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限时练3(时间:45 分钟,分值:73 分)
学生用书
P217
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·山东潍坊三模)已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|x=3n,n∈Z},则A∩B 的子集个数是( )
A.3
B.4
C.8
D.16
答案C
解析由题意得A∩B={-3,0,3},则A∩B 的子集有23=8 个.
2.(2024·江苏南通模拟)直线x·tanπ
5
+y-2=0 的倾斜角为( )
A. π
5
B. 3 π
10
C. 7 π
10
D. 4 π
5
答案D
解析由题意可将原直线方程变形为y=-tanπ
5 ·x+2=tan4 π
5 ·x+2,由倾斜角的取值范围为[0,π),所以倾斜
角为4 π
5 .
3.(2024·浙江金华三模)命题P:x1,x2,…,x10的平均数与中位数相等;命题Q:x1,x2,…,x10是等差数列,则P
是Q 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案B
解析由x1,x2,…,x10是等差数列,所以x = x1+ x2+…+ x10
10
= x5+ x6
2
,而中位数也是x5+ x6
2
,所以
x1,x2,…,x10的平均数与中位数相等,即Q⇒P,P 是Q 的必要条件;若数据是1,1,1,1,3,3,5,5,5,5,则平均数
和中位数相等,但x1,x2,…,x10不是等差数列,所以P 推不出Q,所以P 不是Q 的充分条件.所以P 是Q 的
必要不充分条件.
4.从甲队60 人、乙队40 人中,按照分层随机抽样的方法从两队共抽取10 人,进行一轮答题.相关统计
情况如下:甲队答对题目的平均数为1,方差为1;乙队答对题目的平均数为1.5,方差为0.4,则这10 人
答对题目的方差为( )
A.0.8
B.0.675
C.0.74
D.0.82
答案D
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解析根据题意,按照分层随机抽样的方法从甲队中抽取10× 60
100
=6 人,从乙队中抽取10× 40
100
=4 人,
这10 人答对题目的平均数为1
10
(6×1+4× 3
2
)=6
5
,所以这10 人答对题目的方差为6
10 ×[1+(1-6
5
)2]+
4
10 ×[2
5
+(3
2 - 6
5
)2]=41
50
=0.82.
5.(2024·湖北武汉二模)灯笼起源于中国,每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼,营造一
种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是
球面的一部分(除去两个球缺).如图2,“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分,截得的圆面叫做
球缺的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V=π
3
(3R-h)h2,其中
R 是球的半径,h 是球缺的高.已知该灯笼的高为40 cm,圆柱的高为4 cm,圆柱的底面圆直径为24 cm,
则该灯笼的体积为(取π=3)( )
图1
图2
A.32 000 cm3
B.33 664 cm3
C.33 792 cm3
D.35 456 cm3
答案B
解析该灯笼去掉圆柱部分的高为40-8=32,则R-h=32
2
=16.由圆柱的底面圆直径为24 cm,则有(R-
h)2+122=R2,即162+122=R2,可得R=20,则h=4.设该灯笼的体积为V,则V=2V 圆柱+V 球-2V 球缺
=2×4×122×π+4
3 ×π×203-2× π
3 ×(60-4)×42=3 456+32 000-1 792=33 664.
6.(2024·山东烟台三模)若函数f(x)=sin(ωx+π
4
)在区间(0,π
3
)上有且只有一条对称轴和一个对称中心,
则正整数ω 的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案C
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解析由题意ω>0 且ω 是整数,若x∈(0,π
3
),则ωx+π
4 ∈(π
4 , π
3 ω+π
4
).若函数f(x)=sin(ωx+π
4
)在区间
(0,π
3
)上有且只有一条对称轴和一个对称中心,所以π<π
3 ω+π
4 ≤3 π
2
,ω∈N*,解得9
4
<ω≤15
4
,ω∈N*,
即ω=3.
