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2024 年1 月“七省联考”押题预测卷01
数 学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．若集合
，集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D. R
【答案】B
【解析】由题意，集合
，
，
根据集合交集的运算，可得
.
故选：B.
2．已知是虚数单位，若非零复数
满足
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设
，则
，
由
可得
，
所以，
，又因为
，所以，
，则
，故
.
故选：A.
3．江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水
乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬
软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3 处.某家庭
计划今年暑假从这6 个古镇中挑选2 个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】从这6 个古镇中挑选2 个去旅游
可能情况有
种情况，
1
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只选一个苏州古镇的概率为
．
故选：B
4．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入
亿元进行基础建设，年后产生
亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4 年后产生的社会经济效益是投资额的2
倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8 倍，则
（ ）
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
【答案】B
【解析】由条件得
，∴
，即
．设投资年后，产生的社会经济效
益是投资额的8 倍，则有
，解得，
．所以再过
年，该项投资产生的社
会经济笑意是投资额的8 倍．
故选：B．
5．已知平面向量
满足
，且
与
的夹角为
，则
的最大值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】C
【解析】因为
，且
与
的夹角为
，
如图所示，设
，则
，
由题意知
，设
，
因为
，在
中，由正弦定理得
，解得
，
所以
的最大值为
.
故选:C.
6．设一组样本数据
，
，…，
的极差为1，方差为0.1，若数据
，
，…，
的极差为2，则数据
，
，…，
的方差为（ ）
A. 0.02
B. 0.04
C. 0.2
D. 0.4
【答案】D
【解析】由题意可知，一组样本数据
，
，…，
的极差为1，则
，
又数据
，
，…，
的极差为2，
则
，
2
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所以
，
故数据
，
，…，
的方差为
，
故选：D
7．在
中，已知
，
，
，
，
边上的两条中线
，
相
交于点
，则
的余弦值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由余弦定理得
，
所以
，所以三角形
是直角三角形，且
，
以
为原点建立如图所示平面直角坐标系，
，
，
，
所以
.
故选：B
8．已知函数
，设
，则（
）
A
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，
，故
为偶函数，
当
时，
，令
，则
，即
在
上单调递增，故
，所以
，则
在
上单调递增，
由于
，
，
，所以
．
故选：B．
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．
3
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9．下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量
，
满足
，则
B. 若随机变量
，且
，则
C. 若样本数据
（
，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线
经过该组数据的中心点
D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到
．依据
的独立性检验（
），可判断X 与Y 有关
【答案】BCD
【解析】对A，由方差的性质可知，若随机变量
，
满足
，则
，故A 错误；
对B，根据正态分布的图象对称性可得
，故B 正确；
对C，根据回归直线方程过样本中心点可知C 正确；
对D，由
可判断X 与Y 有关，故D 正确.
故选：BCD．
10．已知等差数列
的前
项和为
，正项等比数列
的前
项积为
，则（ ）
A. 数列
是等差数列
B. 数列
是等比数列
C. 数列
是等差数列
D. 数列
是等比数列
【答案】ABD
【解析】设
的公差为
，
的公比为
，
则
，
所以
是常数，故A 正确；
易知
是常数，故B 正确；
由
不是常数，故C 错误；
是常数，故D 正确.
故选：ABD
11．已知圆
：
与圆
相交于
，
两点，直线
，点
为直线上一动点，过
作圆
的切线
，
，（
，
为切点），
则说法正确的是（ ）
A. 直线
的方程为
B. 线段
的长为
4
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C. 直线
过定点
D.
的最小值是2．
【答案】BC
【解析】由题知，联立
，
两式相减得
，
即直线
的方程为
，A 错；
联立
，
解得
或
，
所以
，B 正确；
对于C，设
，
因为
，
为圆
的切点，
所以直线
方程
，
直线
的方程为
，
又设
，
所以
，
故直线
的方程为
，
又因为
，
所以
，
由
得
，
即直线
过定点
，C 正确；
因为
，
所以当
最小时，
最小，
5
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且
最小为
，
所以此时
，D 错.
