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第 09 讲 高考中的概率与统计
目录
考点一：频率分布直方图..............................................1
考点二：经验回归线性方程及其应用....................................8
考点三：经验回归非线性方程及其应用.................................14
考点四：独立性检验.................................................20
考点五：离散型随机变量及其分布列...................................26
考点六：概率与统计的综合问题.......................................30
考点七：正态分布的综合问题.........................................34
考点八：概率统计与数列相关问题.....................................38
考点九：概率统计与导数.............................................42
考点一：频率分布直方图
典型例题
例题1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）从2022年秋季学期起，四川省启动
实施高考综合改革，实行高考科目“ ”模式．“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数
计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”
指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再
选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数
所占比例及赋分区间如下表：
等级 A B C D E
人数比例
赋分区间
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中 ， 分别表示原始分区间的最低分和最高分， ， 分别表示等级赋分区间的最低
分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为 时，等级分为 ，计算结果四
舍五入取整．某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续分布，其频率分布直方图如下：
(1)求实数a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计原始成绩分数的 分位数X（不取整）；
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间，并按照等级分赋分规
则，把（2）中估计的原始分X转化为对应的等级分；
例题2．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考阶段练习）《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息
化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核
心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能
与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽
车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造
的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某
项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：
(1)从质量指标值在 的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2
件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.
(2)经估计知这组样本的平均数为 ，方差为 .检验标准中 ， ，
，其中 表示不大于 的最大整数， 表示不小于 的最小整数， 值四舍五入精确到个位.根据
检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有 落在 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级
稳定，但需要进一步改造技术；若有 落在 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生
产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？
例题3．（2023秋·广东东莞·高二校联考阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城
市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成
绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ，…， 得到如图所
示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在 的平均成绩是51，方差是7，落在 的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的
总平均数 和总方差 ．
练透核心考点1．（2023秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成
功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，
并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如
图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的众数和 分位数（百分位数精确到0.1）；
(3)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定
组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
2．（2023秋·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，
全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图
所示）解决下列问题：
频率分布表：
组别 分组 频数 频率
第一
8 0.16
组
第二
■
组
第三
20 0.40
组
第四
■ 0.08
组
第五
2
组
第六
合计 ■ ■
组
(1)写出 的值；
(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰 的同学，仅留 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多
少合理？
(3)某老师在此次考试成绩中抽取了10名学生的分数： ，已知这10个分数的平均数 ，
标准差 ，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.
（附：方差计算公式： 或）
3．（2023秋·广西·高二校联考阶段练习）某省将实行“ ”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模
式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生
原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，
A等级排名占比15%，赋分分数区间是86~100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71~85；C等级排名
占比35%，赋分分数区间是56~70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41~55；E等级排名占比2%，赋
分分数区间是30~40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率
分布直方图如图所示：
(1)求图中a的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的平均数；
(2)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上
（含B等级）？（结果保留整数）
(3)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在 和 内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况
来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在 内的概
率．考点二：经验回归线性方程及其应用
典型例题
例题1．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择
就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
A区 B区 C区 D区
外来务工人数x/万 3 4 5 6
就地过年人数y/万 2.5 3 4 4.5
(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程 .
(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.
①若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的
补贴总金额；
②若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p， ，其中 ，该市政府对甲、
乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求p的取值范围.
参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为 ， .例题2．（2023·全国·高三专题练习）人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数
据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国
2015年－2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x表示年份代码(2015年用1表示，2016年
用2表示，依次类推)，用y表示市场规模(单位：亿元)，试回答：
(1)根据条形统计图中数据，计算变量y与x的相关系数r，并用r判断两个变量y与x相关关系的强弱(精确
到小数点后2位)；
(2)若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y关于x的线性回归方程，并据此预测2022年中国人
工智能教育市场规模(精确到1亿元).