7.(2024·辽宁沈阳一模)已知有100 个半径互不相等的同心圆,其中最小圆的半径为1,在每相邻的两个
圆中,小圆的切线被大圆截得的弦长都为2,则这100 个圆中最大圆的半径是( )
A.8
B.9
C.10
D.100
答案C
解析设这100 个圆的半径从小到大依次为r1,r2,…,r100,则由题知,r1
2=1,每相邻的两个圆中,小圆的切线
被大圆截得的弦长都为2,有rn+1
2
-rn
2=1(n=1,2,…,99),则{rn
2}是首项为1,公差为1 的等差数列,
n=1,2,…,100,所以r100
2 =100,得r100=10.
8.(2024·江西南昌三模)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=-1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式
(x+1)f(x+1)>-2 的解集是( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,2)
C.(1,+∞)
D.(2,+∞)
答案A
解析设g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=-2.∵对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,∴g'(x)=f(x)+xf'(x)<0 恒成立,即g(x)在
R 上单调递减,由(x+1)f(x+1)>-2 可得g(x+1)>g(2),∴x+1<2,解得x<1,即解集为(-∞,1).
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(x)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则( )
A.f'(x)为偶函数
B.f'(0)=0
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.若F(x)=f(x)+xf'(x),则F'(x)为奇函数
答案AC
解析对于A,因为f(x)为奇函数且在定义域R 上可导,即f(-x)=-f(x),所以两边对x 取导可得(-x)'f'(-
x)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为偶函数,故A 正确;
对于B,令f(x)=sin(πx),显然f(x)为奇函数,且最小正周期T=2π
π
=2,即满足f(x+2)=f(x),则
f'(x)=πcos(πx),则f'(0)=π,故B 错误;
对于C,因为f(x+2)=f(x)且f(x)为R 上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(x+2)=-f(-x),所以
f(x-1+2)=f(x+1)=-f(1-x),即f(x+1)+f(1-x)=0,
所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,故C 正确;
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对于D,因为F(x)=f(x)+xf'(x),则F(-x)=f(-x)-xf'(-x)=-f(x)-xf'(x)=-F(x),
所以F(x)为奇函数,由A 可知F'(x)为偶函数,故D 错误.
故选AC.
10.(2024·山东聊城三模)设方程x2-x+1=0 的两根x1,x2在复平面内对应的点分别是X1,X2,则下列说法
正确的有( )
A.x1-x2的实部为1
B.X1,X2关于x 轴对称
C.|x1|=|x2|=1
D. x1x2+x1x2=-1
答案BCD
解析方程x2-x+1=0 的两根为1
2 + √3
2
i,1
2 - √3
2
i,不妨令x1=1
2 + √3
2
i,x2=1
2 - √3
2
i,则x1-x2=(1
2 + √3
2
i)-(
1
2 - √3
2
i)=√3i,所以x1-x2的实部为0,故A 错误;x1=1
2 + √3
2
i,x2=1
2 - √3
2
i 在复平面内对应的点分别是
X1(1
2 , √3
2
),X2(1
2
,-√3
2
),它们关于x 轴对称,故B 正确;由x1=1
2 + √3
2
i,x2=1
2 - √3
2
i,得|x1|=√( 1
2 )
2+( √3
2 )
2
=1,|x2|=√( 1
2 )
2+(- √3
2 )
2=1,即|x1|=|x2|=1,故C 正确;由x1=1
2 + √3
2
i,x2=1
2 - √3
2
i,得x1x2+x1x2=(1
2 - √3
2
i)(1
2 - √3
2
i)+(1
2 + √3
2
i)(1
2 + √3
2
i)=(1
2 - √3
2
i)2+(1
2 + √3
2
i)2=-1,故D 正确.故选BCD.
