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第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高二上·湖北·开学考试）掷两枚质地均匀的骰子，设 “第一枚出现小于4的
点”， “第二枚出现大于3的点”，则 与 的关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
【答案】C
【知识点】独立事件的判断
【分析】根据独立事件的概念进行判断.
【详解】对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，故 与 相互独立.
故选：C
2．（23-24高二下·全国·课后作业）某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨
号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】独立事件的乘法公式
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算即得.
【详解】设 “第 次拨号接通电话”， ，第3次拨号才接通电话可表示为
，
显然 ， ， 相互独立，则 ，
所以他第3次拨号才接通电话的概率为 .
故选：C
3．（23-24高一下·河南商丘·期末）已知事件 与事件 相互独立，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】独立事件的乘法公式
【分析】根据独立事件概率的乘法公式可得解.【详解】由题知 ，
故选：D．
4．（23-24高一下·天津南开·期末）为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了
以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛.已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功
包制一个粽子的概率分别为 ， ， ，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一
人成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】先结合对立事件概率公式，利用独立事件乘法公式求得没有一人成功的概率，再
由对立事件的概率公式求解即可.
【详解】由题意甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为 ， ，
，
则甲、乙、丙三位同学在比赛中都不能成功包制一个粽子的概率为
，
则在比赛中至少一人成功的概率为 .
故选：C
5．（24-25高二下·全国·课后作业）从20以内的质数中不放回地依次取2个数，记事件A
为“第一次取到的数是奇数”，事件B为“两次取出的数之和是奇数”，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】计算条件概率
【分析】先明确20以内的质数个数，接着求出 和 即可由条件概率公式
得解.
【详解】20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，
由题意得 ， ，所以 .
故选：D.
6．（24-25高二下·全国·课后作业）某人参加抽奖游戏，现有三叠外形、大小、图案均相同
的卡片，分别有10张、15张、20张，若每叠中有2张中奖卡片，则随机选择一叠卡片抽
取，中奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率
【分析】记事件 在第 叠卡片中抽奖， ，事件 中奖 ，根据全概率公式
即可求解.
【详解】记事件 在第 叠卡片中抽奖， ，事件 中奖 ，
则 ， ．
由全概率公式可得
．
故选:C.
7．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对
党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛.某班级在5道党
史题中（有3道选择和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件 为
“第一次抽到选择题”，事件 为“第二次抽到选择题”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】计算条件概率
【分析】根据条件概率公式计算即可．
【详解】 ， ，所以 .
故选：D.
8．（23-24高二下·北京延庆·期中）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个
社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为 ，其中甲班女生占 ，乙班女生占 ；则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】由全概率公式计算即可．
【详解】设“该社区居民遇到一位进行民意调查的同学是甲班同学”为事件 ，则“该社
区居民遇到一位进行民意调查的同学是乙班同学”为事件 ，“该社区居民遇到一位进行
民意调查的同学是女生”为事件 ，
由题意得 ， ， ， ，
所以 ，
故选：C．
二、多选题
9．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）设 ， 为随机事件，且 ， 是 ， 发
生的概率. ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， 互斥，则 B．若 ，则 ， 相
互独立
C．若 ， 互斥，则 ， 相互独立 D．若 ， 独立，则
【答案】ABD
【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断、独立事件的乘法公式
【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；
由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由相互独立事件的概念，可判断D选项.
【详解】对于选项A，若 互斥，根据互斥事件的概率公式，则
，所以选项A正确，
对于选项B，由相互独立事件的概念知，若 ，则事件 是相互独立事
件，所以选项B正确，
对于选项C，若 互斥，则 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件
：“正面朝上”，事件 ：“反面朝上”，事件 与事件 互斥，但 ，
，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误，
对于选项D，由相互独立事件的定义知，若 ， 独立，则 ，所以选项D正确，
故选：ABD.
10．（2024·云南大理·模拟预测）假设 是两个事件，且 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件
的乘法公式
【分析】A选项，利用条件概率公式得到 ；B选项， 与 相互独
立，故 ；C选项，根据 求出答案；
D选项，利用条件概率得到 .
【详解】A选项，因为 ， ， ， ，
所以 ，A正确；
B选项，因为事件 与 相互独立，所以 与 相互独立，
所以 ，B错误；
C选项， ，C错误；
D选项，因为 ，所以 ，D正确.
故选：AD.
三、填空题
11．（24-25高二上·安徽宣城·开学考试）已知事件 和事件 相互独立， 表示事件 的
对立事件， ， ，则 .
【答案】 /0.125
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式
【分析】根据相互独立事件的概率公式求解.【详解】由事件 和事件 相互独立，则事件 和事件 也相互独立.
所以 .
