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第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（2021·全国·高二课时练习）下列事件中 ， 是相互独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次， “第一次为正面”， “第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球， “第一次摸到白球”， “第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子， “出现点数为奇数”， “出现点数为偶数”
D． “人能活到20岁”， “人能活到50岁”
【答案】A
【详解】解：对于A中，把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故 是
独立事件；
对于B：两个事件是不放回地摸球，显然 事件与 事件不相互独立；
对于C，事件A，B应为互斥事件，不相互独立；
对于D是条件概率，事件 受事件 的影响．
故选：A．
2．（2022·北京通州·高二期末）已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为 ， ，所以 ；
故选：A
3．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二开学考试）设两个独立事件 ， 都不发生的概率为 .则 与 都发
生的概率值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为A，B是独立事件，设 不发生的概率为x，B不发生的概率为y，
则 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，故选：D
4．（2022·吉林·长春十一高高二期末）甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口
都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ）
A．0.5 B．0.3 C．0.15 D．0.6
【答案】D
【详解】解：记事件 为“在第一个路口遇到红灯”，则 ，
记事件 为“在第二个路口遇到红灯”，则 ，
故 .
故选：D.
5．（2021·上海体育学院附属金山亭林中学高二期末）若 为相互独立事件，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 为相互独立事件，且 ，
所以 .
故选：B.
6．（2022·安徽·六安一中高二期中）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约 的人近视，
而该校大约有 的学生每天玩手机超过 ，这些人的近视率约为 ．现从每天玩手机不超过 的学
生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设从每天玩手机不超过 的学生中任意调查一名学生，他近视的概率为 ，
由题意得： ，
解得：
故选：C
7．（2022·全国·高二单元测试）一个盒子里有7只好的晶体管，5只坏的晶体管，依次不放回地任取两
次，则第二次才取到好的晶体管的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】由题意，设 表示第 次取到好的晶体管，其中 ，2，
则 ， ，
所以 。
故选：C.
8．（2021·全国·高一课时练习）下列事件A，B是相互独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示
“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”
D．A表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时”
【答案】A
【详解】A：一枚硬币抛两次，A表示“第一次为正面”，
B表示“第二次为反面”，
，
故事件A、B是相互独立事件；
B：袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次，
A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”，
表示“第一次摸到白球,第二次摸到白球”事件，
则 ，
，故事件A、B不是相互独立事件；
C：掷一枚骰子，A表示“出现的点数为奇数”，
B表示“出现的点数为偶数”，故事件A、B是互斥事件，
，故事件A、B不是相互独立事件；
D：A表示“一个灯泡能用1000小时”，
B表示“一个灯泡能用2000小时”，是条件概率.
故选：A.
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）设A，B是两个事件，若B发生时A必定发生，且 ，
，给出下列各式，其中错误的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】解： 发生 必定发生，
， ，故A，D错误，
，故B错误，
，故C正确．
故选：ABD．
10．（2022·浙江杭州·高二期中）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连
续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数
字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列
结论正确的是（ ）
A．事件B与事件C是互斥事件 B．事件A与事件B是相互独立事件
C．事件B与事件C是相互独立事件 D．
【答案】BCD
【详解】解：对于A，事件 与事件 是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，事件A与事件B， ， ， ，事件A与事件B是相互独立事件，故B正
确；
对于C，事件B与事件 ， ， ， ，事件B与事件C是相互独立事件，故C正
确；
对于D，事件 表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故 ，故D
正确．
故选：BCD.
11．（2022·福建福建·高二期末）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱
中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以 分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的
事件，以 分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立C． D．
【答案】AD
【详解】解：对于A， 每次取出 球， 事件 与事件 是互斥事件且是对立事件，故A正确；
对于B，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱黑球变为 个，
则取出白球概率发生变化， 事件 与事件 不相互独立，故B错误；
对于C，若从甲箱取出 个黑球放入乙箱，这时乙箱黑球变为 个，白球还是 个，
则 ，故C错误；
对于D：因为 ， ， ，
所以
，故D正确．
故选：AD．
12．（2022·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中
有3个红球，3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以 表示事件“取出的是
红球”､“取出的是白球”､“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以 表示事件“取出的是红
球”，则下列的结论中正确的是（ ）
A．事件 是两两互斥的事件
B．事件 与事件 相互独立
C．
D．
【答案】AC
【详解】由题意可得 ， ， ，
, ,
事件 是两两互斥的事件，故A正确，
,故事件 与事件 不是相互独立,故B错误，
，故C选项正确，,故D错误，
故选：AC
三、填空题
13．（2022·上海·华师大二附中高三期中）从 ， ， ， ， 中，甲、乙两人各任取一数（不重复），
已知甲取到的数是 的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______．
【答案】
【详解】解：设事件 表示“甲取到的数比乙大”，事件 表示“甲取到的数是5的倍数”，
则甲取到的数是5的倍数，甲取到的数大于乙取到的数的概率为 ，
，
，
所以 ，
即甲取到的数大于乙取到的数的概率为 .
