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专题06 直线和圆
（新课标全国Ⅰ卷）1．过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
1
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若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
故选：B.
（新课标全国Ⅱ卷）2．已知直线
与
交于A，B 两点，写出满足“
面积为
”的m 的一个值______．
【答案】
（
中任意一个皆可以）
【详解】设点
到直线
的距离为
，由弦长公式得
，
所以
，解得：
或
，
由
，所以
或
，解得：
或
．
故答案为：
（
中任意一个皆可以）．
（全国乙卷数学（文））3．已知实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．7
2
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【答案】C
【详解】法一：令
，则
，
代入原式化简得
，
因为存在实数
，则
，即
，
化简得
，解得
，
故
的最大值是
，
法二：
，整理得
，
令
，
，其中
，
则
，
，所以
，则
，即
时，
取得最大值
，
法三：由
可得
，
设
，则圆心到直线
的距离
，
解得
故选：C.
（全国乙卷数学（文）（理））4．在直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线
的极坐标方程为
，曲线
：
（
为参数，
）.
(1)写出
的直角坐标方程；
(2)若直线
既与
没有公共点，也与
没有公共点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，即
，可得
，
整理得
，表示以
为圆心，半径为1 的圆，
又因为
，
且
，则
，则
，
故
.
3
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（2）因为
（
为参数，
），
整理得
，表示圆心为
，半径为2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线
过
，则
，解得
；
若直线
，即
与
相切，则
，解得
，
若直线
与
均没有公共点，则
或
，
即实数
的取值范围
.
（全国甲卷数学（文）（理））5．已知
，直线
（t 为参数），
为的倾斜角，l 与x
轴，y 轴正半轴交于A，B 两点，
．
(1)求
的值；
(2)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为与
轴，
轴正半轴交于
两点，所以
，
令
，
，令
，
，
所以
，所以
，
即
，解得
，
因为
，所以
．
（2）由（1）可知，直线的斜率为
，且过点
，
4
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所以直线的普通方程为：
，即
，
由
可得直线的极坐标方程为
．
1．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆C：
，过点
的两条直线，
互相垂直，
圆心C 到直线，
的距离分别为
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．4
【答案】B
【详解】过圆心C 分别作直线，
的垂线，垂足分别为
，
．
，
互相垂直，所以四边形
为矩形．
由圆C：
，可得
，又
，
，
所以
，当且仅当
时取等号，即
的最大值为1，
故选：B.
2．（2023·河南驻马店·统考三模）已知直线与直线
垂直，若直线的倾斜角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为直线与直线
垂直，
所以直线的斜率为
，所以
，
所以
.
故选：D.
5
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3．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆
和两点
，
若圆C 上存在点P，使得
，则a 的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【详解】由
，得点P 在圆
上，故点P 在圆
上，又点P 在圆C 上，所以，
两圆有交点，
因为圆
的圆心为原点O，半径为a，圆C 的圆心为
，半径为1，
所以
，又
，所以
，
解得
，所以a 的最小值为4.
故选：C.
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线
与圆
，过
直线上的任意一点
向圆
引切线，设切点为
，若线段
长度的最小值为
，则实数
的值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】圆
，设
，
则
，则
，
，
则
，所以圆心
到直线的距离是
，
，得
，
．
故选：A．
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1 的圆O 上有三个动点A，B，C，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，又
，所以
，所以
，
以
为原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系：
6
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则
，
，设
，则
，
，
，
所以
，
设
，即
，
依题意直线
与圆有公共点，
所以
，得
，
所以
的最小值为
.
故选：A
6．（2024·四川成都·成都七中校考一模）圆
：
与直线：
的位置关系为（
）
A．相切
B．相交
C．相离
D．无法确定
【答案】A
【详解】圆
：
的圆心为
，半径
，
直线：
即
，则圆心到直线的距离
，
所以直线与圆
相切.
故选：A
7．（2024·四川成都·成都七中校考一模）直线：
与直线
：
平行，则
（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【详解】由题意得
，解得
.
故选：A
8．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）若直线
与
之间的距离为
，则a
7
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的值为（ ）
A．4
B．
C．4 或
D．8 或
【答案】C
【详解】将直线
化为
，
则直线
与直线
之间的距离
，
根据题意可得：
，即
，解得
或
，
所以a 的值为
或
.