附：线性回归方程 ，其中 ；
相关系数 ；
参考数据： .例题3．（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在
“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保
证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了
满意度测评，得到数据如下表：
敬老院 A B C D E F G H I K
满意度x（%） 20 34 25 19 26 20 19 24 19 13
投资原y（万元） 80 89 89 78 75 71 65 62 60 52
（1）求投资额 关于满意度 的相关系数；
（2）我们约定：投资额 关于满意度 的相关系数 的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，
否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财
政不再继续投资，改为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额 关于满意度 的线性回归
方程（系数精确到0.1）
参考数据： ， ， ， ，
.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别
为： .线性相关系数 .练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查
了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位： ）和日均客流量y（单位：百人）的数据
，并计算得 ， ， ，
.
(1)求y关于x的回归直线方程；
(2)已知服装店每天的经济效益 ，该商场现有 的商铺出租，根据（1）
的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?
附：回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， .2．（2023·陕西西安·校考三模）2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，北京获
得2022年冬奥会举办权.在申冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪运动”的庄严
承诺.这一承诺，既是我国为国际奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国经济水平和全
民健身需求做出的群众性运动的战略部署.从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与冰雪运动人数
累计达到3.46亿，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬季体育运动和
奥林匹克运动的最为重要的遗产，可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌.“冬奥热”带动“冰雪热”，
也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个冰雪季的旅游
人次y（单位亿）的数据如下表：
年度 2016—2017 2017—2018 2018—2019 2019—2020 2020—2021 2021—2022
年度代号t 1 2 3 4 5 6
旅游人次y 1.7 1.97 2.24 0.94 2.54 3.15
(1)求y与t的相关系数（精确到0.01），并回答y与t的线性相关关系的强弱；
(2)因受疫情影响，现将2019—2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y
关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并推测没有疫情情况下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估
计值.
附注：参考数据： ， ， ， ，
.参考公式：相关系数 ，回归
直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，3．（2023春·河南驻马店·高二统考期末）市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况
进行调查统计，得到的数据如下：
月份x 1 2 3 4 5 6
净利润y（万元） 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4
(1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若 时，则线性
相关程度较高， ，则线性相关程度一般，计算 时精确度为0.01）
(2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率
， .相关系数 .
参考数据： ， ， ， ， ， .考点三：经验回归非线性方程及其应用
典型例题
例题1．（2023春·海南海口·高二海南中学校考期末）某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药
材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码x 1 2 3 4 5
平均收入y（千元） 59 61 64 68 73
(1)根据表中数据，现有 与 两种模型可以拟合y与x之间的关系，请分别求出两种模型
的回归方程；（结果保留一位小数）
(2)统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，已知 的残差平方和是3.5，请
根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入.
参考数据及公式： ， ，其中 . ， .例题2．（2023春·河南·高二信阳高中校考阶段练习）某剧场的座位数量是固定的，管理人员统计了最近
在该剧场举办的五场表演的票价 （单位：元）和上座率 （上座人数与总座位数的比值）的数据，其中
，并根据统计数据得到如下的散点图：
(1)由散点图判断 与 哪个模型能更好地对 与 的关系进行拟合（给出判断即可，不
必说明理由），并根据你的判断结果求回归方程．
(2)根据（1）所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多．
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计
分别为： ．参考数据：
，设 ，则 ，
．例题3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在正常生产条件下，根据经验，可以认为化
肥的有效利用率近似服从正态分布 ，而化肥施肥量因农作物的种类不同每亩也存在差异.
(1)假设生产条件正常，记 表示化肥的有效利用率，求 ；
(2)课题组为研究每亩化肥施用量与某农作物亩产量之间的关系，收集了10组数据，并对这些数据作了初
步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值.其中每亩化肥施用量为 （单位：公斤），粮食亩产
量为 （单位：百公斤）
参考数据：
650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5
， ，2， ， .
（i）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为该农作物亩产量 关于每亩化肥施用量 的回
归方程（给出判断即可，不必说明理由）；
（ii）根据（i）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，
粮食亩产量 的值.
附：①对于一组数据 ，2，3， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ， ；
②若随机变量 ，则 ， .练透核心考点
1．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后
自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学
生每天花在数学上的课后自主学习时间（ 分钟）和他们的数学成绩（ 分）做出了调查，得到一些数据
信息并证实了 与 正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据
表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到 ，
， 的方差为350， 的相关系数 （ ）.
