文档文本内容
第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率
公式 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：相互独立事件的概率
题型二：条件概率
题型三：全概率公式的应用
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：相互独立事件
对任意两个事件 与 ，如果 成立，则称事件 与事件 相互独立(mutually
independent)，简称为独立．
性质1：必然事件 、不可能事件 与任意事件相互独立
性质2：如果事件 与 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立
则： ， ，
知识点二：条件概率
1、定义：一般地，设 ， 为两个随机事件，且 ，我们称 为在事件 发生
的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率．
2、乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件 与 ，若 ，则 ．
我们称上式为概率的乘法公式．
3、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设 ，则
① ；
②如果 和 是两个互斥事件，则 ；
③设 和 互为对立事件，则 ．
④任何事件的条件概率都在0和1之间，即： .
知识点三：全概率公式
1、定义：一般地,设 , , 是一组两两互斥的事件, ,且 ，,则对任意的事件 ,有 ,我们称此公式为全概率公式.
2、全概率公式的理解
全概率公式的直观意义：某事件 的发生有各种可能的原因 （ ）,并且这些原因两两互
斥不能同时发生，如果事件 是由原因 所引起的，且事件 发生时， 必同时发生，则 与
有关，且等于其总和 .
“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率 ,或已知各原因 发生的概率
及在 发生的条件下 发生的概率 .通俗地说，事件 发生的可能性，就是其原因 发
生的可能性与已知在 发生的条件下事件 发生的可能性的乘积之和.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：相互独立事件的概率
典型例题
例题1．（2022·北京丰台·高二期中）如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8，任
意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为 .若设事件 “ 为奇数”，
事件 “ 为偶数”，事件 “ 为3的倍数”，事件 “ ”，其中是相互独立事件的是
（ ）
A．事件 与事件 B．事件 与事件
C．事件 与事件 D．事件 与事件
【答案】B
【详解】由题意可得 ，3，5， ， ，4，6， ， , ， ,
,
由古典概型概率公式可得：
,
所以 ， ， , ，故ACD错误，B正确．
故选：B
例题2．（2022·湖北·应城市第一高级中学高二阶段练习）袋子里装有大小质地都相同的 个白球， 个
黑球，从中不放回地摸球两次，用 表示事件“第 次摸得白球”， 表示事件“第 次摸得白球”，则
与 是（ ）
A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件
【答案】D
【详解】由题意可知 ,而 表示“第一次摸白球，第二次摸白球”，故
,故 与 不相互独立，同时 与 可以同时发生，也不对立，
故选：D
例题3．（2022·上海杨浦·高三期中）已知 、 是独立事件， ，则
_________．
【答案】 ##0.15
【详解】由于A、B是独立事件,所以 ,
故答案为:0.15
例题4．（2022·全国·高一课时练习）掷一枚骰子一次，判断“出现偶数点”与“出现3点或6点”是
不是相互独立事件．
【答案】事件A与B相互独立．
【详解】解：记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，
则 ， ， ，
则 ， ， ，
所以 ，所以事件A与B相互独立．
同类题型归类练
1．（2022·河南·郑州十九中高二开学考试）掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示
事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，有下列四个
结论：①事件A与B是独立事件；②事件B与C是互斥事件；③事件C与D是对立事件；④ .其
中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】A
【详解】掷一枚骰子，记事件 表示事件“出现奇数点”，事件 表示事件“出现4点或5点”，
事件 表示事件“点数不超过3”，事件 表示事件“点数大于4”，对于①， ， ， ，
， 事件 与 是独立事件，故①正确；
对于②，事件 与事件 不能同时发生， 事件 与事件 是互斥事件，故②正确；
对于③，事件 与事件 不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故③错误；
对于④， ，故④错误．
故选：A.
2．（2022·广东江门·高一期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面向上”，事件
“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（ ）
A．A与B为相互独立事件 B．A与B互为对立事件
C．A与B为互斥事件 D．
【答案】A
【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，A正确；
事件 可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，B错误；C错误；
，D错误.
故选：A.
3．（2022·江西·景德镇一中高二期中（理））下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）
A．掷一枚骰子一次，事件 “出现偶数点”；事件 “出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件 “第一次摸到白球”，事件
“第二次摸到白球”
C．一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件M={一个家庭中既有男孩又有女孩}，
事件N={一个家庭中最多有一个女孩}
D．一个家庭中有三个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件M={一个家庭中既有男孩又有女孩}，
事件N={一个家庭中最多有一个女孩}
【答案】C
【详解】对于A：∵ ， ， ，
∴ ，
∴事件M与事件N是相互独立事件，
对于B，由于抽取方法是“有放回”，所以 是相互独立事件.
对于C， ， ，，所以 不是相互独立事件.
对于D， ， ，
，
∴ ，∴事件M与事件N是相互独立事件，
故选：C.
4．（多选）（2022·全国·高二单元测试）掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事
件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则（ ）
A．事件A与B是独立事件 B．事件B与C是互斥事件
C．事件C与D是对立事件 D．
【答案】AB
【详解】由题意知： ， ， ，
∴事件 与 是独立事件，A正确；
∵事件 与 不能同时发生，∴ 与 是互斥事件，B正确；
点数为4时，既不属于事件 ，也不属于事件 ，∴事件 与 不是对立事件，C错误；
∵事件 是“点数为5点”，∴ ，D错误.
故选：AB.
