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2024 年 1 月“七省联考”押题预测卷 05
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由 解得 ，所以 ，
由 解得 ，所以 ，
所以 .
故选：B
2．复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，
，
，
所以 的虚部为1.
故选：D.
3．英国数学家哈利奥特最先使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影
响深远．对于任意实数 ，下列命题是真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则【答案】D
【解析】对A：因为 ，可能 ，故错误；
对B：当 时，若 ，则 ，故错误；
对C：当 ， 时，则 ，故错误；
对D：若 ， ，则 ，故正确.
故选：D.
4．如图所示， 为射线 ， 的夹角， ，点 在射线 上，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设射线 所对的角为 ，则有 ， ，
又因为 ，
所以 ，
， ，
所以 ，所以 .
故选：A.
5．下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，函数 的定义域为R，关于原点对称，
且 ，所以函数 为偶函数，
当 时 ，函数 单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数 的定义域为R，关于原点对称，
且 ，所以函数 为奇函数，
由幂函数的性质知函数 在R上单调递增，
所以函数 在R上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数 的定义域为R，关于原点对称，
且 ，所以函数 为偶函数，
当 时 ，又 ，
所以函数 在 上单调递减，故C符合题意；
对于D，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以 是奇函数，又 ，
令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故D不符合题意.
故选：C.
6．已知圆 上两动点A，B满足 为正三角形，O为坐标原点，则 的
最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题可知 是边长为1的正三角形，
设 的中点为 ，则 ，
又 ，所以点 的轨迹方程为 ，且 ．
因为 ，所以 ，
因为 ，
在
当且仅当点 线段 上时等号成立，
所以 的最大值为 ，
所以 的最大值为 ．
故选：D．
7．现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一
家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女不同住一个房间，则女生
甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】3名女生需要住2个房间或3个房间.
若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为 ；
若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为 .
其中，女生甲和女生乙恰好住在同一间房的方法种数为 ，
所以女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是 .
故选：C
8． ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意， ，
令 ，
求导得 ，
因此函数 在 上单调递增， ，即 ，则 ；
令 ，求导得 ，
因此函数 在 上单调递增， ，即 ，则 ，
所以 .
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A. 若样本数据 的方差为2，则数据 的方差为8
B. 若 ，则 ．C. 在一组样本数据 ，（ ， ，不全相等）的散点图中，若所
有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的线性相关系数为
D. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 ，求得线性回归方程为
，则 的值分别是 和4
【答案】ABD
【解析】对于选项A：若样本数据 的方差为2，则数据 的方差为
，故A正确；
对于选项B：若 ，则
，故B正确；
对于选项C：在一组样本数据 ，（ ， ，不全相等）的散点图
中，若所有样本点 都在直线 上，其中 是线性回归方程的一次项系
数，不是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[−1，1]，当相关系数为正时呈
正相关关系，为负时呈负相关关系，故C不正确；
对于选项D：以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 ，
则 ，由题线性回归方程为 ，则 ，故 的值
分别是 和4，故D正确.
故选：ABD.
10．已知函数 的一个对称中心为 ，则（ ）
A. 的最小正周期为π
B.
C. 直线 是函数 图像的一条对称轴D. 若函数 在 上单调递减，则
【答案】AC
【解析】 则有 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 的最小正周期为π，故A正确；
，故B错误；
，则直线 是 图像的一条对称轴，故C正确；
，当 时， ，
若函数 在 上单调递减，则有 ，
解得则 ，故D错误.
故选：AC
11．已知正项数列 的前 项和为 ， ，且 ， .
， 为 的前 项和.下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】 ， ，
可得 时， ，解得 ，故A错误，当 时，由 ，可得 ，
上面两式相减可得 ，
由于 ，所以 ，
而 ，则 ，首项也符合，
所以 ， ．故B错误，C正确，
，
．D正确，
故选：CD
12．如图所示的六面体中， ， ， 两两垂直， 连线经过三角形 的重心 ，且
，则（ ）
A. 若 ，则 平面
B. 若 ，则 平面
C. 若 五点均在同一球面上，则
D. 若点 恰为三棱锥 外接球的球心，则
【答案】BCD【解析】因为六面体中， ， ， 两两垂直， 连线经过三角形 的重心 ，
所以可以将六面体放在长方体中，点 在对角线 上运动，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ，
设 的中点 ，连接 ，与 交于点 ，且 ，
， ，
设 ，由 得 ，
解得 ，故 ， ，
A选项，若 ，即 ，此时点 在点 处，
此时 ， ，
由于 ，故 不垂直，
故 与平面 不垂直，A错误；B选项，若 ，即 ，此时点 为对角线 的中点，此时 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
解得 ，令 ，则 ，故 ，
又 ，故 ，
故 ，所以 平面 ，B正确；
C选项，由于长方体的顶点在同一球面上，若 五点均在同一球面上，
则点 一定在点 处，此时 ，C正确；
D选项，三棱锥 的外接球即为长方体 的外接球，
若点 恰为三棱锥 外接球的球心，则点 为对角线 的中点，
所以 ，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知非零向量 ， ， 满足 ， ，若 为 在 上的投影向量，则向量 ， 夹角的余
弦值为________
【答案】
【 解 析 】 由 ， 为 在 上 的 投 影 向 量 ，
所以 ，故故答案为：
14. 展开式中 项的系数为________ ．
【答案】8
【解析】由题意可知： 展开式的通项公式为 ,
所以 展开式中 项的系数为 .