(1)请根据所给数据求出 的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时
的数学成绩；
(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20
分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数
学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，
课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的
成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给
出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
编号 14 15 16 17 18
x 85 90 100 110 120
y 113 114 117 119 119附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 .
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业
化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018－2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），
其中年份2018—2022对应的代码分别为1-5．
年份代码 1 2 3 4 5
车载音乐市场规模
2.8 3.9 7.3 12.0 17.0
(1)由上表数据知，可用指数函数模型 拟合 与 的关系，请建立 关于 的回归方程；
(2)根据上述数据求得 关于 的回归方程后，预测2024年的中国车载音乐市场规模．
参考数据：
1.94 33.82 1.7 1.6 26.84
其中 ， ．
参考公式：对于一组数据 ， ， ， 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法
估计公式分别为 ， ．3．（2023春·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）国务院印发《新时期促进集成电路产业和软件产
业高质量发展的若干政策》．某科技公司响应国家号召，加大了芯片研究投入力度．从2022年起，芯片
的经济收入逐月攀升，该公司在2022年的第一月份至第六月份的月经济收入 （单位：百万元）关于月份
的数据如下表所示：
时间 （月份） 1 2 3 4 5 6
月收入 （百万元） 6 9 15 22 33 47
(1)请你根据提供数据，判断 与 （ 均为常数）哪一个适宜作为该公司月经济收入
关于月份 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出 关于 的回归方程；
(3)从这6个月中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为 ，求 的分布列和数学期望．参考数据：
2.86 17.50 142 7.29
其中设
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率
和截距的最小二乘估计公式分别为： ．考点四：独立性检验
典型例题
例题1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考一模）由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯
众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享
他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在
讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了
两个地区的 名观众，得到如下所示的 列联表.
非常喜
喜欢 合计
欢
30 15
合计
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自 地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为 .
(1)现从 名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常
喜欢”的 地区的人数各是多少？
(2)完成上述表格，依据小概率值 独立性检验，能否认为观众的喜爱程度与所在地区有关？
附：， ，
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828例题2．（2023·河南·校联考模拟预测）网络直播带货作为一种新型的销售土特产的方式，受到社会各界的
追捧.湖北某地盛产夏橙，为帮助当地农民销售夏橙，当地政府邀请了甲、乙两名网红在某天通过直播带货
销售夏橙.现对某时间段100名观看直播后选择在甲、乙两名网红的直播间（以下简称甲直播间、乙直播
间）购买夏橙的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买夏橙），得到如下数据：
在直播间购买夏橙的情况
网民类
合计
型
在甲直播间购买 在乙直播间购买
男网民 50 5 55
女网民 30 15 45
合计 80 20 100
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联？
(2)网民黄蓉上午、下午均从甲、乙两个直播间中选择其中一个购买夏橙，且上午在甲直播间购买夏橙的概
率为 .若上午选择在甲直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ；若上午选择在乙直
播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ，求黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概
率；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若共有50008名网民在甲、乙直播间购买夏橙，且网民选择在
甲、乙哪个直播间购买夏橙互不影响，记其中在甲直播间购买夏橙的网民人数为X，求使事件“ ”
的概率取最大值的k的值.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879例题3．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测） 年， 基站正式获得国家工信部人网批准，自
此，中国进入“ 时代”.相比于 、 具有“更高网速、低延时高可靠、低功率海量连接”的特点，
目前这一技术被广泛应用于工业、能源、教育等多个领域.某运营商为了解 网络使用满意度，从运营系
统中选出 名客户进行调查，其中，青年（ 岁）客户与中老年（ 岁）客户的比例为 ，在
名持满意态度的客户中，中老年客户的比例为 .
(1)完成 列联表，根据小概率值 的独立性检验，能否认为对 网络的满意度和年龄有关联？
网络满意度
年龄 合计
满意 不满意
青年（ 岁）
老年（ 岁）
合计
(2)为更好地推广 网络，运营商计划开展抽奖活动，规则如下：参与者从装有 个红球， 个白球（形
状，大小，质地完全相同）的箱子中随机摸一个球，摸出后放回，摸到红球奖励 元充值券，摸到白球奖
励 元充值券.若计划有 名客户参与抽奖，求运营商需提供充值券总金额 的数学期望.
