，求k 的最大值.
解 (1)由题意得a1＋a2＋…＋an＝4，则1＋2＋1＝4 或1＋3＝4，故所有4 的1
增数列有数列{1，2，1}和数列{1，3}.
(2)当n＝5 时，因为存在m 的6 增数列，
所以数列{an}的各项中必有不同的项，
所以m≥6 且m∈N*.
若m＝6，满足要求的数列{an}中有四项为1，一项为2，所以k≤4，不符合题意，
所以m>6.
若m＝7，满足要求的数列{an}中有三项为1，两项为2，符合m 的6 增数列.
因此，当n＝5 时，若存在m 的6 增数列，
则m 的最小值为7.
(3)若数列{an}中的每一项都相等，则k＝0，
若k≠0，则数列{an}中存在大于1 的项，
若首项a1≠1，将a1拆分成a1个1 后k 变大，
所以此时k 不是最大值，所以a1＝1.
当i＝2，3，…，n 时，若ai>ai＋1，交换ai，ai＋1的顺序后k 变为k＋1，
所以此时k 不是最大值，所以ai≤ai＋1.
若ai＋1－ai∉{0，1}，则ai＋1≥ai＋2，
所以将ai＋1改为ai＋1－1，并在数列首位前添加一项1，k 的值变大，
所以此时k 不是最大值，所以ai＋1－ai∈{0，1}.
若数列{an}中存在相邻的两项ai＝2，ai＋1≥3，
设此时{an}中有t 项为2，将ai＋1改为2，并在数列首位前添加ai＋1－2 个1 后，k
的值至少变为k＋1，
所以此时k 不是最大值，所以数列{an}的各项只能为1 或2，所以数列{an}为1，
1，…，1，2，2，…，2 的形式.
设其中有x 项为1，有y 项为2，
因为存在100 的k 增数列，所以x＋2y＝100，
所以k＝xy＝(100－2y)y＝－2y2＋100y
＝－2(y－25)2＋1 250，
所以当且仅当x＝50，y＝25 时，k 取最大值，且k 的最大值为1 250.
