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§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
分值：90 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.若直线上有两个点在平面外，则( )
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
2.下列说法正确的是( )
A.空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B.若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D.若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
3.下列推理错误的是( )
A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=AB
C.A∈l，l⊂α⇒A∈α
D.若直线a⊂α，直线b⊂β，则a 与b 为异面直线
4.在三棱锥A-BCD 的边AB，BC，CD，DA 上分别取E，F，G，H 四点，若EF∩HG=P，则点P( )
A.一定在直线BD 上
B.一定在直线AC 上
C.可能在直线AC 上，也可能在BD 上
D.不在直线AC 上，也不在直线BD 上
5.已知平面α∩平面β=l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l=M，过A，B，C 三点确定的平面为γ，
则β∩γ 是( )
A.直线CM
B.直线BM
C.直线AB
D.直线BC
6.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建
筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中，点E，F 分别是棱AA1，CC1的中
点，过D1，E，F 三点的平面与平面ABCD 的交线为l，则直线l 与直线AD1所成的角为( )
A.π
3
B.π
6
C.π
4
D.π
2
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.给出以下四个命题，其中错误的是( )
A.不共面的四点中，其中任意三点不共线
B.若点A，B，C，D 共面，点A，B，C，E 共面，则点A，B，C，D，E 共面
C.若直线a，b 共面，直线a，c 共面，则直线b，c 共面
D.依次首尾相接的四条线段必共面
8.如图，四棱锥P-ABCD 的底面是平行四边形，E，F 分别是棱PD，PA 的中点，下列说法正确的有(
)
A.多面体ABF-DCE 是三棱柱
B.直线BF 与PC 互为异面直线
C.平面ADP 与平面BCP 的交线平行于EF
D.四棱锥P-ABCD 和四棱锥P-BCEF 的体积之比为8∶3
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知α，β 是不同的平面，l，m，n 是不同的直线，P 为空间中一点.若α∩β=l，m⊂α，n⊂β，m∩n=P，则
点P 与直线l 的位置关系用符号表示为 .
10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面直线的有 对.
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)如图所示，在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是AB，CC1的中点.
(1)求异面直线A1E 与D1F 所成角的余弦值；(7 分)
(2)求三棱锥A1-D1EF 的体积.(6 分)
12.(14 分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD 为菱形，E，F 分别为
AA1，CC1的中点，M 为AB 上一点.
(1)若D1E 与CM 相交于点K，求证：D1E，CM，DA 三条直线相交于同一点；(4 分)
(2)若AB=2，AA1=4，∠BAD=π
3 ，求点D1到平面FBD 的距离.(10 分)
13 题5 分，14 题6 分，共11 分
13.(2025·绵阳模拟)在平行四边形ABCD 中，AB⊥BD，BC=2√5，CD=2，沿对角线BD 将△CBD 折起，所
得四面体ABCD 外接球的表面积为24π，则异面直线AB 与CD 所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
14.(多选)(2025·常州模拟)如图，在正四面体ABCD 中，已知AB=2，O 为棱AB 的中点.现将等腰Rt△EAB 绕
其斜边AB 旋转一周(假设△EAB 可以穿过正四面体内部)，则在旋转过程中，下列结论正确的是( )
A.△EAB 绕斜边AB 旋转一周形成的旋转体体积为π
3
B.O，C，D，E 四点共面
C.点E 到CD 的最近距离为√3-1
D.异面直线CD 与AE 所成角的范围为[
π
4 ，π
2]
答案精析
1.D 2.D
3.D [由A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根据基本事实2 可得l⊂α，故A 正确；
由A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，根据基本事实3 可得α∩β=AB，故B 正确；
由A∈l，l⊂α 可得A∈α，故C 正确；
由于平面α 和平面β 位置不确定，则直线a 与直线b 位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故D
错误.]
4.B [因为EF∩HG=P，E，F，G，H 四点分别是AB，BC，CD，DA 上的点，所以EF 在平面ABC 内，HG
在平面ACD 内，所以P 既在平面ABC 内，又在平面ACD 内，所以P 在平面ABC 和平面ACD 的交线上，
又平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC.]
5.B [已知过A，B，C 三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l=M，则M∈γ，又平面α∩平面β=l，则
l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l=M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ=BM.]
6.A [如图所示，在平面AA1D1D 中，连接D1E 与DA 的延长线交于点H，则HA=AD，
在平面CC1D1D 中，连接D1F 与DC 的延长线交于点G，则GC=CD，则GH 为平面D1EF 与平面ABCD 的
交线l，且GH∥AC，
而在等边△ACD1中AC 与AD1所成的角为π
3 ，
故l 与直线AD1所成的角为π
3 .]
7.BCD [反证法：如果四个点中，有3 个点共线，第4 个点不在这条直线上，
根据基本事实2 的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A 正确；
如图1，A，B，C，D 共面，A，B，C，E 共面，但A，B，C，D，E 不共面，故B 错误；
如图2，a，b 共面，a，c 共面，但b，c 异面，故C 错误；
如图3，a，b，c，d 四条线段首尾相接，但a，b，c，d 不共面，故D 错误.]