附： ， .
0.01 0.05 0.025
2.706 3.841 5.024练透核心考点
1．（2023·江西鹰潭·统考一模）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员
将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值， ， ， ，
， ，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有120只，其中该项
指标值不小于60的有85只假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生
抗体与指标值不小于60有关.
指标值
抗体 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的80只小白鼠进行第二次注射
疫苗，结果又有40只小白鼠产生抗体.
（ⅰ）用频率估计概率，如果对一只小白鼠注射2次疫苗，求这只小白鼠产生抗体的概率P；
（ⅱ）以（ⅰ）中确定的概率P作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，当
时， 取最大值时人体接种试验的人数 及 .
参考公式： ，（其中 为样本容量）
参考数据：0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
2．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究
人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按 ， ，
， ， 分组，绘制频率分布直方图如图所示.
试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗
后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志
愿者产生抗体与指标值不小于60有关.
指标值 合计
抗体
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射
疫苗，结果又有 名志愿者产生抗体.
（i）用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率 ，求 的值；
（ⅱ）以（i）中的概率 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110
名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量 ，求 最大时的 的值.
参考公式： （其中 为样本容量）.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.0250.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
3．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）为指导高一新生积极参加体育锻炼，某高中在新生中随机抽
取了400名学生，利用一周时间对他们的各项运动指标（高中年龄段指标）进行考查，得到综合指标评
分．综合指标评分结果分为两类：60分及以上为运动达标，60分以下为运动不达标．统计结果如下：
运动达标占比 运动不达标占比
男
40% 15%
生
女
25% 20%
生
(1)完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“运动达不达标与性别有关”；
运动达
运动不达标 总计
标
男生
女生
总计
(2)现从运动不达标的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选4人进行运动示范指
导，设抽取的4人中女生的人数为 ，当 时， 取得最大值，求 的值．
参考公式： ．
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828考点五：离散型随机变量及其分布列
典型例题
例题1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考二模） 年 月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平
合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高
远球和游泳 个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训
练一个技能项目．第一天在 个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的
个项目中任意选一项训练．
(1)若该男生进行了 天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；
(2)设该男生在考前最后 天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为 ，求 的分布列及数学期望．
例题2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）为防控某种变异性传染疾病的传播，某药企组织了甲、乙、丙三
个研发团队研发防控这种疾病的疫苗，每个团队各有一个研发任务，甲、乙、丙团队研发成功的概率分别
为 ， ， ，且每个团队研发成功与否互不影响．
(1)在三个团队中恰有两个团队研发成功的前提下，求甲团队研发成功的概率；
(2)记X表示甲、乙、丙三个团队中研发成功的团队数目与未成功的团队数目之差，求X的分布列与数学期
望．例题3．（2023·河南·校联考模拟预测）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否
则视为迟到.小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为 ，且相互独立.已知每遇到
红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司.求：
(1)要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发；
(2)若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率；
(3)小李上班路上的平均时长.
例题4．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）根据社会人口学研究发现，一个家庭有 个孩子
的概率模型为：
1 2 3 0
概
率
其中 ， .每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 且相互独立，事件 表示一个家庭有
个孩子 ，事件 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩
多.）
(1)为了调控未来人口结构，其中参数 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增
加等），是否存在 的值使得 ，请说明理由.