故答案为：
12．（2024·江苏南京·模拟预测）在概率论中，全概率公式指的是：设 为样本空间，若
事件 两两互斥， ，则对任意的事件 ，有
．若甲盒中有2个白球、2个红
球、1个黑球，乙盒中有 个白球 、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个
球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色
相同的概率大于等于 ，则 的最大值为 ．
【答案】6
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】设相应事件，结合全概率公式列式求解即可.
【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为 ， ， ，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为 ，
则 ，
可得
，
解得 ，则 的最大值为6．
故答案为：6.
四、解答题
13．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递
员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依
次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递．
(1)求客户满意的概率；
(2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？
【答案】(1)
(2) ； ； .
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】（1）利用全概率公式求解；（2）利用条件概率求解.
【详解】（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：
；
从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：
；
从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：
.
所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为： .
（2）设“客户满意”为事件 ，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件 ，
则客户满意且是甲运送的概率为： ,
客户满意且是乙运送的概率为： ,
客户满意且是丙运送的概率为： .
14．（23-24高二下·广西·期中）2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽
车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意
率分别为80%，60%，70%．
(1)求用户对S型新能源汽车的满意率；
(2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源
汽车的概率．
【答案】(1)0.7
(2)0.4
【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】（1）由全概率公式求解即可；
（2）由贝叶斯公式求解．
【详解】（1）设 “用户购买的是高价位的S型新能源汽车”，
“月用户购买的是中价位的S型新能源汽车”，
“用户购买的是低价位的S型新能源汽车”，
“用户对S型新能源汽车满意”，
则 ， ， 两两互斥，且 ， ， ，
， ， ，
由全概率公式得．
（2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源
汽车的概率，就是在B发生的条件下， 发生的概率，
B能力提升
15．（2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两
人的胜率均为 ，小郅胜小睿的胜率为 ，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取
一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某
人赢得两场比赛，则其为最终获胜者.
(1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
(2)求最终小金获胜的概率.
(3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解
答）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求解即可.
（2）根据互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求解即可.
（3）法一：利用条件概率求解即可；法二：根据事件的含义利用互斥事件概率加法公式和
独立事件概率乘法公式求解即可.
【详解】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意；
第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意；
所以需要下第四场比赛的概率为
（2）由题意，最终小金获胜的情况如下，
当小金第一场轮空，
第一场小郅胜小睿输，第二场小金胜小郅输，第三场小金胜小睿输，此时
，
第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时，
则小金获胜 ，
当小金第一场不轮空，
第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅
输，此时 ，
第一场小金胜小郅输，第二场小睿胜小金输，第三场小郅胜小睿输，第三场小金胜小郅
输，此时 ，
第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小睿输，此时 ，
所以第一场小郅与小金比赛，小金获胜概率为 ，
同理，第一场小睿与小金比赛，小金获胜概率为 ，
故小金获胜概率为
（3）法一：设A：小金最终获胜；B：小郅第一场未轮空且获胜，则 ，
结合（2）知 ，
法二：第一场小睿轮空时，小金最终获胜概率为 ，
第一场小金轮空时，小金最终获胜概率为 ，
16．（24-25高三上·四川内江·阶段练习）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿
豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择
绿豆汤的概率是 ，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为
，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为 ，如此往复．（提
示：设 表示第 天选择绿豆汤）
(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(3)记该同学第 天选择绿豆汤的概率为 ，求出 的通项公式.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率
【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式计算即可；
（2）利用条件概率公式计算即得；
（3）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得.
【详解】（1）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为 ；
（2）设 表示第1天选择绿豆汤， 表示第2天选择绿豆汤，则 表示第1天选择银耳
羹，
根据题意得， ，
所以 ．
（3）设 表示第 天选择绿豆汤，则 ，
根据题意得， ，
由全概率公式得，
，
即 ，整理得， ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列．
所以 ，所以 ..
【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件 的概率问题，把事件 分拆成两个互
斥事件 与 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.
C综合素养（新定义解答题）
17．（2024·浙江丽水·二模）为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检
出概率）为 ；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚
警概率）为 .已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2.现用2台该型号的监测器组成
监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动
物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.
(1)若 .
（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概
率；
（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率
（精确到0.001）；
(2)若监测系统在监测识别中，当 时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀
动物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，
该区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为0.9.求 的范围（精确到0.001）.
（参考数据： ）
【答案】(1)（i） ；（ii）
(2)
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用
全概率公式求概率
【分析】（1）借助全概率公式与条件概率公式计算即可得；
（2）借助全概率公式与条件概率公式，结合题意可得不等式组，解出该不等式组即可得.
【详解】（1）记事件 为“监测系统判定指定区域有珍稀动物活动”，事件 为“监测区
域实际上有珍稀动物活动”，
（i） ；
（ii）
，
则；
（2） ，
，
由题意可得 ，即 ，
令 ， ，得 ， ，故 ， ，
即 ，即 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 ，即 ，所以 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助全概率公式与条件概率公式，列出相应概率，
结合题目条件解出不等式.
