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2024 年 1 月“七省联考”押题预测卷 01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．若集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D. R
【答案】B
【解析】由题意，集合 ， ，
根据集合交集的运算，可得 .
故选：B.
2．已知 是虚数单位，若非零复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
由 可得 ，
所以， ，又因为 ，所以， ，则 ，故 .
故选：A.
3．江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水
乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬
软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭
计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从这6个古镇中挑选2个去旅游 的可能情况有 种情况，只选一个苏州古镇的概率为 ．
故选：B
4．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入 亿元进行基础建设， 年后产生
亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2
倍，且再过 年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则 （ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】由条件得 ，∴ ，即 ．设投资 年后，产生的社会经济效
益是投资额的8倍，则有 ，解得， ．所以再过 年，该项投资产生的社
会经济笑意是投资额的8倍．
故选：B．
5．已知平面向量 满足 ，且 与 的夹角为 ，则 的最大值为（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】因为 ，且 与 的夹角为 ，
如图所示，设 ，则 ，
由题意知 ，设 ，
因为 ，在 中，由正弦定理得 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
故选:C.
6．设一组样本数据 ， ，…， 的极差为1，方差为0.1，若数据 ， ，…，
的极差为2，则数据 ， ，…， 的方差为（ ）
A. 0.02 B. 0.04 C. 0.2 D. 0.4
【答案】D
【解析】由题意可知，一组样本数据 ， ，…， 的极差为1，则 ，
又数据 ， ，…， 的极差为2，
则 ，所以 ，
故数据 ， ，…， 的方差为 ，
故选：D
7．在 中，已知 ， ， ， ， 边上的两条中线 ， 相
交于点 ，则 的余弦值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由余弦定理得 ，
所以 ，所以三角形 是直角三角形，且 ，
以 为原点建立如图所示平面直角坐标系， ，
， ，
所以 .
故选：B
8．已知函数 ，设 ，则（
）.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ， ，故
为偶函数，
当 时， ，令 ，则 ，即
在 上单调递增，故 ，所以 ，则 在 上单调递增，
由于 ， ，
，所以 ．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量 ， 满足 ，则
B. 若随机变量 ，且 ，则
C. 若样本数据 （ ，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线
经过该组数据的中心点
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 ．依据 的独立性检验（
），可判断X与Y有关
【答案】BCD
【解析】对A，由方差的性质可知，若随机变量 ， 满足 ，则
，故A错误；
对B，根据正态分布的图象对称性可得 ，故B正确；
对C，根据回归直线方程过样本中心点可知C正确；
对D，由 可判断X与Y有关，故D正确.
故选：BCD．
10．已知等差数列 的前 项和为 ，正项等比数列 的前 项积为 ，则（ ）
A. 数列 是等差数列 B. 数列 是等比数列
C. 数列 是等差数列 D. 数列 是等比数列
【答案】ABD
【解析】设 的公差为 ， 的公比为 ，
则 ，
所以 是常数，故A正确；
易知 是常数，故B正确；
由 不是常数，故C错误；
是常数，故D正确.
故选：ABD
11．已知圆 ： 与圆 相交于 ， 两点，直线
，点 为直线 上一动点，过 作圆 的切线 ， ，（ ， 为切点），
则说法正确的是（ ）
A. 直线 的方程为 B. 线段 的长为C. 直线 过定点 D. 的最小值是2．
【答案】BC
【解析】由题知，联立 ，
两式相减得 ，
即直线 的方程为 ，A错；
联立 ，
解得 或 ，
所以 ，B正确；
对于C，设 ，
因为 ， 为圆 的切点，
所以直线 方程 为，
直线 的方程为 ，
又设 ，
所以 ，
故直线 的方程为 ，
又因为 ，
所以 ，
由 得 ，
即直线 过定点 ，C正确；
因为 ，
所以当 最小时， 最小，且 最小为 ，
所以此时 ，D错.
故选：BC
12．直四棱柱 ，所有棱长都相等，且 ， 为 的中点， 为四
边形 内一点（包括边界），下列结论正确的是（ ）
A. 平面 截四棱柱 的截面为直角梯形
B. 面
C. 平面 内存在点 ，使得
D.
【答案】AB
【解析】对A，取 的中点为 ， ， 为截面，
因为 ，设 ，
在 中， ，得 ，
则 ，即 ，
又 平面 ， 平面 ，则 ，
， 面 ， 面 ，
可知 面 ，且 面 ，所以 ，A对
对B，因为 面 ，且 面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，B对；
对C，过 作 ，因为 平面 ， 平面 ，， ， 平面 ，
所以 平面 ，延长 交面 于 ，连接 交 于 ，
则 为 在面 的射影，
若 ，又 平面 ，则 ，
， 平面 ，则 平面 ，
平面 ，则有 ，
但当 在四边形 内运动时， 在 上运动，此时 不可能与 垂直，C错；
对D：连接 交 于 ， 交 于S，连接 交 于 ,
，因为 平面 ，则 平面 ，
则 为点 到面 的距离， 为点 到面 的距离，
，则点 到面 的距离即点 到面 的距离，即 ，
则 ， ，则
，D错；
故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知 展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中 的系数为_____________.
（用数字作答）
【答案】1120
【解析】由 , 得 .
展开式的通项 ，,
令 , 得 ,
则展开式中含 的项为 .
所以 的系数为1120.
故答案为：1120.