图1 图2
图3
8.BCD [对于A，多面体ABF-DCE 中，由直线AF∩DE=P，得平面ABF 与平面DCE 不平行，显然多面体
ABF-DCE 中不存在平行的两个面，则该多面体不是三棱柱，A 错误；
对于B，由E，F 分别是棱PD，PA 的中点，得EF∥AD∥BC，BF⊂平面BCEF，C∈平面BCEF，P∉平面
BCEF，C∉BF，因此直线BF 与PC 互为异面直线，B 正确；
对于C，由AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，则AD∥平面PBC，令平面PBC∩平面PAD=l，而
AD⊂平面PAD，则l∥AD∥EF，C 正确；
对于D，连接AC，CF，令四棱锥P-ABCD 的体积为V，由E，F 分别是棱PD，PA 的中点，得V 三棱锥P-
BCF=V 三棱锥B-PCF=1
2V 三棱锥B-PCA=1
2V 三棱锥P-ABC=1
4 V，V 三棱锥P-CEF=V 三棱锥C-PEF=1
4 V 三棱锥C-PDA=1
4 V 三棱锥P-ADC=1
8V，因此
四棱锥P-BCEF 的体积V 四棱锥P-BCEF=V 三棱锥P-BCF+V 三棱锥P-CEF=3
8V，D 正确.]
9.P∈l
10.3
解析 画出该正方体的直观图如图所示，
易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3 对.
11.解 (1)如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F 是CC1的中点，
所以A1D1∥CB∥HF，A1D1=CB=HF，
因此四边形A1D1FH 是平行四边形，
所以D1F∥A1H，D1F=A1H，
因此∠EA1H 是异面直线A1E 与D1F 所成的角或其补角，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E 是AB 的中
点，
所以A1E=A1H=√2
2+1
2=√5，
EH=√1
2+1
2=√2，
由余弦定理可知，cos∠EA1H= A1 E
2+ A1 H
2- E H
2
2 A1 E· A1 H
=
5+5-2
2×√5×√5=4
5 ，
所以异面直线A1E 与D1F 所成角的余弦值为4
5 .
(2)因为A1D1∥HF，HF⊄平面A1D1E，A1D1⊂平面A1D1E，
所以HF∥平面A1D1E，
因此点H，F 到平面A1D1E 的距离相等，
即V 三棱锥A1- D1 EF=V 三棱锥F - A1 D1 E=V 三棱锥H - A1 D1 E=V 三棱锥D1- A1 EH ，
V 三棱锥D1- A1 EH=1
3D1A1·S△A1 EH
=1
3×2×(2
2- 1
2 ×2×1×2- 1
2 ×1×1)=1，
所以三棱锥A1-D1EF 的体积为1.
12.(1)证明 ∵D1E 与CM 相交于点K，
∴K∈D1E，K∈CM，而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD，
且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，
∴K∈AD，
∴D1E，CM，DA 三条直线相交于同一点K.
(2)解 ∵四边形ABCD 为菱形，
AB=2，
∴BC=CD=2，
而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，
∴CC1⊥底面ABCD，
又∵F 是CC1的中点，CC1=4，
∴CF=2，
∴BF=DF=2√2，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=π
3 ，
∴BD=AB=2，
∴S△FBD=1
2×2×√(2√2)
2-1=√7.
连接D1F，D1B(图略)，设点D1到平面FBD 的距离为h，点B 到平面DD1F 的距离为d，
则d=2sin π
3 =√3，
又∵V 三棱锥D1- FBD=V 三棱锥B- D D1F，
∴1
3×S△FBD×h=1
3 ×S△D D1 F×d，
∴1
3 ×√7×h=1
3 × 1
2×4×2×√3，
解得h=4√21
7
.即点D1到平面FBD 的距离为4√21
7
.
13.D [取BC 中点O1，AD 中点O2，BD 中点F，
则O1为△BCD 外心，O2为△ABD 外心，O1F∥CD，O2F∥AB，
因为AB=CD=2，则O1F=O2F=1，
翻折后，过O1作直线垂直于平面BCD，过O2作直线垂直于平面ABD，两直线的交点O 即为四面体ABCD
的外接球球心，设外接球的半径为r，
由题意可得4πr2=24π，可得r=√6，
即OA=OC=√6，且O1C=O2A=√5，
则由勾股定理可得OO1=OO2=1，
由O1F=O2F=1 得四边形OO1FO2为菱形，
由OO2⊥平面ABD，O2F⊂平面ABD，可得OO2⊥O2F，
所以四边形OO1FO2为正方形，∠O1FO2=90°，由O1F∥CD，O2F∥AB 可得异面直线AB 与CD 所成的角为
∠O1FO2=90°.]
14.BD [对于A，因为AB=2，所以等腰Rt△EAB 的直角边为√2，斜边的高为1，
旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1，
所以形成的旋转体的体积V=2×1
3×π×12×1=2π
3 ，故A 不正确；
对于B，在正四面体ABCD 中，各个侧面都是等边三角形，因为O 为棱AB 的中点，
所以DO⊥AB，CO⊥AB，又DO∩CO=O，且DO，CO⊂平面DOC，
所以AO⊥平面DOC，又AO⊥OE，OE 与平面DOC 有公共点O，
所以OE 在平面DOC 内，所以O，C，D，E 四点共面，故B 正确；
对于C，设F 为CD 的中点，O 为AB 的中点，则点E 在以O 为圆心，1 为半径的圆上，如图，
由图可知当F，O，E 三点共线，且当点E 运动到E1的位置时，E 到CD 的距离最小，
在Rt△BOF 中，BO=1，BF=√3，则OF=√2，所以FE1=√2-1，故C 不正确；
对于D，由B，C 分析可知，CD 在圆锥的底面所在平面内，由圆锥轴截面中，∠AEO=π
4 ，
由线面角的概念可知，AE 与圆锥底面中的直线所成的最小角就是∠AEO，最大角一定为π
2 ，由此可知异
面直线CD 与AE 所成角的范围为[
π
4 ，π
2]，故D 正确.]