故选：BC
12．直四棱柱
，所有棱长都相等，且
，
为
的中点，
为四
边形
内一点（包括边界），下列结论正确的是（ ）
A. 平面
截四棱柱
的截面为直角梯形
B.
面
C. 平面
内存在点
，使得
D.
【答案】AB
【解析】对A，取
的中点为
，
，
为截面，
因为
，设
，
在
中，
，得
，
则
，即
，
又
平面
，
平面
，则
，
，
面
，
面
，
可知
面
，且
面
，所以
，A 对
对B，因为
面
，且
面
，则
，
又
，
，
平面
，
平面
，
则
平面
，B 对；
对C，过
作
，因为
平面
，
平面
，
6
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，
，
平面
，
所以
平面
，延长
交面
于
，连接
交
于
，
则
为
在面
的射影，
若
，又
平面
，则
，
，
平面
，则
平面
，
平面
，则有
，
但当
在四边形
内运动时，
在
上运动，此时
不可能与
垂直，C 错；
对D：连接
交
于
，
交
于S，连接
交
于
,
，因为
平面
，则
平面
，
则
为点
到面
的距离，
为点
到面
的距离，
，则点
到面
的距离即点
到面
的距离，即
，
则
，
，则
，D 错；
故选：AB
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．已知
展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中
的系数为_____________.
（用数字作答）
【答案】1120
【解析】由
, 得
.
展开式的通项
，
7
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令
, 得
,
则展开式中含
的项为
.
所以
的系数为1120.
故答案为：1120.
14.若函数
的图象在
内恰有2 条对称轴，则
的值可能
为_____________.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】
．
当
时，
，
因为函数
的图象在
内恰有2 条对称轴，所以
，
解得
，则
的值可能为
故答案为：（答案不唯一）
15.甲乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
､
，侧面积分别为
和
，体积
分别为
和
.若
，则
__________.
【答案】
##
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为
，乙圆锥底面圆半径为
，
则
，所以
，
又
，则
，所以
，
所以甲圆锥的高
，
乙圆锥的高
，
8
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所以
.
故答案为：
.
16．如图，双曲线
的右顶点为
，左右焦点分别为
，点
是双曲线右
支上一点，
交左支于点
，交渐近线
于点
是
的中点，若
，且
，则双曲线的离心率是__________.
【答案】
【解析】设
，则
，解得
，即
，由题意
，所以
，所以
．又设
，则
，两式
相减得
，即
，所以
，又
，化简得
，
．
故答案为：
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，
．
（1）求角
；
（2）若
为边
上一点，且满足
，
，证明：
为直角三角形．
【答案】（1）
（2）证明见解析
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【解析】（1）在
中，由正弦定理得
，
所以
，即
，
因为
，所以
，
又因为
，
，
，
，
所以
，所以
；
（2）证明：因为
，所以
，
设
，在
中，
，则
．
可得
，
，
在
中，由正弦定理得，
，
又因为
，所以
，
则
，
化简得
，因为
，即
，则
．
所以
是直角三角形．
18．已知数列
的前
项的和为
，数列
是公差为1 的等差数列．
（1）证明：数列
是公差为2 的等差数列；
（2）设数列
的前
项的和为
，若
，证明
．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）因为数列
是公差为1 的等差数列，所以
．
从而可得
．
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当
时，
．
即可得
，所以数列
是公差为2 的等差数列；
（2）根据第（1）问数列
是公差为2 的等差数列可得
，
从而可得
．
所以数列
的通项公式
．
所以
．
从而可得
．
所以
成立．
19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E 为棱AB 的中点，AC⊥PE，PA=PD.
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
.