故答案为： .
14．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，
3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 ，
和 表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 表示由乙箱中取
出的球是红球的事件，则 ________.
【答案】
【详解】根据题意， 事件发生且 事件发生的概率为 ；
事件发生且 事件发生的概率为 ；
事件发生且 事件发生的概率为 ；
故 .
故答案为： .15．（2022·全国·高二课时练习）已知 ， 是相互独立事件，且 ， ，则
______．
【答案】
【详解】因为 ， 是相互独立事件，所以 ， 也是相互独立事件，
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：
16．（2022·陕西渭南·高二期末（文））甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、唯怡豆
奶、雪碧这3种饮品中随机选择一个，且两人的选择结果互不影响．记事件 “甲选择唯怡豆奶”，事
件 “甲和乙选择的饮品不同”，则条件概率 ________．
【答案】
【详解】由题意得，设加多宝、唯怡豆奶、雪碧分别标号为 ，
则两人的选择结果有：
, ，
则事件 的可能结果为： 共3个，
在事件 的条件下发生事件 的结果有 ，共2个，
所以 .
故答案为: .
四、解答题
17．（2022·全国·高二）分别在下列各条件下，求 ：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
(1)
解：因为 ，
所以 ，
所以 ；
(2)解：因为 ，
所以 ，
所以 .
18．（2022·山东淄博·高二期末）对某品牌机电产品进行质量调查，共有“擦伤、凹痕、外观”三类质量
投诉问题．其中保质期内的投诉数据如下：
擦伤 凹痕 外观 合计
保质期内 1
保质期后的投诉数据如下：
擦伤 凹痕 外观 合计
保质期内 1
(1)若100项投诉中，保质期内60项，保质期后40项．依据小概率值 的独立性检验，能否认为凹
痕质量投诉与保质期有关联？
(2)若投诉中，保质期内占64%，保质期后占36%．设事件A：投诉原因是产品外观，事件B：投诉发生在
保质期内．
（ⅰ）计算 ，并判断事件A，B是独立事件吗？
（ⅱ）“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，这种说法
是否成立？并给出理由．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
， ．
【答案】(1)在犯错概率不大于 的前提下，认为凹痕质量投诉与保质期有关联
(2)（ⅰ） ，事件A，B不是独立事件；（ⅱ）说法成立，理由见详解
(1)
零假设 ：凹痕质量投诉与保质期无关联
根据题意可得 列联表：
凹痕 非凹痕 总计保质期前 10 50 60
保质期后 20 20 40
总计 30 70 100
则可得：
∵
∴ 不成立
即在犯错概率不大于 的前提下，认为凹痕质量投诉与保质期有关联
(2)
（ⅰ）由据题意可得：
∴
∵ ，则事件A，B不是独立事件
（ⅱ）由题意可得：
“该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内”的概率
“该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期后”的概率
∵ ，则“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，
这种说法成立
B能力提升
19．（2022·全国·高二课时练习）5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，
______．
从①抽出的题不再放回，②抽出的题放回这两个条件中任选一个补充在横线上，并作答．
(1)求第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
(2)求在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率．
【答案】(1)
(2)
（1）解：若选①
设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，则 ，
所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率 ．
若选②
设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，
则 ，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率 ．
（2）
解：若选①
由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率 ．
若选②
由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率
.
20．（2022·山东·安丘市普通教育教学研究室高三阶段练习）从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸
出1个球，摸出的球不再放回，记 表示事件“第 次摸到红球”， ．
(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
(2)记 表示 ， ， 同时发生的概率， 表示已知 与 都发生时 发生的概率．
①证明： ；
②求 ．
【答案】(1)
(2)①证明见解析，②
（1）
由条件概率公式可得 ；
所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为 ；
（2）①由条件概率乘法公式
可得 ，
由 ,可得 ,
所以
②由①可得
=
，所以 ．
