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§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面
的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
1.基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
2.“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
3.空间中直线与直线的位置关系
{
共面直线{
相交直线:在同一平面内,有且只有一
个公共点;
平行直线:在同一平面内, 没有公共点;
异面直线:不同在任何一个平面内, 没有公共点.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a ∩ α = A
1 个
平行
a ∥
α
0 个
在平面内
a ⊂ α
无数个
平面与平面
平行
α ∥
β
0 个
相交
α ∩ β = l
无数个
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
6.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与
b'所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).
(2)范围：(0，π
2].
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( × )
(2)若直线与平面不平行，则直线与平面有公共点.( √ )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( × )
(4)两两相交的三条直线共面.( × )
2.用符号表示“点A 不在直线m 上，直线m 在平面α 内”，正确的是( )
A.A∉m，m⊂α
B.A∉m，m∈α
C.A⊄m，m⊂α
D.A⊄m，m∈α
答案 A
解析 由题意用符号表示“点A 不在直线m 上，直线m 在平面α 内”，即A∉m，m⊂α.
3.(多选)下列命题正确的是( )
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.两条相交直线确定一个平面
D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面
答案 CD
解析 A 中，空间不共线的三点确定一个平面，A 错；
B 中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B 错；
C 中，两条相交直线确定一个平面，C 正确；
D 中，空间两两平行的三条直线确定一个平面或三个平面，D 正确.
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的
角为 .
答案 60°
解析 因为M，N 分别为棱BC 和棱CC1的中点，
所以MN∥BC1，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AC∥A1C1，
所以∠A1C1B 或其补角为异面直线AC 和MN 所成的角，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1B 为正三角形，
所以∠A1C1B=60°，
即异面直线AC 和MN 所成的角为60°.
1.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
2.异面直线所成角的范围：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，可能等于两异面直线所成的
角，也可能等于其补角.
题型一 基本事实的应用
例1 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，
A1C1∩EF=Q.求证：
(1)D，B，F，E 四点共面；
(2)若A1C 交平面DBFE 于点R，则P，Q，R 三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
证明 (1)如图所示，
连接B1D1.
因为EF 是△C1D1B1的中位线，
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，
所以EF，BD 确定一个平面，
即D，B，F，E 四点共面.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，
又设平面BDEF 为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q 是α 与β 的公共点，
同理，P 是α 与β 的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R，
所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R 三点共线.
(3)因为EF∥BD 且EF<BD，
所以DE 与BF 相交，设交点为M，
则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，
得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1，
所以M∈CC1.
所以DE，BF，CC1三线交于一点.
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
跟踪训练1 (多选)(2024·湖南省教学教研联盟联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，
H 分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的是( )
A.E，F，G，H 四点共面
B.EF∥GH
C.∠EGB1=∠FHC1
D.EG，FH，AA1三线共点
答案 ABD
解析 对于A，B，如图，连接EF，GH，
由题意可知GH 是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1，
因为B1E∥C1F，且B1E=C1F=1
2BB1，所以四边形B1EFC1是平行四边形，
所以EF∥B1C1，所以EF∥GH，所以E，F，G，H 四点共面，A，B 正确；
对于C，因为B1E=C1F，当GB1≠HC1时，tan∠EGB1≠tan∠FHC1，
又∠EGB1，∠FHC1∈(0，π
2)，则∠EGB1≠∠FHC1，C 错误；
对于D，如图，延长EG，FH 相交于点P，
因为P∈EG，EG⊂平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1，
因为P∈FH，FH⊂平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1，
因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1，
所以P∈AA1，所以EG，FH，AA1三线共点，D 正确.
题型二 空间位置关系的判断
例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是( )
A.若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l
B.若α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈l
C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C 不共线⇒α，β 重合
答案 ABD
解析 对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β=l，由基本事实3 可知M∈l，A 对；
对于B，若a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈α，A∈β，因为α∩β=l，所以A∈l，B 对；
对于C，若l∩α=A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C 错；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β 中，故α，β 重合，D 对.