故选：C
9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）若两条直线：
，
：
与圆
的四个交点能构成矩形，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【详解】由题意直线
平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆
的圆心为：
，
圆心到
的距离为：
，
圆心到
的距离为：
，
所以
，
由题意
，
所以
，
故选：A.
10．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆
，直线
上动点
，过点
作
圆
的一条切线，切点为
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【详解】圆
：
中，圆心
，半径
8
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设
，则
，
则
,
当
时，
，
故选：C
11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线
恒过点A，点A 也在直线
上，其中
均为正数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【详解】因为
，则
，
令
，解得
，
即直线
恒过点
.
又因为点A 也在直线
上，则
，
可得
，且
，
则
，即
，当且仅当
时，等号成立
所以
的最大值为
.
故选：B.
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）过直线
上的任意一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，
，则点
到直线
距离的最大值为
_____________.
【答案】
/
【详解】设
，则
，所以
.
由几何性质知
,
所以
，
，
，
四点在以
为直径的圆
上，
设圆
上任意一点坐标为
，则
，
所以
，当
时，也成立.
即圆
方程为
，即
，
9
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把圆
和圆
方程相减得
.
故直线
的方程为
.
所以
是以原点为圆心、1 为半径的圆上的点，
故点
到直线
的距离的最大值为
.
（当
时取等）
故答案为：
13．（2023·广东东莞·校考三模）若圆
与
轴相切，与直线
也相切，且圆
经过点
，
则圆
的半径为______.
【答案】1 或
【详解】由题意，
在直线
中，倾斜角为
，
∴圆
的圆心在两切线所成角的角平分线
上.
设圆心
，
则圆
的方程为：
，
将点
的坐标代入，
得
，
解得：
或
，
∴圆
的半径为1 或
.
10
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故答案为：1 或
.
14．（2023·广东·校联考模拟预测）已知圆
，过点
的直线交圆
于
两点，
且
，请写出一条满足上述条件的直线的方程______.
【答案】
（答案不唯一，
也满足）
【详解】由题意得
，半径
，
，
故
在圆外，设O 到直线的距离为d，
由
得
，即
，
解得
，
当直线l 斜率不存在时，即
，此时
，符合题意；
当直线l 斜率存在时，设为
，即
，
则
， 即
，解得
，故直线为
.
故答案为：
（答案不唯一，
也满足）
15．（2023·河南驻马店·统考三模）已知圆
与圆
，写出圆C 和圆E 的
一条公切线的方程______.
【答案】
或
或
.
【详解】设圆的公切线为
，
，
或
代入求解得：
或
所以切线为：
或
或
故答案为：
或
或
.
16．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点
，
，经过点
作圆
的切线与
轴交于点
，则
________．
11
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【答案】
【详解】如图所示，设圆心为
点，则
，
，则点
在圆上，且
，
由
与圆相切可得
，所以切线方程为
，
令
，解得
，故
，
所以
故答案为：
.
17．（2023·广东广州·统考模拟预测）在平面直角坐标系
中，圆
的方程为
，若直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，3 为半径的圆与圆
有公共点，则
的最小值为
__________.
【答案】
/
【详解】圆
：
的圆心
，半径
，
以直线
上的点
为圆心，3 为半径的圆与圆
有公共点，则
，
于是
，整理得
，
依题意，不等式
有解，则
，解得
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
12
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18．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知圆
，若点
在圆
上，并且点
到直线
的距离为
，则满足条件的点
的个数为__________.
【答案】3
【详解】设
，由点P 到直线
的距离为
，得
两边平方整理得到
①
因为
在圆
上，所以
，即
②
联立①②得
，
解得
或
，
当
时，由①②可得
，解得
或
，即
或
当
时，由①②可得
，解得
或
，即
或
综上，满足条件的点P 的个数为.
故答案为：3.
19．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知点
，
，动点M 满足
，则点
M 到直线
的距离可以是__________．（写出一个符合题意的整数值）
【答案】0 或1 (只写一个即可)
【详解】由题设知
，即
在以
为直径的圆上，且圆心为
，半径为
，
所以
的轨迹为
，
而
到
的距离为
，即直线过圆心，
所以M 到直线
的距离范围
，
所以点M 到直线
的距离的整数值可以是0 或1.
故答案为：0 或1 (只写一个即可)
20．（2023·上海·模拟预测）已知
的面积为
，求
______；
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【答案】
【详解】因为
，可配方得
，
又
的面积为
，
所以
表示一个以
为圆心的圆，其半径满足
，
则
，解得
，
所以
.
故答案为：
.
14
