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§7.4 空间直线、平面的平行
课标要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平
面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果平面外一条直线与
的一条直线平行，那么该直线与此平
面平行
}
⇒a∥α
性质
定理
一条直线与一个平面平行，如果过该
直线的平面与此平面 ，那么
该直线与交线平行
}
⇒a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面内的两条 与
另一个平面平行，那么这两个平面平行
}
⇒β∥α
性质
定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两
个平面 ，那么两条
平行
}
⇒a∥b
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.( )
(2)若直线a 与平面α 内无数条直线平行，则a∥α.( )
(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.( )
2.如果直线a∥平面α，那么直线a 与平面α 内的( )
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线都不相交
3.设有两条不同的直线m，n 和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是( )
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m∥α，m∥β，则α∥β
C.若m∥n，m∥α，则n∥α
D.若α∥β，m⊂α，则m∥β
4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为
.
1.掌握三种平行关系的转化
2.灵活应用以下结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB∥CD，AB=2，CD=4，E 为PC 的中点.
求证：BE∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上取一
点G，过G 和PA 作平面交BD 于点H.
求证：PA∥GH.
思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点).
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
跟踪训练1 如图，四边形ABCD 为长方形，点E，F 分别为AD，PC 的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.
证明：
(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 (1)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F 分别是棱B1C1，AC，BC 的中点.证明：AD∥平面C1EF.
(2)如图所示，AA1，BB1为圆台的两条不同的母线，O1，O 分别为圆台的上、下底面圆的圆心.求证：
A1B1∥AB.
思维升华 (1)证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的判定定理.
②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).
③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).
(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.
跟踪训练2 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC 的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH 与B1C1不
重合).
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G 分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点.
(1)当A1 D1
D1C1
为何值时，BC1∥平面AB1D1；
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求AD
DC 的值.
思维升华 解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在
应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于
“模式化”.
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
跟踪训练3 如图，在四棱锥A-BCDE 中，N 是BC 的中点，四边形BCDE 为平行四边形.试探究在线段
AE 上是否存在点M，使得MN∥平面ACD？若存在，请确定M 点的位置，并给予证明；若不存在，请
说明理由.
答案精析
落实主干知识
1.此平面内 a⊄α b⊂α a∥b 相交
a∥α a⊂β α∩β=b
2.相交直线 a⊂β b⊂β a∩b=P a∥α b∥α 相交 交线 α∥β
α∩γ=a β∩γ=b
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.D 3.D 4.平行四边形
探究核心题型
例1 证明 方法一 如图，取PD 的中点F，
连接EF，FA.
由题意知EF 为△PDC 的中位线，
∴EF∥CD，且EF=1
2CD=2.
又∵AB∥CD，AB=2，CD=4，
∴ABEF，
∴四边形ABEF 为平行四边形，
∴BE∥AF.
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法二 如图，延长DA，CB 相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，AB=2，CD=4，
∴HB
HC = AB
CD =1
2 ，
即B 为HC 的中点，
又E 为PC 的中点，∴BE∥PH，
又BE⊄平面PAD，
PH⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法三 如图，取CD 的中点H，连接BH，HE，
∵E 为PC 的中点，
∴EH∥PD，
又EH⊄平面PAD，
PD⊂平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB
DH，
∴四边形ABHD 为平行四边形，
∴BH∥AD，
又AD⊂平面PAD，
BH⊄平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH=H，
BH，EH⊂平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE⊂平面BHE，
∴BE∥平面PAD.
例2 证明 如图所示，连接AC 交BD 于点O，
连接OM，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴O 是AC 的中点，
又M 是PC 的中点，
∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，
PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD=GH，∴PA∥GH.
跟踪训练1 证明
(1)取PB 的中点G，连接FG，EG，
因为点F 为PC 的中点，
所以FG∥BC，
FG=1
2BC，
因为四边形ABCD 为长方形，
所以BC∥AD，且BC=AD，
所以DE∥FG，DE=FG，
所以四边形DEGF 为平行四边形，
所以DF∥GE，
因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE.
(2)由(1)知DF∥平面PBE，
又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l，
所以DF∥l.
例3 (1)证明 连接BD.
因为E，F 分别是棱AC，BC 的中点，
所以EF∥AB.
因为EF⊂平面C1EF，AB⊄平面C1EF，
所以AB∥平面C1EF.
因为D，F 分别是棱B1C1，BC 的中点，所以BF∥C1D，BF=C1D，
所以四边形BDC1F 是平行四边形，则BD∥C1F.
因为C1F⊂平面C1EF，BD⊄平面C1EF，所以BD∥平面C1EF.
因为AB∩BD=B，
AB，BD⊂平面ABD，
所以平面ABD∥平面C1EF，
因为AD⊂平面ABD，
所以AD∥平面C1EF.
(2)证明 ∵圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，
∴圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
∴母线AA1与母线BB1的延长线必交于一点，
∴A，A1，B，B1四点共面.
∵圆O1∥圆O，且平面ABB1A1∩圆O1=A1B1，平面ABB1A1∩圆O=AB.
∴A1B1∥AB.
跟踪训练2 证明 (1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC=BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1=GH，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F 分别为AB，AC 的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，
BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E 分别为A1B1，AB 的中点，A1B1
AB，
∴A1G
EB，
∴四边形A1EBG 是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，
GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF=E，
A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
例4 解 (1)当
A1 D1
D1C1
=1 时，
BC1∥平面AB1D1.
如图，连接A1B 交AB1于点O，
连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴点O 为A1B 的中点.
在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又OD1⊂平面AB1D1，
BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
∴当A1 D1
D1C1
=1 时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1.
因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.
∴
A1 D1
D1C1
=
A1O
OB ，A1 D1
D1C1
= DC
AD .
又A1O
OB =1，∴DC
AD =1，即AD
DC =1.
跟踪训练3 解 在线段AE 上存在点M，且M 为AE 的中点，使得MN∥平面ACD.
证明如下：
取AD 的中点G，连接CG，GM，
如图.
因为M 为AE 的中点，
所以GM∥DE，且GM=1
2DE.
因为N 为BC 的中点，且四边形BCDE 为平行四边形，所以CN∥DE，且CN=1
2DE，
所以GM∥CN，且GM=CN，
所以四边形CNMG 为平行四边形.
所以GC∥MN.
因为GC⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，
所以MN∥平面ACD.