(2)(多选)(2025·红河模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别为棱C1D1，C1C 的中点，
则以下四个结论中，正确的有( )
A.直线AM 与CC1是相交直线
B.直线BN 与MB1是异面直线
C.AM 与BN 平行
D.直线A1M 与BN 共面
答案 BD
解析 M，C，C1三点在平面CDD1C1内，M 点不在直线CC1上，A 点不在平面CDD1C1内，所以A，M，
C，C1四点不共面，
根据异面直线的定义可得直线AM 与CC1是异面直线，故选项A 错误；
B，N，B1三点在平面BCC1B1内，
B1不在直线BN 上，
M 点不在平面BCC1B1内，所以B，N，M，B1四点不共面，
根据异面直线的定义可得直线BN 与MB1是异面直线，故选项B 正确；
取DD1的中点E，连接AE，EN，又N 为C1C 的中点，
则有AB∥EN，AB=EN，
所以四边形ABNE 是平行四边形，所以AE∥BN，
AM∩AE=A，则AM 与BN 不平行，故选项C 错误；
连接MN，BA1，CD1，
因为M，N 分别为棱C1D1，C1C 的中点，
所以MN∥D1C，由正方体的性质可知，A1B∥D1C，
所以MN∥A1B，则有A1，B，M，N 四点共面，
所以直线A1M 与BN 共面，故选项D 正确.
思维升华 判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来
判断.二是排除法.特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平
面内不经过点B 的直线是异面直线.”
跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB 与CD 的位置关
系是( )
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
答案 D
解析 根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，
由图可知AB 与CD 有相交、平行、异面三种情况.
(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α 内，l2在平面β 内，l 是平面α 与平面β 的交线，则下列结
论正确的是( )
A.l 与l1，l2都不相交
B.l 与l1，l2都相交
C.l 至多与l1，l2中的一条相交
D.l 至少与l1，l2中的一条相交
答案 D
解析 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l 平行，l2与l 相交，故A，B 不正确；如图2，l1与l2是异面直线，
l1，l2都与l 相交，故C 不正确.
题型三 异面直线所成的角
例3 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为BD 的中点，则直线B1E 与A1D 所成的角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
答案 A
解析 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=DC，A1B1∥DC，
所以四边形A1B1CD 为平行四边形，
则有A1D∥B1C，
所以直线B1E 与A1D 所成的角等于直线B1E 与B1C 所成的角，
设正方体的棱长为2，则BB1=2，BE=CE=√2，B1C=2√2，
B1E=√B B1
2+ B E
2=√6，
在△EB1C 中，cos∠EB1C=B1 E
2+ B1C
2-C E
2
2B1 E·B1C
=√3
2 ，
所以∠EB1C=30°.
所以直线B1E 与A1D 所成的角为30°.
(2)(2025·随州模拟)如图，在三棱锥M-ABC 中，MA⊥平面ABC，△ABC 是边长为2 的正三角形，
MA=2√3，F 是MC 的中点，则异面直线MB 与AF 所成角的余弦值是( )
A.√3
3
B.√3
4
C.√13
8
D.5
8
答案 D
解析 设E 为BC 的中点，连接FE，AE，如图所示，
因为MA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
所以MA⊥AB，MA⊥AC，
所以由勾股定理得MB=√M A
2+ A B
2=4，MC=√M A
2+ A C
2=4，
因为E 是BC 的中点，F 是MC 的中点，所以FE=1
2MB=2，AF=2，AE=√3，FE∥MB，
所以异面直线MB 与AF 所成的角为∠AFE 或其补角，
所以在△AFE 中，由余弦定理可知cos∠AFE= A F
2+ F E
2- A E
2
2 AF·FE
=2
2+2
2-3
2×2×2 =5
8，
所以异面直线MB 与AF 所成角的余弦值为5
8.
思维升华 异面直线所成角的求法
方法
解读
平移法
将异面直线中的某一条平移，使其与另一条
相交，一般采用图中已有的平行线或者作平
行线，形成三角形求解
补形法
在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这
两个几何体中找异面直线相应的位置，形成
三角形求解
跟踪训练3 (2025·福州统考)已知轴截面为正方形ABCD 的圆柱，AB 为下底面直径，E 是弧AB 的
中点，则直线AE 与BD 所成的角为( )
A.π
6
B.π
4
C.π
3
D.π
2
答案 C
解析 取´
DC的中点F，连接EF，BF，DF，则EF∥AD，且EF=AD，
故四边形ADFE 为平行四边形，所以DF∥AE，
所以∠FDB 或其补角为直线AE 与BD 所成的角，
设AB=1，则AD=1，由勾股定理得BD=√1+1=√2，DF=√2
2 ，FB=√1+ 1
2=√6
2 ，
在△FDB 中，由余弦定理得
cos∠FDB= D F
2+ B D
2- F B
2
2 DF·BD
=
1
2 +2- 3
2
2× √2
2 ×√2
=1
2，
故∠FDB=π
3 ，
所以直线AE 与BD 所成的角为π
3 .