(2)若 ，求 ，并根据全概率公式 ，求 .练透核心考点
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确
消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费．盲盒最吸引人的地
方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率．几何分
布是概率论中非常重要的一个概率模型，可描述如下：在独立的伯努利（Bernoulli）试验中，若所考虑事
件首次出现，则试验停止，此时所进行的试验次数 服从几何分布，事件发生的概率 即为几何分布的参
数，记作 ．几何分布有如下性质：分布列为 ， ，期望
．现有甲文具店推出四种款式不同、单价相同的文具盲盒，数量足够多，购买
规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的文具盲盒是等可能的．
(1)现小嘉欲到甲文具店购买文具盲盒．
①求他第二次购买的文具盲盒的款式与第一次购买的不同的概率；
②设他首次买到两种不同款式的文具盲盒时所需要的购买次数为 ，求 的期望；
(2)若甲文具店的文具盲盒的单价为12元，乙文具店出售与甲文具店款式相同的非盲盒文具且单价为18
元．小兴为了买齐这四种款式的文具，他应选择去哪家文具店购买更省钱，并说明理由．
2．（2023·江西九江·统考一模）飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决
定行棋步数．为增加游戏乐趣，往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大
于或等于到达终点的格数时，玩家顺利通关．已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所
示：
(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；
(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束．设甲、乙两玩家再
投掷骰子的次数为 ，分别求出 的分布列和数学期望．3．（2023·湖南·校联考模拟预测）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一
次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取
出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，
求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.
4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾
病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为 ．
(1)若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为 ，求 的最大值点
；
(2)现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互
独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的 作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进一
次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的 作为p的值，若前次投进，则
下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进
概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．考点六：概率与统计的综合问题
典型例题
例题1．（2023·浙江·模拟预测）全民健身是全体人民增强体魄､健康生活的基础和保障，为了研究杭州市
民健身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：
每周健身次
1次 2次 3次 4次 5次 6次及6次以上
数
男 4 6 5 3 4 28
女 7 5 8 7 6 17
附： ，
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)如果认为每周健身4次及以上的用户为“喜欢健身”；请完成 列联表，根据小概率值 的独
立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？
(2)假设杭州市民小红第一次去健身房 健身的概率为 ，去健身房 健身的概率为 ，从第二次起，若
前一次去健身房 ，则此次不去 的概率为 ；若前一次去健身房 ，则此次仍不去 的概率为 .记第
次去健身房 健身的概率为 ，则第10次去哪一个健身房健身的概率更大？例题2．（2023·湖南永州·统考一模）某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品 ，其中
能通过行业标准检测的概率分别为 ，且 是否通过行业标准检测相互独立．
(1)设新品 通过行业标准检测的品种数为 ，求 的分布列；
(2)已知新品 中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品 中任意抽取一件进
行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过
．如果抽取次数的期望值不超过5，求 的最大值．
参考数据：
例题3．（2023·河北·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队
正在积极备战，考核设有100米、400米和1500米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分
分别记为 ， 和 ，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只
有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和
400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，
但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为 ， ， ，选手乙三个项目的达
标率依次为 ， ， ，每次考核是否达标相互独立．
(1)用 表示选手甲考核积分的总成绩，求 的分布列和数学期望；
(2)证明：无论 ， 和 取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的
数学期望值．练透核心考点
1．（2023·安徽滁州·校考二模）为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取
了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图
1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次
数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天
视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占 .
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
(1)求图1中 的值以及学生期中考
试数学成绩的上四分位数；
(2)根据图1、图2中的数据，补全上方 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析数学成绩
优秀与经常整理数学错题是否有关?
(3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取
5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数
X的分布列和数学期望.