14.若函数 的图象在 内恰有2条对称轴，则 的值可能
为_____________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
．
当 时， ，
因为函数 的图象在 内恰有2条对称轴，所以 ，
解得 ，则 的值可能为
故答案为：（答案不唯一）
15.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积
分别为 和 .若 ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，
则 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 ，
所以甲圆锥的高 ，
乙圆锥的高 ，所以 .
故答案为： .
16．如图，双曲线 的右顶点为 ，左右焦点分别为 ，点 是双曲线右
支上一点， 交左支于点 ，交渐近线 于点 是 的中点，若 ，且
，则双曲线的离心率是__________.
【答案】
【解析】设 ，则 ，解得 ，即 ，由题意 ，所以
，所以 ．又设 ，则 ，两式
相减得 ，即 ，所以 ，又
，化简得 ， ．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
（1）求角 ；
（2）若 为边 上一点，且满足 ， ，证明： 为直角三角形．
【答案】（1） （2）证明见解析【解析】（1）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ， ， ， ，
所以 ，所以 ；
（2）证明：因为 ，所以 ，
设 ，在 中， ，则 ．
可得 ， ，
在 中，由正弦定理得， ，
又因为 ，所以 ，
则 ，
化简得 ，因为 ，即 ，则 ．
所以 是直角三角形．
18．已知数列 的前 项的和为 ，数列 是公差为1的等差数列．
（1）证明：数列 是公差为2的等差数列；
（2）设数列 的前 项的和为 ，若 ，证明 ．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）因为数列 是公差为1的等差数列，所以 ．
从而可得 ．当 时， ．
即可得 ，所以数列 是公差为2的等差数列；
（2）根据第（1）问数列 是公差为2的等差数列可得 ，
从而可得 ．
所以数列 的通项公式 ．
所以 ．
从而可得 ．
所以 成立．
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E为棱AB的中点，AC⊥PE，PA=PD.
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2） .
【解析】（1）
如图，连接 ,取 中点 ,连接 ,因底面ABCD为菱形，故 ,又E为棱AB的中
点，故 ，则 ，
已知 平面 ，故 平面 ，因 平面
，则 ，因 ，则
又 平面 则 平面 ，又 平面 ，故平面平面
（2）
如图，连 ，由（1）知 平面 ，且∠BAD=60°，则 是正三角形，
,
故可以 分别为 轴正方向建立空间直角坐标系 .不妨设 ,则
于是 ,设平面 D的法向量为 ，则有
可取 .
因 ， 故可取平面 的法向量为 .
设二面角 的平面角为 ，则 为锐角，故 则
即二面角 的正弦值为 .
20．设椭圆 的左右焦点分别为 是该椭圆C的右顶点和上顶
点，且 ，若该椭圆的离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C交于 两点，且与x轴交于点 若直线 与直线 的倾斜
角互补，求 的面积的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题可得， ，所以 因为椭圆的离心率为 所以 ，结合椭圆中 可知，
所以椭圆C的标准方程为
（2） ，设
因为直线 与直线 的倾斜角互补，
所以可知 ，
即 ，
化简得
设直线 ，
将 代入上式，
整理可得
且由 消元化简可得
，
所以 ，代入上式
由 ，
解得
所以
因为点 到直线PQ的距离 ，
且
所以
令 ，则所以 ，.
当且仅当 ， 时取等号.
所以 的面积的最大值为
21．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问
卷调查.已知某单位有N名员工，其中 是男性， 是女性.
（1）当 时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市
范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的
概率记作 ；有二项分布中（即男性员工的人数 ）男性员工恰有2人的概率记作
.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即 ）的前提下认为超几
何分布近似为二项分布.（参考数据： ）
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为
（2）N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即 ）的前提下认为超几何分
布近似为二项分布
【解析】（1）当 时，男性员工有8人，女性员工有12人.
服从超几何分布， ，
， ，
， ，
∴ 的分布列为
0 1 2 3
数学期望为 .
（2） ，
，由于 ，则 ，
即 ，
即 ，
由题意易知 ，
从而 ，
化简得 ，
又 ，于是 .
由于函数 在 处有极小值，
从而 当 时单调递增，
又 ， .
因此当 时，符合题意，
而又考虑到 和 都是整数，则 一定是5的整数倍，于是 .
即N至少为145，
我们可以在误差不超过0.001（即 ）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
22．已知函数 ，（ ）.
（1）若 为偶函数，求此时 在点 处的切线方程；
（2）设函数 ，且存在 分别为 的极大值点和极小值点.
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）若 ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
（1） 为偶函数，有 ，则 ，
所以 ，
所以 ，所以 在点 处的切线方程为 .
（2）（ⅰ） ，
，
因为函数 既存在极大值，又存在极小值，
则 必有两个不等的实根，则 ，
令 可得 或 ，
所以 ，解得 且 .
令 ， ，则有：
+ 0 0 +
极大值 极小值
可知 分别在 和 取得极大值和极小值，符合题意.
综上，实数 的取值范围是 .
（ⅱ）由 ，可得 ，
所以 ， ， ， 且有 ，
由题意可得 对 恒成立，
由于此时 ，则 ，
所以 ，则 ，
令 ，其中 ，
则 ，
令 ，则 .
①当 ，即 时， ， 在 上是严格增函数，
所以 ，即 ，符合题意；
（2）当 ，即 时，设方程 的两根分别为 ， 且 ，
则 ， ，则 ，
则当 时， ，则 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 ，不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