题型二：条件概率
典型例题
例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两
个数，事件 “有一个数是奇数”， “另一个数也是奇数”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】任取两个数，则一奇一偶共有 种取法，两个都是奇数共有 ，所以事件 包含所
取两个数要么为一奇一偶，要么为两个奇数，故 ,
则事件 为所取两个数均为奇数，故 ,故 ,
故选：A
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由乘法公式，得 .
故选：C．
例题3．（2022·北京丰台·高二期末）同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰
子向上的点数为1”为事件 ，“两枚骰子的点数之和等于6”为事件 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】事件 包含6种基本事件，事件 包含1个基本事件，
所以 .
故选：B
例题4．（2022·河南濮阳·高三阶段练习（理））袋中装有大小质地完全相同的3个小球，小球上分别
标有数字4，5，6.每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.设事件 为
“三次记下的号码之和是15”，事件 为“三次记下的号码不全相等”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：事件 所包含的基本事件有 ， ， ， ， ， ， 共7
个，事件 所包含的基本事件有 ， ， ， ， ， 共6个，
所以 ．
故选：A．
例题5．（2022·全国·高三专题练习）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先
从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，
以 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以 ，故选项A正确；因为 ，所以 ，故选项B正确；
因为 ，故选项C错误；
因为 ，所以 ，故选项D正确.
故选：C.
同类题型归类练
1．（2022·吉林油田第十一中学高二期末）某射击队员练习打靶，已知他连续两次射中靶心的概率是0.4，
单独一次射中靶心的概率是0.8.在某场比赛中，该队员第一次已经中靶，则第二次也中靶的概率是（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】B
【详解】记该队员第二次射中靶心为事件 ，第一次射中靶心为事件 ，题目所求为在事件 发生的条件
下，事件 发生的概率，即 .
故选：B．
2．（2022·陕西·绥德中学高二阶段练习（文））已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：依题意 ；
故选：B
3．（2022·广东·高三阶段练习）某科技公司联欢会进行抽奖活动，袋中装有标号为1，2，3的大小、质地
完全相同的3个小球，每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.规定“三
次记下的号码都是2”为一等奖.已知小张摸球“三次记下的号码之和是6”，此时小张能得一等奖的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为所有基本事件的个数为 ，三次抽到的号码之和为6，包括3次号码都不一样，分别是1，2，3，基本事件的个数为 ；号码都一样全是2，基本事件的个数为1，故 事件包含的基本事件的个数为
， 事件包含的基本事件的个数为1， 事件包含的基本事件个数为1，
所以 ， ，
由条件概率公式可得 ，
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3
种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件 “甲选择农夫山泉”，事件 “甲和乙
选择的饮品不同”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：事件 “甲选择农夫山泉”，则
事件 “甲和乙选择的饮品不同”，
则事件 =“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”
所以
所以 ，
故选：D
5．（2022·江西·芦溪中学高二开学考试）有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中
依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B，
则 ，
，
在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率 ．故选：C
题型三：全概率公式的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产
品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率
是（ ）
A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95
【答案】B
【详解】由甲乙两厂所占比例及对应的合格率可得 ，
故选：B
例题2．（2022·江苏南京·高二阶段练习）学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐
厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就
餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（ ）
A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65
【答案】D
【详解】设 为“第一天去一餐厅用餐”， 为“第一天去二餐厅用餐”， 为“第二天去一餐厅就
餐”；
则 , , ,
由全概率公式可知
,
故选：D.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产 规格的芯片， 现
有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为
， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为 ， 则甲厂生产该芯片的次品率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为 ，
则 ， ， ， ，
则由全概率公式得： ，解得 ，
故选：B．例题4．（2022·全国·高三专题练习）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为
0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的
概率为______．
【答案】0.625##
【详解】解：设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，
则 ， ， ，
．
故答案为：0.625．
例题5．（2022·全国·高三专题练习）两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占
70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是合格品的概率为
___________.
【答案】0.957##95.7%
【详解】设 =“取到合格品”， =“取到的产品来自第i批”（i=1，2），则 ，
，
由全概率公式得： .
故答案为：0.957
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，
0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0．则他迟到的概率为（ ）
A．0.65 B．0.075
C．0.145 D．0
【答案】C
【详解】设A＝他乘火车来，A＝他乘船来，A＝他乘汽车来，A＝他乘飞机来，B＝他迟到．
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易见：A，A，A，A 构成一个完备事件组，由全概率公式得P(B)＝ (Ai)P(B|Ai)
1 2 3 4
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145．
故选：C
2．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二阶段练习）已知P(B|A)= ，P(A)= ，则P(AB)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，知故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒
依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为 ，现从这10
盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
【答案】A
【详解】以A，A，A 分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，
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B表示取得的X光片为次品，
P = ，P = ，P = ，
P = ，P = ，P = ；
则由全概率公式，
所求概率为P =P +P +P
= × + × + × =0.08.
故选：A
4．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即
非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳
性的概率为（ ）
A．0.46 B．0.046 C．0.68 D．0.068
【答案】D
【详解】由题意得：
，
故选： ．
5．（2022·全国·高二单元测试）小李计划周六去北京参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它
们能准时到达的概率分别为0.8，0.95，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车．天气预报显示当天天睛的概率
为0.7，则小李能准时到达的概率为______．
【答案】0.845## ##84.5%
【详解】解：小李能准时到达的概率 ，
故答案为：0.845