附：2．（2023·云南·校联考模拟预测）在2005年世青赛中，被称作“超白金一代”的中国男足U23代表队打
出了中国男足在世界舞台上的最好表现．球队的战术核心，来自沈阳的陈涛入选了赛事最佳阵容．世青赛
的赛制分为小组赛、淘汰赛两个阶段．小组赛中，每个小组4支球队，按照单循环赛制选出两支球队进入
淘汰赛．淘汰赛中16支球队逐队厮杀，通过4轮比赛决出最后的冠军．
(1)已知在小组赛中，每赢一场记3分，打平一场记1分，输一场记0分，小组赛阶段中国队与巴拿马、土
耳其、乌克兰三支球队分在同一组．首战中中国队惊险战胜了欧洲亚军土耳其队，在小组赛占据了优势．
面对后两场比赛的对手乌克兰队和巴拿马队，根据赛前球探报告分析，可以近似认为后两场比赛中国的获
胜的概率都为0.5，打平的概率都为0.2，输球的概率都为0.3．中国队三场小组赛之后的总积分为随机变量
X，求出其分布列和期望．
(2)10号队员陈涛作为中国队的进攻核心，他的表现对中国队而言举足轻重．过往数据表示，在所有陈涛出
场并且有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中80%的场次，在所有陈涛没有进球或者助攻的比赛
中，中国队赢得了其中20%的场次，陈涛在其代表中国队出场的40场比赛中，有30场比赛完成了进球或
者助攻．在本届比赛中，中国队在小组赛中顺利出线，淘汰赛首轮中对阵世界足坛的传统强队德国队．已
知在淘汰赛对阵德国队的比赛中，陈涛代表中国队出场比赛，虽然经过全队不懈努力，仍然不敌强大的德
国队，若以过往的数据估计概率，请估计陈涛在本场比赛贡献进球或者助攻的概率．
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁
殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆
田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的
互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量 ，样本平
均数 ，样本方差 ；乙镇的样本容量 ，样本平均数 ，样本方差 ．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数 及其方差 ；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，
两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比
赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为 ，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为 ．
假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求 ．参考数据： ．
考点七：正态分布的综合问题
典型例题
例题1．（2023·新疆克拉玛依·克拉玛依市高级中学校考模拟预测）《中国制造2025》是经国务院总理李
克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战
略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的
基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产
的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优
等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统
称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数
（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数 作为μ的近似值，
用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点
值代表）
[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜
ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．
（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件
产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．例题2．（2023·广东·校联考模拟预测）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难
度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的
机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活
动.
(1)若甲第一关通过的概率为 ，第二关通过的概率为 ，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前
400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖
励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，
请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量 ，则 ； ；
.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学
科的发展．某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新
知识竞赛，并随机抽取1000名学生作为样本，研究其竞赛成绩．经统计分析该市高中生竞赛成绩 近似
地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ，并已求得 和
．
(1)若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间 的人数；
(2)若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等
级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过 ．如果抽取
次数的期望值不超过6，求 的最大值．
（附： ， ， ， ， ，若 ，
则 ， ）练透核心考点
1．（2023春·高二课时练习）2022年中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开之际，结合巩固深化“不
忘初心、牢记使命”主题教育成果，在全体党员中继续开展党史学习教育．为了配合这次学党史活动，某
地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加入员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得
到如图所示的频率分布直方图．
(1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为 ，试求随机变量 的分布列及期望．
(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布 ，其中 近似
为样本平均数， 近似为样本方差 ，经计算 ．现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取
500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有
可能是多少?
参考数据： ， ， ，
．2．（2023·全国·高二专题练习）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统
计了2020年 位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，估计这 位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一数据用该组数据区间
的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入 服从正态分布 ，其中 近似为年平均收入
， 近似为样本方差 ，经计算得 ，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的 的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标
准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了 位农民．若每位农民的年收入
互相独立，问：这 位农民中的年收入不少于 千元的人数最有可能是多少？
附： ；若 ，则 ， ，
．3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有
12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球 已知这种球的质量指标 （单
位：g）服从正态分布 ，其中 ， .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11
场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜
的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前
2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班
排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为 .
(1)令 ，则 ，且 ，求 ，并证明： ；
(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为 ，求出 的最大值点 ，并以 作为 的
值，解决下列问题.
（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为 ，求 的分布列；
（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后
一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.
参考数据： ，则 ， ，
.
考点八：概率统计与数列相关问题
典型例题
例题1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传
球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任
何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记 次传球后球在甲手中的概率为 .
①直接写出 ， ， 的值；
②求 与 的关系式 ，并求出 .
例题2．（2023·湖南郴州·统考一模）随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管
理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践
行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一
种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 .而前一天选择了A
套餐的学生第二天选择A套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 ；前一天选择 套餐的学生第二天选择
A套餐的概率为 ，选择 套餐的概率也是 ，如此往复.记同学甲第 天选择 套餐的概率为 .
(1)求同学甲第二天选择 套餐的概率；
(2)证明：数列 为等比数列；
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数 ，用 表示这100
名学生中恰有 名学生选择去A餐厅就餐的概率，求 取最大值时对应的 的值.
