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⾼三冲刺笔记-⽴体⼏何（三）
考点归纳：平⾏关系与证明
⼀
… 线⾯平⾏证明的三种类型
:
1
.
平⾏于边线
:
观察要还明的直线是否直接和所要证明的平⾯的边沿线平⾏
D
c
A
;
B
诞
:
AB , 11 ⾯AD , 4
求
eg
;
D
I近
:
∵
A
, B
, /
D
,
C
.
,
D
、C
. C⾯AD
, C
.
AB,
¢ ⾯AD .
C ,
*
B
,
G
∴
A
, B
, / ⾯
AD
,
CG
2
. 平⾏于内线
:
观察要之证明的直线是否与所要证明的平⾯内的直线平⾏
,
以利⽤平⾏四边形证明
eg
: 在四棱锥P
- ABCD 中
,
ABCD 为等腰梯形
. BCYAD
P
且BC
= 2AD
. E 为
PB 中点
, 求诞
: A[
N⾯PCD,
场
了
延
: 过近作EOBC 交PC 于O
. 则O 为PC 中点连接OD
…
…
B
A
则IO
≤⽂BC
=
AD
,
四边开形EAOD 为平⾏四边形
B
c
i
EAOD ,
ODC ⾯PCD
OD 4 ⾯PCD
:
AE ⾯PCD
0
( 2 ) 利⽤中位线近⽇明
:
eg
:
在四棱EA
- DBC区中
, σ 为底⾯正☆F 形
DBCE 对⻆
A
线的交点
F 为AF 的中点
, 求延
: AB 11 平⾯DCT
。
☆
。
延: 连接F 0 . 则FO 1 / AB . 且FOC ⾯DCF
. AB ¢ ⾯DCF
.
AB 11 ⾯
DCF ,
3
. 利⽤⾯⾯平⾏
:
若前两种⽅法⾏不通
, 则⼀定为第3 种⽅法! 通过将要延明的直线构建在另⼀个
平⾯内通过该平⾯与所要证明的被平⾏的平⾯平⾏
、
从⽽证明线⾯平⾏
。
eg
:
在四棱锥
P
- ABCD 的底⾯ABCB 是平⾏四边形
,
Ʃ
. F 分别是棱A 1
D .PC 的中点诞明:EF⾯PAB
,
延
:
过下作
FM /
PB
交BC 于M
,
则M 为
BC 中点连EM
述
则
FM 1 " PB
, PB
C ⾯RBA
, FM ¢ ⾯RBA
A
:
FM 11
⾯PBAx 同理ME 1
⾯PBA
⼜:FMMME =
M
⾯FME
⼋⾯PBA
且EFC ⾯FMF
.
EF
⾯PBA
⼆
、线⾯平⾏性质证明线线平⾏。
1
.
能看⻅交线
eg
: 在四棱俊P - AB( 1)
中
.
底⾯ABCD 为菱形
.
点
E
是棱PC 上的点⾯ABE 与棱
PD 交于点下
。
P⇌
且
AB ) ⾯
PCD
.
求延
AB / IF 。
证:
∵
AB 11 ⾯RCD
.
且⾯
PCDM
⾯ABEF
= EF
.
∴
AB
1 I
下
B
A
2
. 看不⻅交线
eg
:
P 为平⾏四边开形ABCD 所在平⾯外⼀点
, MN 分
l
别为AB
.
PC 中点
, 平⾯PAD Λ 平⾯PBC
= l
.
求诞:
BC "
1
.
÷
%
↑
i ∴∵
pc ""
, ↓
C ⾯( A )
↓( ¢ ⾯(AD
:
BC / ⾯
PAD
⼜: ⾯PAD Λ
⾯PBC
=
(
. BCC
⾯PBC
. BC / /
L
.
三
. 利⽤垂直关系⽂证明线线平⾏,
D
,
,
G
eg
:
在正⽅体ABCD
- A
, B
、C
.
D
, 中
,
EF 与异⾯直线
AC
.
A
、D 都垂直
. 相交
.
求证:
FF
" BD
、
延∵
DD 、上⾯ABCD , ADC ⾯ABC
)
DD
, + AC
主
⼜:
BD + AC
,
DD
, ABB
= D
,
:
AC 上⾯BDD
, B
,
∴AC -
BD
,
同理
BD
, + BC
⼜
AC Λ BC
=
C
BD
,
上⾯AB
、C
,
两条直线垂直于同⼀个⾯
”
∵
EF +
A
1 D, ⼜: AD11
B .