【解析】（1）
如图，连接
,取
中点
,连接
,因底面ABCD 为菱形，故
,又E 为棱AB 的中
点，故
，则
，
已知
平面
，故
平面
，因
平面
，则
，因
，则
又
平面
则
平面
，又
平面
，故平面
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平面
（2）
如图，连
，由（1）知
平面
，且∠BAD=60°，则
是正三角形，
,
故可以
分别为
轴正方向建立空间直角坐标系
.不妨设
,则
于是
,设平面
D 的法向量为
，则有
可取
.
因
，
故可取平面
的法向量为
.
设二面角
的平面角为
，则
为锐角，故
则
即二面角
的正弦值为
.
20．设椭圆
的左右焦点分别为
是该椭圆C 的右顶点和上顶
点，且
，若该椭圆的离心率为
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 与椭圆C 交于
两点，且与x 轴交于点
若直线
与直线
的倾斜
角互补，求
的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由题可得，
，
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所以
因为椭圆的离心率为
所以
，结合椭圆中
可知，
所以椭圆C 的标准方程为
（2）
，设
因为直线
与直线
的倾斜角互补，
所以可知
，
即
，
化简得
设直线
，
将
代入上式，
整理可得
且由
消元化简可得
，
所以
，代入上式
由
，
解得
所以
因为点
到直线PQ 的距离
，
且
所以
令
，则
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所以
，.
当且仅当
，
时取等号.
所以
的面积的最大值为
21．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3 人做问
卷调查.已知某单位有N 名员工，其中
是男性，
是女性.
（1）当
时，求出3 人中男性员工人数X 的分布列和数学期望；
（2）我们知道，当总量N 足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市
范围内考虑.从N 名员工（男女比例不变）中随机抽取3 人，在超几何分布中男性员工恰有2 人的
概率记作
；有二项分布中（即男性员工的人数
）男性员工恰有2 人的概率记作
.那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即
）的前提下认为超几
何分布近似为二项分布.（参考数据：
）
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为
（2）N 至少为145 时，我们可以在误差不超过0.001（即
）的前提下认为超几何分
布近似为二项分布
【解析】（1）当
时，男性员工有8 人，女性员工有12 人.
服从超几何分布，
，
，
，
，
，
∴
的分布列为
0
1
2
3
数学期望为
.
（2）
，
，
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由于
，则
，
即
，
即
，
由题意易知
，
从而
，
化简得
，
又
，于是
.
由于函数
在
处有极小值，
从而
当
时单调递增，
又
，
.
因此当
时，符合题意，
而又考虑到
和
都是整数，则
一定是5 的整数倍，于是
.
即N 至少为145，
我们可以在误差不超过0.001（即
）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
22．已知函数
，（
）.
（1）若
为偶函数，求此时
在点
处的切线方程；
（2）设函数
，且存在
分别为
的极大值点和极小值点.
（ⅰ）求实数
的取值范围；
（ⅱ）若
，且
，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）
；（ii）
【解析】
（1）
为偶函数，有
，则
，
所以
，
所以
，
15
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所以
在点
处的切线方程为
.
（2）（ⅰ）
，
，
因为函数
既存在极大值，又存在极小值，
则
必有两个不等的实根，则
，
令
可得
或
，
所以
，解得
且
.
令
，
，则有：
+
0
0
+
极大值
极小值
可知
分别在
和
取得极大值和极小值，符合题意.
综上，实数
的取值范围是
.
（ⅱ）由
，可得
，
所以
，
，
，
且有
，
由题意可得
对
恒成立，
由于此时
，则
，
所以
，则
，
令
，其中
，
则
，
令
，则
.
①当
，即
时，
，
在
上是严格增函数，
所以
，即
，符合题意；
（2）当
，即
时，
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设方程
的两根分别为
，
且
，
则
，
，则
，
则当
时，
，则
在
上单调递减，
所以当
时，
，即
，不合题意.
综上所述，
的取值范围是
.
17