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.(2024·银川模拟)A，B 是两个不同的点，l 是一条直线，α，β 为两个不同的平面，下列推理错误的是(
)
A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=AB
C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A∈l，l⊂α⇒A∈α
答案 C
解析 直线上两个不同的点在某个平面内，则直线在该平面内，故A 正确；
两个不同的点同时在两个不同的平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故B 正确；
l⊄α 有两种情况，l 与α 相交或l∥α，若l 与α 相交，且交点为A 点，则A∈α，故C 错误；
直线在平面内，则直线上的点都在平面内，故D 正确.
2.若直线a，b，c 满足a∥b，a，c 异面，则b 与c( )
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
答案 C
解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB∥DC，AB 和DD1是异面直线，DC∩DD1=D，
故直线a，b，c 满足a∥b，a，c 异面，则b 与c 可能相交，不一定是异面直线，故A，D 错误；
AB∥DC，AB 和B1C1是异面直线，DC 和B1C1是异面直线，
故直线a，b，c 满足a∥b，a，c 异面，则b 与c 可能是异面直线，故B 错误；
直线a，b，c 满足a∥b，a，c 异面，则由平行公理得b 与c 不可能是平行直线，故C 正确.
3.已知平面α∩平面β=l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l=M，过A，B，C 三点确定的平面为γ，
则β∩γ 是( )
A.直线CM
B.直线BM
C.直线AB
D.直线BC
答案 B
解析 已知过A，B，C 三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l=M，则M∈γ，又平面α∩平面β=l，则
l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l=M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ=BM.
4.(2024·呼和浩特模拟)如图，已知正四棱锥P-ABCD 的所有棱长均相等，E 为棱PA 的中点，则异面直线
BE 与PC 所成角的余弦值为( )
A.√6
3
B.-√6
3
C.√3
3
D.-√3
3
答案 C
解析 连接AC，取AC 的中点O，连接BO，EO，设正四棱锥P-ABCD 的棱长为2.
由题意知EO∥PC，
则异面直线BE 与PC 所成的角为∠BEO(或其补角)，
在△BOE 中，EO=1
2PC=1，BO=1
2AC=√2，BE=√3
2 PA=√3，
则cos∠BEO=B E
2+ EO
2- BO
2
2×BE× EO
=3+1-2
2√3
=√3
3 ，
则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为√3
3 .
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.给出以下四个命题，其中错误的是( )
A.不共面的四点中，其中任意三点不共线
B.若点A，B，C，D 共面，点A，B，C，E 共面，则点A，B，C，D，E 共面
C.若直线a，b 共面，直线a，c 共面，则直线b，c 共面
D.依次首尾相接的四条线段必共面
答案 BCD
解析 反证法：如果四个点中，有3 个点共线，第4 个点不在这条直线上，
根据基本事实2 的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A 正确；
如图1，A，B，C，D 共面，A，B，C，E 共面，但A，B，C，D，E 不共面，故B 错误；
如图2，a，b 共面，a，c 共面，但b，c 异面，故C 错误；
如图3，a，b，c，d 四条线段首尾相接，但a，b，c，d 不共面，故D 错误.
图1 图2 图3
6.(2025·昆明模拟)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( )
A.AF∥CN
B.BM⊥DE
C.CN 与BM 所成的角为60°
D.NE 与BM 是异面直线
答案 BCD
解析 展开图翻折成的正方体如图所示，连接BE，CF，EM，因为CN∥BE，BE⊥AF，
因此CN⊥AF，A 错误；同理DE∥CF，CF⊥BM，所以BM⊥DE，B 正确；
∠MBE 或其补角是CN 与BM 所成的角，又△MBE 是等边三角形，所以∠MBE=60°，
所以CN 与BM 所成的角是60°，C 正确；
又NE∥平面MFBC，且NE 与BM 不平行，BM⊂平面MFBC，故NE 与BM 是异面直线，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.已知α，β 是不同的平面，l，m，n 是不同的直线，P 为空间中一点.若α∩β=l，m⊂α，n⊂β，m∩n=P，则
点P 与直线l 的位置关系用符号表示为 .