C EF
上B
, C
: IF + AC
, ACMB ,
C
=
C EF 上⾯AB
1 C
则两直线平⾏
”
.
:
EF // BD
,
2
,
A
eg
;
多⾯体ABCDE 中
,
DBCD 与⼈CDE 均为边⻓为
2
的等边三⻆形
. ΔABC 为等腰三⻆形。⾯CBEL ⾯BCD
∠
⾯ABC 上⾯
BCD
.
为BC 中点求证从⾯
FCDANM
F
B
诞: 取C ) 中点
F
.
连接
EF
D
则IF
+
CD
.
AM -
BE
下
: ⾯CDE
←⾯
BCD
, 且⾯CDE Λ ⾯
BCD
=
C 1 D
,
两条直线垂直于同⼀个⾯
”
.
:
EF
上⾯BCD
,
则两直线平⾏
”
⼜: ⾯ABC + ⾯B(
D
. 且⾯ABC Λ
⾯BC
》
= BC
:
AM 上⾯
BCD
.
:
EF / AM
, 且
EFC ⾯
ECD
AM 4 ⾯ECD
:
AM ) ⾯ECD
📍
题型训练：线线平⾏证明
🌶
🌶
证:
∵
BC 1 /1 ⾯PAD
,
BCC ⾯ABCD
,
且⾯
ABCD
2 ⾯
PAB
= AD
,
. : BC / AD
之近
:
:
及ABCD
AB/ CD
⼜:
AI ¢
⾯
PCD
.
EFC ⾯
PCD
.
AB 11 ⾯
PCD
⼜
∵⾯ABFE Λ ⾯
PCD
= EF
ABC ⾯ABFE .
:
ABA 1 EF
,
∵
证;
B 5 " /AA
,
AA
,
C ⾯AA
, 2
.
BE 4 ⾯AAD
.
: BE
11 ⾯AA
1 D
∵BC 1 / AD
,AD
C ⾯AAD , BC ¢ ⾯AAD
, iBC 11 ⾯
AA
, D
⼜
BE MBC
=
B
,
BE
C
⾯
BCF
.
BC
C ⾯
BCE
:
BC
⾯就⾯
AA
、D
. : IC/
A ,
D
⼜⾯
ADCE Λ
⾯BCE= EC .
⾯
A
、DCEΛ
⾯AA1 )=A 、
1 D
📍
题型训练：线⾯平⾏证明
🌶
🌶
🌶
证
:
取BD 中点θ . 连OZ
. OG 在∠BCD
中
:
G 是BC 中点.
: OG 1/
DC
⽬OG
= DDC
=
1
⼜
: EFI/ AB , ABIDC . EF 1 O G
且EF = OG
.
"
Ʃ OGFE
.
∴FG / OE
.
⼜FG 4 ⾯BED
,
0
OEC ⾯BED
.
: FG 1/ ⾯BE )
,
延: 过N 作NE / BC 交B 于
E
.
则E 为
PB 中点
连AI
,
则
EN
≤
之BC
≤
AM
则四边开形EAMN 为平⾏四边形
E
.
: HINNM
.
AEC ⾯
PAB
.
MN ¢ ⾯PAB
iMN / 1
⾯PAB
延
: 过
G 作GMNAB 交
AE于M
. 连MD
.
则
M 为AZ中点
I则GMEZAB ≤
DF
.
7
及GMDF
,
µ
.
: GF 1 MD
. MDC
⾯ADE
.
GF
11 ⾯ADF
诞
: 取AB 中点.
O
.
连
MO
,
NO
.
"则
MO
"
BD
> MOY⾯BDF
同理ONNAC " DE
> ON 1 ⾯
BDE
⼜: MOMNO =
O
,
⾯MON11 ⾯
BDE
.
⼜∵MNC ⾯MON
. ∴NNY ⾯BBE
🌶
🌶
🌶
延
:
取FC 中点θ
.
连0 .
,
H 0
,
则GO " EF 1 /BD >O
⾯ABC同理OH ⾯ABC
。0
⼜: GO Λ OH
= 0
i ⾯
GOH ⼋⾯ABC
.