11.(2024·广东广州模拟)已知双曲线E: x
2
3 - y
2
b
2 =1(b>0),F 为其右焦点,点F 到渐近线的距离为1,平行
四边形ABCD 的顶点在双曲线E 上,点F 在平行四边形ABCD 的边上,则下列说法正确的有
(
)
A.b=√2
B.||AF|-|CF||=2√3
C.若平行四边形ABCD 各边所在直线的斜率均存在,则其值均不为±√3
3
D.四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD≥8√3
3
答案BCD
解析易知渐近线方程为bx±√3y=0,a=√3,焦点F 坐标为(√3+b
2,0),点F 到渐近线的距离为
|b√3+b
2|
√3+b
2
=1,解得b=1,故A 项错误;若F'为双曲线的左焦点,又点F 在平行四边形ABCD 上,则根据
对称性知点F'也在平行四边形ABCD 上,且|AF'|=|CF|,所以||AF|-|CF||=||AF|-|AF'||=2a=2√3,故B 项
正确;由b=1,得双曲线x
2
3
-y2=1 的渐近线方程为y=±√3
3
x.若平行四边形ABCD 各边所在直线的斜率
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均存在,当其值为±√3
3
时,则平行四边形ABCD 各对应边所在直线与双曲线不可能有四个交点,故C 项
正确;
如图,设直线CD:x=ty+2,-√3<t<√3,点C(xC,yC),D(xD,yD),联立双曲线方程得(t2-3)y2+4ty+1=0,且
Δ=12(t2+1)>0,所以yC+yD=- 4t
t
2-3
,yCyD=
1
t
2-3
,则|CD|=
√1+t
2·√( yC + y D)
2- 4 yC y D= 2√3(t
2+1)
3-t
2
.由对称性知点A(-xC,-yC),则点A 到直线CD 的距离
d=| xC -t yC +2|
√1+t
2
=
4
√1+t
2,所以S 四边形ABCD=d·|CD|=8√3·√1+t
2
3-t
2
,令m=√1+t
2∈[1,2),则S 四边形
ABCD=8√3m
4 -m
2 = 8√3
4
m -m
.又f(m)= 4
m
-m 在区间[1,2)上单调递减,故S 四边形ABCD在区间[1,2)上单调递增,所
以S 四边形ABCD≥8√3
3
,故D 项正确.故选BCD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·广东揭阳二模)已知椭圆的长轴长是短轴长的√7倍,则该椭圆的离心率为 .
答案√42
7
解析设该椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,由题意得a=√7b,则e=c
a = √a
2-b
2
a
= √42
7
.
13.在△ABC 中,⃗AB=(cos θ,sin θ),⃗BC=(3sin θ,3cos θ).若⃗AB·⃗BC=2,则△ABC 的面积为 .
答案√5
2
解析|⃗AB|=√co s
2θ+ sin
2θ=1,
|⃗BC|=√9 sin
2θ+9co s
2θ=3,
则⃗AB·⃗BC=-⃗BA ·⃗BC=-|⃗BA|·|⃗BC|·cos B=-3cos B=2,所以cos B=-2
3 .
又由题知B∈(0,π),所以B∈π
2 ,π ,
所以sin B=√1-co s
2B = √5
3
,
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所以S△ABC=1
2 |⃗AB|·|⃗BC|·sin B=1
2 ×1×3× √5
3 = √5
2 .
14.在平行四边形ABCD 中,AB=1,AD=√2,∠A=π
4
,沿BD 将△ABD 折起,则三棱锥A-BCD 的体积最大
时,三棱锥A-BCD 外接球的表面积为 .
答案3π
解析在△ABD 中,AB=1,AD=√2,∠A=π
4
,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos A=2+1-2×√2×1
× √2
2
=1,解得BD=1,所以AB2+BD2=AD2,则AB⊥BD.
由题可知,当AB⊥平面BCD 时,三棱锥A-BCD 的体积最大,如右图,可将三棱锥A-BCD 补全为正方体,
则三棱锥A-BCD 外接球的半径即为正方体外接球的半径,易知2R=AC=√3,所以R=√3
2
,故三棱锥A-
BCD 外接球的表面积为S=4πR2=3π.