答案 P∈l
解析 ∵m⊂α，n⊂β，m∩n=P，
∴P∈α 且P∈β，又α∩β=l，
∴点P 在直线l 上，即P∈l.
8.(2024·西安模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC 为等腰直角三角形，且AB=AC=√2
2 AA1=1，则
异面直线AB1与A1C 所成角的正弦值为 .
答案 √5
3
解析 将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为如图所示的正四棱柱，
连接B1D，AD，则B1D∥A1C，
则异面直线AB1与A1C 所成的角为∠DB1A(或其补角)，
由题意知AA1=√2，则DB1=B1A=√1
2+(√2)
2=√3，AD=√1
2+1
2=√2，
由余弦定理可得
cos∠DB1A=(√3)
2+(√3)
2-(√2)
2
2×√3×√3
=2
3，
所以异面直线AB1与A1C 所成角的正弦值为sin∠DB1A=√
1-(
2
3)
2
=√5
3 .
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)如图，ABCD 为空间四边形，点E，F 分别是AB，BC 的中点，点G，H 分别在CD，AD 上，且
DH=1
3AD，DG=1
3CD.求证：
(1)E，F，G，H 四点共面；(6 分)
(2)EH，FG 必相交且交点在直线BD 上.(7 分)
证明 (1)连接EF，HG，
由E，F 分别为AB，BC 的中点，得EF∥AC，
由DH=1
3AD，DG=1
3CD，
得HG∥AC，
∴EF∥HG，
∴E，F，G，H 四点共面.
(2)由DH=1
3AD，DG=1
3CD，
易知HG=1
3AC，
又E，F 分别为AB，BC 的中点，
即EF=1
2AC，∴HG≠EF，
结合(1)的结论可知，四边形EFGH 是梯形，
∴直线EH，FG 不平行，设它们的交点为P，则P∈EH，
又EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，
又平面ABD∩平面BCD=BD，
∴P∈BD，
即EH，FG 必相交且交点在直线BD 上.
10.(14 分)如图所示，在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是AB，CC1的中点.
(1)求三棱锥B1-A1EF 的体积；(5 分)
(2)求异面直线A1E 与D1F 所成角的余弦值.(9 分)
解 (1)V 三棱锥B1- A1 EF=V 三棱锥F - A1B1 E=1
3 S△A1B1 E·BC=1
3×1
2×2×2×2=4
3 .
(2)如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F 是CC1的中点，
所以A1D1∥CB∥HF，A1D1=CB=HF，
因此四边形A1D1FH 是平行四边形，
所以D1F∥A1H，D1F=A1H，
因此∠EA1H 或其补角是异面直线A1E 与D1F 所成的角.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E 是AB 的中点，
所以A1E=A1H=√2
2+1
2=√5，
EH=√1
2+1
2=√2，
由余弦定理可知，cos∠EA1H= A1 E
2+ A1 H
2- E H
2
2 A1 E· A1 H
=
5+5-2
2×√5×√5=4
5 ，
所以异面直线A1E 与D1F 所成角的余弦值为4
5 .
11 题6 分，12 题5 分，共11 分
11.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O 为正方形ABCD 的中心，当点P 在线段BC1上(不包含端
点)运动时，下列直线中一定与直线OP 异面的是( )
A.AB1
B.A1C
C.A1A
D.AD1
答案 BCD
解析 对于A，如图①，连接AB1，C1D，BD，
当P 为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A 不正确；
对于B，如图②，连接A1C，A1C1，AC，
因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，
所以直线A1C 与直线OP 一定是异面直线，故B 正确；
对于C，如图②，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，
所以直线A1A 与直线OP 一定是异面直线，故C 正确；
对于D，如图③，连接AD1，D1C，AC，
因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，
所以直线AD1与直线OP 一定是异面直线，故D 正确.
12.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古
建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中，点E，F 分别是棱AA1，CC1的
中点，过D1，E，F 三点的平面与平面ABCD 的交线为l，则直线l 与直线AD1所成的角为( )
A.π
3
B.π
6
C.π
4
D.π
2
答案 A
解析 如图所示，在平面AA1D1D 中，连接D1E 与DA 的延长线交于点H，则HA=AD，
在平面CC1D1D 中，连接D1F 与DC 的延长线交于点G，则GC=CD，则GH 为平面D1EF 与平面ABCD 的
交线l，且GH∥AC，
而在等边△ACD1中AC 与AD1所成的角为π
3 ，
故l 与直线AD1所成的角为π
3 .