GHC ⾯GOH
:
GH 11 ⾯ABC
延
: 连BD
则
GE/ BD/
D
, B
⼜:
D
, B
,
C ⾯
D
、B . C
.
GE ¢ ⾯
D . B
. C
.
.
Ʃ G 11 ⾯
D .
B .
C
证: 取PC 中点下. 连下
. , FD
由题EF ≤ZBC ≤AD
F
则四边开形EADF
为平⾏四边形
.
∴AIYFD
FDC ⾯PCD
AE ¢ ⾯PCD
. AE11
⾯PCD
∵
证:
取PD 中点为G
. 连
EG
. AG
.
∵E 为PC 中点
.
∴EG1 DC
.
且EG = IDC
,
6
⼜
AF
= 出AB
=
Ʃ .
AF
IDC
, 且AF
: IDC
.
.
: ZC 11 AF
. 且EG
= AF
.
∴F AFEG
.
I EF 11 AG
XEF
¢ ⾯
RAB
.
且AGC
⾯PAD . EF ⾯PAD
⑪
📍
题型训练：⾯⾯平⾏证明
🌶
🌶
🌶
延
:
∵P ,
D 为B
. C .
B ( 中点
:
D
.
C
,
≤
BD
, ≥
D
,
C
, BB
.
.
: BB ,
" DC
.
,
BD ,
9 ⾯ADC
,
连DD
,
, 则AA .
≤DD ,
7
≥AA ,
D
1
D,
3
AD 1
/ A
, B
,
.
: AD
, / ⾯ADC .
⼜:
A
, D
, ABD
,
= D
,
。⾯A
1 BD
.
" ⾯
ADC
,
近
:
…
∵
交
.
下
.
G
为中点
.
;
IF 1
" AP
7 EF 11⾯PAD
EG
" AD
EG 11 ⾯RAD
.
且
EFMEG = E
⾯EFG ⾯PAD,
近∵∠ABD
为正三⻆,, N 为AB 中点
,
:DN+ AB
,
⼜:
AB
+
BC
:
DN / BC
∵
DN ¢ ⾯BFC
.
BC
C ⾯BEC
∴DN
11 ⾯BEC
。
:
M
,
N 为中点UN
K BE
.
∵MN ¢ ⾯B 5
C
.BEC
⾯BEC. MN ⾯BEC
⼜∵
DN OMN
= N :
⾯DMN ⾯
BEC
诞史题EF " DC " AB ,
7
EF 11 ⾯PAB
,
EG 1 PB
3
￡σ 1) ⾯PAB
,
EF OEG
=
Ʃ
… ⾯RAB 1
⾯EFG
🌶
🌶
🌶
延:
(
. ) 过AC
.
MN " CD
·
( 2 )
由(
MMN 1
CD
,
> MN " ⾯CC
、DD
,
( 3 )
由( 2 )
MN ) ⾯CC
. BD
,
MP /
1 CD > MPN
⾯CCDD,
且MN O MP
=
M
.
⾯MNP 1 ⾯
CCDD
,
证
: 设AC
,BD
=
0
. 连OP
.
∵
0
. ⼜为中点:OP "DE
: DE 4 ⾯
PAC
.
OP
C ⾯
PAC . :DE ⾯PAc
.
:
P
为B 际中点
.
BE
= 2
.
:
PE
=
AF
=
1
∵AF 1 BE
0
.
“
四迈开形, APEF 为平⾏四边形
.
:
APNEE
: EF ¢ ⾯
PAC
.
APC ⾯
PAC .
EF ⼋⾯
PAC
∵DEC
⾯DEF . EF C
⾯DEFDE Λ EF = E .
…
∴⾯
DEF 11 ⾯
PAC
.
延
:
IF
.
GH 为圆柱轴截⾯上的⺟线
. :
CH11 EF
:
O . E
11 2 H
, 且
O
, E
= OIH
“ 四边形
O
、EOα H 为平⾏四处形
∴
O, H / "O 2
E .OH
C ⾯ABH
.
O2 E 4 ⾯ABH
「
O 2 F
⼋⾯
ABH
:
AB / 1 CD
. AB C
⾯ABH
. CD ¢
⾯ABH
. CD 11
⾯ABH
.
⼜
:
C 1B OOIE =
O 2
.
CD
.
QE
C ⾯ECD
⾯ABH1
⾯ECD.