例题3．（2023秋·广东佛山·高三校考阶段练习）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规
则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50
元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2
倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额 的数学期望为 .
(1)求 及 的分布列.
(2)写出 与 的递推关系式，并证明 为等比数列；
(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据： ）练透核心考点
1．（2023春·北京通州·高二统考期末）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学
生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋
分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的
两倍，答错得1分．学生甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为 ，且每次答题结果互不影响．
(1)求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率；
(2)设学生甲第 次答题所得分数 的数学期望为 ．
（ⅰ）求 ， ， ；
（ⅱ）写出 与 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）；
（ⅲ）若 ，求 的最小值．
2．（2023秋·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能
力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参
与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属
优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有 ， ， 的同学有购买意向.假设三个班的人数比例
为 .
(1)现从三个班中随机抽取一位同学：
（i）求该同学有购买意向的概率；
（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；
(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为
初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于
3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资
格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.
3．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发
球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方､现甲､乙二
人进行羽毛球单打比赛，随机选取了以往甲､乙两名运动员对阵中的300回合的比赛数据，得到如下待完
善的2×2列联表：
甲得
乙得分 总计
分
甲发球 90
乙发球 120
总计 120 300
(1)完成 列联表，并判断是否有 的把握认为“比赛得分与接､发球有关”？
(2)以 列联表中甲､乙各自接､发球的得分频率分别作为每一回合中甲､乙各自接､发球的得分概率.
①若第1回合是甲先发球，设第 回合是甲发球的概率为 ，证明： 是等比数列；
②已知：若随机变量 服从两点分布，且 ， ，则 .
若第1回合是甲先发球，求甲､乙连续进行300回合比赛后，甲的总得分期望.（结果保留2位小数）
参考公式： ，其中 ， .考点九：概率统计与导数
典型例题
例题1．（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击
鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得
分，出现两次音乐获得 分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得 分，设备次击鼓出现音
乐的概率为 .且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为 ，求 的最大值点 ；
(2)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.设每盘游
戏的得分为随机变量 ；请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
例题2．（2023秋·广东东莞·高三校考阶段练习）某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展
水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成
绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数;
(2)若所有学生的初试成绩 近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值， ．初试成
绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不
获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为 ，第三道题答对的概率为 ．若他获得一等奖的概率为 ，设他获得二等奖的概率为 ，求 的最小值．
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
例题3．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）根据社会人口学研究发现，一个家庭有
个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
（其中 ）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 ，且相互独立，事件 表示一个家庭有 个孩子
，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
(1)若 ，求 ，并根据全概率公式 求 ；
(2)是否存在 值，使得 ，请说明理由.
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）现有一种不断分裂的细胞 ，每个时间周期 内分裂一次，一个 细胞每
次分裂能生成一个或两个新的 细胞，每次分裂后原 细胞消失，设每次分裂成一个新 细胞的概率为
，分裂成两个新 细胞的概率为 ；新细胞在下一个周期 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.
设有一个初始的 细胞，在第一个周期 中开始分裂，其中 .
(1)设 结束后， 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)设 结束后， 细胞数量为 的概率为 .
（i）求 ；（ii）证明： .
2．（2023·全国·高三专题练习）随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道.某服装品牌为
了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所
需时间情况如下频率分布直方图.
(1)求 的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数 和中位数；
(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间 服从正态分布 ，其中 近似为 ，
.若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在 范围内的平
台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4
分钟的平台中，每个平台每卖一件扣除 ；在时间小于14.4分钟的平台中，每卖一件服装进
行奖励 元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元.求该服装品牌总公司在所有平台均销
售一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）
附：若 服从正态分布 ，则 ， ，
.参考数据： .3．（2023·全国·高三专题练习）三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚取得完胜，这给我们
的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求！某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各
个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员
工测试A，B，C三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有
一项测试“不合格”的员工将再测试A，B两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，
将也被认定为“暂定”，每位员工测试A，B，C三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为
．
(1)记每位员工被认定为“暂定”的概率为 ，求 ；
(2)每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为150元，所有员工
除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且600名员工全部参与测试，试估计
上述方案是否会超出预算，并说明理由．