故答案为：8．
15.已知直线 与 是曲线 的两条切线，则 ________
．
【答案】
【解析】由已知得，曲线的切线过 ，
时，曲线为 ，设 ，直线 在曲线上的切点为 ，
，
切线： ，又切线过
，∴ ， ，
同 理 取 ， 曲 线 为 ， 设 ， 直 线 在 曲 线 上 的 切 点 为
， ，
切线： ，又切线过
， ，∴ ，
故答案为：16．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是 上异于顶点的一点， 为坐标原点，
为线段 的中点， 的平分线与直线 交于点 ，当四边形 的面积为 时，
__________．
【答案】
【解析】
由题可知 ， ．
因为 平分 ，所以 到 ， 的距离相等，
设为 ，则 ．
易知 是 的中位线，延长 ， 交于点 ，则 为 的中点，
过 作 于 ，
易得 ，则 ，从而 ．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）求B；（2）已知 ，D为边 上的一点，若 ， ，求 的长．
【答案】（1） ． （2） ．
【解析】（1）∵ ，根据正弦定理得， ，
即 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）因为 ， ， ，根据余弦定理得
，∴ ．
∵ ，∴ ．
在 中，由正弦定理知， ，∴ ，
∴ ， ，所以
∴ ，∴ ．
18．如图，三棱锥 的平面展开图中， ， ， ，
， 为 的中点．（1）在三棱锥 中，证明： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）
由 ，得 ，且 为 的中点，
所以 ，
取 中点为 ，连接 ， ，
可得 ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，
所以
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ；
（2）如图，过点 作 ，交 于点 ，
以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系．
则 ， ， ， ，
在 中，可得点 到 距离为 ，
故可得 ，
， ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ，
平面 与平面 的夹角为 ，
由 ,取 ，
所以 ，
由 ,取 ，所以 ，
所以
所以两平面的夹角的余弦值为 .
19．已知数列 是各项都为正整数的等比数列， 且 是 与 的等差中项，数列 满足
.
（1）求数列 的通项公式;
（2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）设数列 的公比为 ，则 ，
是 与 的等差中项，
，解得 或 (舍去)，
，
又 ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
；
（2）由 ，
整理可得 ，即 ，
对任意 恒成立，令 ，则
当 时， ，当 时，
当 或 时， 取得最大值，
.解得 .
故实数 的取值范围是 .
20．某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐
都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚
餐）
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师 6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；
（3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”， ，已知推出
优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证
明． ．
【答案】（1）0.6 （2）分布列见解析，1.9 （3）证明见解析
【解析】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，
因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为 ，
所以 ．
（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，
则X的所有可能取值为1和2，
所以 ，
，
所以X的分布列为X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的数学期望 ．
（3）由题知 ，所以
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，即
21．如图，在平面直角坐标系 中， 为 轴正半轴上的一个动点．以 为焦点、 为顶点作抛物线
．设 为第一象限内抛物线 上的一点， 为 轴负半轴上一点，设 ，使得
为拋物线 的切线，且 ．圆 均与直线 切于点 ，且均与 轴相切．
（1）试求出 之间的关系；
（2）是否存在点 ，使圆 与 的面积之和取到最小值．若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1） （2）存在，
【解析】（1）由条件抛物线C： ，点 ，设 ，将其与抛物线C的方程联立，消去 得 ．①
因为 与抛物线C切于点P，所以，方程①的判别式为 ，解得 ．
进而，点 ．故 ．
由 ，则 ．②∴ .
（2）设 的圆心分别为 ．
注意到， 与 圆切于点P．故 ．
设圆 与 轴分别切于 ，如图所示：
则 分别为 的角平分线，故 ， ， ,
易知 ，则 ，
．
结合式②有 ．③
由 三点共线得 ，化简可得
．④
令 ，于是，圆 的面积之和 ．
根据题意，仅需考虑T取最小值的情形，根据③、④知．
令 ．由 ， ，
．
当且仅当 时，上式等号成立．此时， ．
结合式②得 ．故点 ．
22．已知 ，函数 ， .
（1）当 与 都存在极小值，且极小值之和为 时，求实数 的值；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）1 （2）证明见解析
【解析】（1） ， 定义域均为 ，
，
当 时，则 ， 在 单调递增，无极值，与题不符；
当 时，令 ，解得： ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
在
取极小值，且 ；
又 ，
当 时： ， 在 单调递减，无极值，与题不符；
当 时：令 ，解得： ，所以 在 单调递减，在 单调递增，
在 取极小值，且 ；
由题：，解得： .
（2）令 ，因为 ，所以 ，
由 可得： ，
（1）-（2）得： ，所以 ，
要证： ，只要证： ，只要证：
不妨设 ，所以只要证： ，
即证： ，令 ，只要证： ，
令 ， ，
所以 在 上单调递增，
， 即有 成立，所以 成立.
