文档文本内容
第 09 讲 第十章 计数原理，概率，随机变量及其分布（基础拿分卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·浙江·青田县船寮综合高级中学高三期中）《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》是我
国著名的四大古典小说，若从这四本小说中任取2本，则“取到《三国演义》”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习） 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课前预习）已知随机事件 ， ， 中， 与 互斥， 与 对立，且 ，
，则 （ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8
4．（2022·全国·高三专题练习）已知正态分布的密度函数 ， ，以下关于
正态曲线的说法错误的是（ ）
A．曲线与x轴之间的面积为1
B．曲线在 处达到峰值
C．当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿x轴平移
D．当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“矮胖”
5．（2022·湖北武汉·高二期末）在一次试验中，随机事件A，B满足 ， ，则（ ）
A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B不一定互斥
C．事件A，B一定互相独立 D．事件A，B一定不互相独立
6．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知 ，设
，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·陕西渭南·高一期末）素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中
叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对
，其中当 时，称（ ）为“孪生素数”， 时，称（ ）为“表兄弟素数”.
在不超过20的素数中，任选两个不同的素数p，q（ ），令事件 {（ ）为孪生素数}， {（
）为表兄弟素数}， { }，记事件A、B、C发生的概率分别为 、 、 ，
则下列关系式成立的是（ ）A． B．
C． D．
8．（2022·上海交大附中高二期末）已知甲､乙两袋中分别装有编号为 的四个球.从甲、乙两袋中各取
出一个球，每个球被取出的可能性相同.事件 ：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件 ：从乙袋中取出
的球的编号是奇数；事件 ：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数.给出下列命题：①事件 与事件
相互独立；②事件 与事件 相互独立；③事件 与事件 相互独立.那么这三个命题中真命题的个数为
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·江苏省镇江中学高二开学考试）已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，
有放回地取3次，则下列事件的概率不为 的是（ ）
A．颜色相同 B．颜色不全相同 C．颜色全不相同 D．无红球
10．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）某城市的街道如图，某人要从 地前往 地，则路程最
短的走法有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
11．（2022·全国·高三专题练习）一盒中有7个乒乓球．其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任
取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．X的所有可能取值是 B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为 D．X的数学期望是
12．（2022·山东·邹城市兖矿第一中学高二阶段练习）分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分
别为1，2，3，4，5，6），设事件 “第一枚骰子的点数为奇数”，事件 “第二枚骰子的点数为偶
数”，则（ ）
A． 与 互斥 B． C． 与 相互独立 D．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·全国·高二课时练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的文化瑰宝，由四个全等的直角三角形和
一个小正方形组成（如图所示），简洁对称、和谐优美.某数学文化研究会以弦图为蓝本设计会徽，其图案
是用红、黄2种颜色为弦图的5个区域着色（至少使用一种颜色），则一共可以绘制备选的会徽图案数为
__________.
14．（2022·全国·高二课时练习）随机变量 的分布列为 为常数， 则
的值为____________
15．（2022·全国·高二课时练习）某同学上学路上要经过 个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是 ，且
在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记 为遇到红灯的次数，若 ，则Y的方差
______．
16．（2022·全国·高三专题练习）立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100
分）X近似服从正态分布，正态曲线如图①所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决
定在分数段 内抽取学生，并确定m＝67，且 .在某班随机抽样得到20名学生的
分值分布茎叶图如图②所示.若该班抽取学生分数在分数段 内的人数为k，则k等于______；这k名学
生的人均分为______.
（附： ， ，
）
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·重庆市万州第二高级中学高二期末）在 的展开式中,求：(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)求系数绝对值最大的项.
18．（2022·甘肃酒泉·高一期末）“2022年全国城市节约用水宣传周”于5月15日至21日举行，某市围
绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民
保护水资源，防治水污染，节约用水的意识．为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查
住户的节约用水情况，随机抽取了100名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成5组： ，
， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则第1，2，3组每组各应抽取多少人？
(2)在（1）的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人作进一步访谈，求这2人都是第3组的概率．
19．（2022·山西·晋中新大陆双语学校高二阶段练习）某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、
三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下
数据：
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
数量 40 30 10 20
（1）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；
（2）根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，
记这3件产品中一等品的数量为 ，求 的分布列及数学期望；
（3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为22元/件．
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下，
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
售价/（元/件） 24 22 18 16
根据样本估计总体，从采购商的角度考虑，应该选择哪种销售方案？请说明理由．20．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产. 在试产初
期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测
与人工抽检.
(1)在试产初期，该款芯片的批次 生产前三道工序的次品率分别为 .
①求批次 芯片的次品率 ；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰， 合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检
验. 已知批次 的芯片智能自动检测显示合格率为98%， 求工人在流水线进行人工抽检时， 抽检一个芯
片恰为合格品的概率；
(2)该企业改进生产工艺后生产了批次 的芯片. 某手机生产厂商获得批次 与批次 的芯片，并在某款
新型手机上使用. 现对使用 这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查. 据统计，回访的100名用
户中，安装批次 有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次 有60部，其中对开机速度满意
的有58人. 依据 的独立性检验， 能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关?
附：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21．（2022·全国·高三专题练习）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样
本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点
根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 ．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个
样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样
本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本
呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．22．（2022·全国·高三专题练习（理））口琴是一种大众熟知的方便携带的乐器.独奏口琴有三种，分为半
音阶口琴(有按键)、复音口琴、十孔口琴(又名布鲁斯口琴、蓝调口琴).“口琴者联盟”团队为了解口琴爱好
者的练琴情况，提高口琴爱好者的音乐素养，推动口琴发展，在全国范围内进行了广泛调查.“口琴者联
盟”团队随机调查了200名口琴爱好者每周的练琴时间 (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图可以看出，目前口琴爱好者的练琴时间 服从正态分布 ，其中 近似为样本
平均数 ， 近似为样本方差 （同一组的数据用该组区间中点值代表），据此，估计 万名口琴爱好者
每周练琴时间在 分钟到 分钟的人数；
(2)从样本中练琴时间在 和 内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取 人，再从这 人中随
机抽取 人进行培训，设 表示抽取的 人中练琴时间在 内的人数，求 的分布列和数学期望.
参考数据：样本方差 ， ， ，
， .
